www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нерівність Бішопа Громова теорема порівняння в рімановій геометрії Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова пр

Нерівність Бішопа — Громова

Нерівність Бішопа — Громова — теорема порівняння в рімановій геометрії. Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова про компактність.

Нерівність названа на честь Річарда Бішопа[en] та Михайла Громова.

Формулювання ред.

Нехай  — повний n-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу кривиною Річчі, тобто

для сталої .

Позначимо через кулю радіуса r навколо точки p, визначену відносно ріманової функції відстані.

Нехай позначає n-вимірний модельний простір. Тобто  — повний n-вимірний однозв'язний простір сталої секційної кривини . Таким чином,

Тоді для будь-яких і функція

не зростає в інтервалі .

Зауваження ред.

  • При нерівність можна записати так
  • Якщо r прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)
  2. Bishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.
  3. Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Nerivnist Bishopa Gromova teorema porivnyannya v rimanovij geometriyi Ye klyuchovim tverdzhennyam u dovedenni teoremi Gromova pro kompaktnist 1 Nerivnist nazvana na chest Richarda Bishopa en ta Mihajla Gromova Zmist 1 Formulyuvannya 1 1 Zauvazhennya 2 Div takozh 3 PrimitkiFormulyuvannya red Nehaj M displaystyle M nbsp povnij n vimirnij rimaniv mnogovid z obmezhenoyu znizu krivinoyu Richchi tobto R i c n 1 K displaystyle mathrm Ric geqslant n 1 K nbsp dlya staloyi K R displaystyle K in mathbb R nbsp Poznachimo cherez B p r M displaystyle B p r M nbsp kulyu radiusa r navkolo tochki p viznachenu vidnosno rimanovoyi funkciyi vidstani Nehaj M n K displaystyle mathbb M n K nbsp poznachaye n vimirnij modelnij prostir Tobto M n K displaystyle mathbb M n K nbsp povnij n vimirnij odnozv yaznij prostir staloyi sekcijnoyi krivini K displaystyle K nbsp Takim chinom M n K displaystyle mathbb M n K nbsp ye n sferoyu radiusa 1 K displaystyle 1 sqrt K nbsp yaksho K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp abo n vimirnim evklidovim prostorom yaksho K 0 displaystyle K 0 nbsp abo prostorom Lobachevskogo z krivinoyu K lt 0 displaystyle K lt 0 nbsp Todi dlya bud yakih p M displaystyle p in M nbsp i p M n K displaystyle tilde p in mathbb M n K nbsp funkciya ϕ r Vol B p r M Vol B p r M n K displaystyle phi r frac operatorname Vol B p r M operatorname Vol B tilde p r mathbb M n K nbsp ne zrostaye v intervali 0 displaystyle 0 infty nbsp Zauvazhennya red Pri K 0 displaystyle K 0 nbsp nerivnist mozhna zapisati tak Vol B p l r M l n Vol B p r M displaystyle operatorname Vol B p lambda cdot r M leqslant lambda n cdot operatorname Vol B p r M nbsp pri l 1 displaystyle lambda geqslant 1 nbsp Yaksho r pryamuye do nulya to spivvidnoshennya nablizhayetsya do odinici otzhe razom iz monotonnistyu ce oznachaye sho Vol B p r M Vol B p r M n K displaystyle operatorname Vol B p r M leqslant operatorname Vol B tilde p r mathbb M n K nbsp Cyu versiyu vpershe doviv Bishop 2 3 Div takozh red Teorema MayersaPrimitki red Burago Yu D Zalgaller V A Vvedenie v rimanovu geometriyu 1991 s 320 22 5 Bishop R A relation between volume mean curvature and diameter Amer Math Soc Not 10 1963 p 364 Bishop R L Crittenden R J Geometry of manifolds Corollary 4 p 256 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Nerivnist Bishopa Gromova amp oldid 36697887