www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ступінь зростання групи в теорії груп характеристика що показує швидкість приросту скінченнопороджених груп у вигляді кл

Ступінь зростання групи

Ступінь зростання групи — в теорії груп характеристика, що показує швидкість приросту скінченнопороджених груп у вигляді класу функцій, що ставлять у відповідність кількості породжуючих елементів порядок групи. Увів радянський математик Шварц (1955) у рамках дослідження питання про зростання універсальних накривних ріманових просторів і, незалежно від нього, американський математик Мілнор (1968) у зв'язку з проблемами фундаментальних груп компактних ріманових многовидів із обмеженнями на кривину.

Визначення ред.

Функція зростання скінченнопородженої елементами групи  — функція , яка зіставляє кожному натуральному числу кількість різних елементів групи, подаваних у вигляді добутку не більше співмножників вигляду . На множині функцій зростання групи вводиться відношення передпорядку: тоді й лише тоді, коли і відношення еквівалентності: . Клас еквівалентності функцій зростання не залежить від вибору твірних, його й називають ступенем зростання групи.

Властивості ред.

Найменший ступінь зростання в одиничної групи, ступінь зростання вільної групи з двома твірними (і, більш того, будь-якої групи, що містить вільну підгрупу з двома твірними) .

Якщо елементарна група майже нільпотентна (тобто, в ній знайдеться нільпотентна підгрупа скінченного індексу), то її ступінь зростання виражається степеневими функціями, в іншому випадку — показниковими. Теорема Громова про групи поліноміального зростання стверджує, що всі групи, ступінь зростання яких виражається степеневою функцією, майже нільпотентні. Побудовано групи, функції зростання яких не еквівалентні ні степеневим, ні показниковим функціям, історично перший такий приклад — група Григорчука[ru] (1984). Усі скінченнопороджені групи субекспоненційного зростання аменабельні .

Примітки ред.

  1. Григорчук, 1984.
  2. Общая алгебра, 1990, с. 102—103.

Література ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Stupin zrostannya grupi v teoriyi grup harakteristika sho pokazuye shvidkist prirostu skinchennoporodzhenih grup u viglyadi klasu funkcij sho stavlyat u vidpovidnist kilkosti porodzhuyuchih elementiv poryadok grupi Uviv radyanskij matematik Shvarc 1955 u ramkah doslidzhennya pitannya pro zrostannya universalnih nakrivnih rimanovih prostoriv i nezalezhno vid nogo amerikanskij matematik Milnor 1968 u zv yazku z problemami fundamentalnih grup kompaktnih rimanovih mnogovidiv iz obmezhennyami na krivinu 1 Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 3 Primitki 4 LiteraturaViznachennya red Funkciya zrostannya skinchennoporodzhenoyi elementami A a 1 a m displaystyle A a 1 dots a m nbsp grupi G displaystyle G nbsp funkciya g N N displaystyle gamma colon mathbb N to mathbb N nbsp yaka zistavlyaye kozhnomu naturalnomu chislu n displaystyle n nbsp kilkist riznih elementiv grupi podavanih u viglyadi dobutku ne bilshe n displaystyle n nbsp spivmnozhnikiv viglyadu a i 1 displaystyle a i pm 1 nbsp Na mnozhini funkcij zrostannya grupi vvoditsya vidnoshennya peredporyadku g 1 g 2 displaystyle gamma 1 preccurlyeq gamma 2 nbsp todi j lishe todi koli C N n N g 1 n g 2 C n displaystyle exists C in mathbb N forall n in mathbb N gamma 1 n leqslant gamma 2 Cn nbsp i vidnoshennya ekvivalentnosti g 1 g 2 g 1 g 2 g 2 g 1 displaystyle gamma 1 sim gamma 2 Leftrightarrow gamma 1 preccurlyeq gamma 2 land gamma 2 preccurlyeq gamma 1 nbsp Klas ekvivalentnosti funkcij zrostannya g displaystyle gamma nbsp ne zalezhit vid viboru tvirnih jogo j nazivayut stupenem zrostannya grupi Vlastivosti red Najmenshij stupin zrostannya v odinichnoyi grupi stupin zrostannya vilnoyi grupi z dvoma tvirnimi i bilsh togo bud yakoyi grupi sho mistit vilnu pidgrupu z dvoma tvirnimi 2 n displaystyle 2 n nbsp 2 Yaksho elementarna grupa majzhe nilpotentna tobto v nij znajdetsya nilpotentna pidgrupa skinchennogo indeksu to yiyi stupin zrostannya virazhayetsya stepenevimi funkciyami v inshomu vipadku pokaznikovimi Teorema Gromova pro grupi polinomialnogo zrostannya stverdzhuye sho vsi grupi stupin zrostannya yakih virazhayetsya stepenevoyu funkciyeyu majzhe nilpotentni Pobudovano grupi funkciyi zrostannya yakih ne ekvivalentni ni stepenevim ni pokaznikovim funkciyam istorichno pershij takij priklad grupa Grigorchuka ru 1984 Usi skinchennoporodzheni grupi subeksponencijnogo zrostannya amenabelni Primitki red Grigorchuk 1984 Obshaya algebra 1990 s 102 103 Literatura red Melnikov O V Remeslennikov V N Romankov V A Glava II Gruppy Obshaya algebra Pod obsh red L A Skornyakova M Nauka 1990 T 1 S 66 290 Spravochnaya matematicheskaya biblioteka 30000 prim ISBN ISBN 5 02 014426 6 Grigorchuk R I Stepeni rosta konechno porozhdyonnyh grupp i teoriya invariantnyh srednih Izvestiya AN SSSR Seriya matematicheskaya 1984 T 48 5 27 oktyabrya S 939 985 DOI 10 1070 IM1985v025n02ABEH001281 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Stupin zrostannya grupi amp oldid 36971247