www.wikidata.uk-ua.nina.az

Експоненційне відображення узагальнення поняття експоненційної функції та експоненти матриці в диференціальній геометрії

Експоненційне відображення

Експоненційне відображення — узагальнення поняття експоненційної функції та експоненти матриці в диференціальній геометрії і зокрема рімановій геометрії.

Для многовида на якому задано деяку афінну зв'язність експоненціальне відображення діє з дотичного розшарування у многовид .

Експоненційне відображення зазвичай позначається , а його звуження на дотичний простір в точці позначається і називається експоненційним відображенням в точці .

Визначення ред.

Нехай — деякий гладкий многовид на якому задана афінна зв'язність і . Для кожного вектора існує єдина геодезична , що виходить з точки (тобто ), така що . Дана геодезична лінія визначена в деякому околі нуля в і також з властивостей геодезичних ліній там де значення в правій частині є визначеним. Зокрема є визначеним в деякому околі нуля простору .

Експоненційне відображення вектора визначається як . Воно є визначене загалом лише в деякому околі нуля дотичного простору.

Зокрема для ріманових многовидів існує канонічна афінна зв'язність (зв'язність Леві-Чивіти), що узгоджується з рімановою структурою многовида. Відображення визначене як вище для цієї конкретної зв'язності називається експоненційним відображенням для ріманових многовидів.

Властивості ред.

  • .
Образ поверхні Землі при оберненому експоненційному відображенні до північного полюса.
  • Для кожної точки існує таке число , що експоненційне відображення визначене для всіх векторів , які задовольняють умову
  • Більш того, є дифеоморфізмом в деякому околі нуля в дотичному просторі в деякий окіл точки многовида . Таким чином, в деякому околі точки многовида визначене обернене експоненційне відображення (що також називається логарифмом і позначається ), що набуває значень в деякому околі нуля дотичного простору .
  • Нехай тепер , така що для (де ) відображення є визначене. Тоді множина є відкритою підмножиною в і відображення визначене на буде теж диференційовним.
  • Для груп Лі дотичний простір у одиничному елементі можна ідентифікувати із простором лівоінваріантних векторних полів, тобто полів для яких де позначає відображення множення зліва на елемент тобто: Для ненульового елемента відновідне лівоінваріантне векторне поле є ненульовим у всіх точках і більш того для базису постору відповідні лівоінваріантні векторні поля задають базис у кожній точці групи Лі. Потоки лівоінваріантних векторних полів із точки є гомоморфізмами із адитивної групи дійсних чисел у групу і є визначеними для всіх дійсних чисел. Якщо є лівоінваріантними лінійно незалежними векторними полями, то на групі Лі можна задати афінну зв'язність як для всіх і всіх (тоді також для всіх лівоінваріантних полів ). Для цієї зв'язності геодезична лінія із точки у напрямку є рівною потоку лівоінваріантного векторного поля із точки . Таким чином експоненційне відображення збігається із експонентою визначеною в теорії груп Лі.
  • Важливим частковим випадком попереднього є група невироджених квадратних матриць порядку . Одиничним елементом цієї групи є одинична матриця і дотичний простір в цьому елементі є рівним — простору усіх квадратних матриць порядку . Для відповідний потік для лівоінваріантного поля задається як Зокрема у точці значення потоку є рівним класичній експоненті матриці, що пояснює викоричтання цієї назви для аналогічних відображень у ширших класах груп Лі і диференційовних многовидів.

Приклади ред.

  • У випадку експоненційне відображення є канонічною ідентифікацією дотичного простору із при якій початок координат дотичного простору переходить у точку p. А саме
  • Для одиничної сфери із «південним полюсом» у точці якщо на ввести полярні координати то кожен дотичний вектор можна записати як і розглядати експоненту як функцію і . Тоді можна записати у явному виді
Зокрема образами кіл із радіусами є «екватор» кулі, образами кіл із радіусами є «північний полюс», а образами кіл із радіусами є «південний полюс». У цьому випадку експоненційне відображення є визначеним для всієї дотичної площини.
  • Натомість для , тобто одиничної кулі без «північного полюса», експоненційне відображення із дотичної площини у «південному полюсі» є визначеним лише у крузі

Див. також ред.

Література ред.

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J.,. ISBN 0442034105.  (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Eksponencijne vidobrazhennya uzagalnennya ponyattya eksponencijnoyi funkciyi ta eksponenti matrici v diferencialnij geometriyi i zokrema rimanovij geometriyi Dlya mnogovida M displaystyle M na yakomu zadano deyaku afinnu zv yaznist eksponencialne vidobrazhennya diye z dotichnogo rozsharuvannya T M displaystyle TM u mnogovid M displaystyle M Eksponencijne vidobrazhennya zazvichaj poznachayetsya exp T M M displaystyle exp colon TM to M a jogo zvuzhennya na dotichnij prostir T p M displaystyle T p M v tochci p M displaystyle p in M poznachayetsya exp p T p M M displaystyle exp p colon T p M to M i nazivayetsya eksponencijnim vidobrazhennyam v tochci p displaystyle p Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 3 Prikladi 4 Div takozh 5 LiteraturaViznachennya red Nehaj M displaystyle M nbsp deyakij gladkij mnogovid na yakomu zadana afinna zv yaznist Y X displaystyle nabla Y X nbsp i p M displaystyle p in M nbsp Dlya kozhnogo vektora X T p M displaystyle X in T p M nbsp isnuye yedina geodezichna g X t displaystyle gamma X t nbsp sho vihodit z tochki p displaystyle p nbsp tobto g X 0 p displaystyle gamma X 0 p nbsp taka sho g X 0 X displaystyle gamma X 0 X nbsp Dana geodezichna liniya viznachena v deyakomu okoli nulya v R displaystyle mathbb R nbsp i takozh z vlastivostej geodezichnih linij g s X t g X s t displaystyle gamma sX t gamma X st nbsp tam de znachennya v pravij chastini ye viznachenim Zokrema g X 1 displaystyle gamma X 1 nbsp ye viznachenim v deyakomu okoli nulya prostoru T p M displaystyle T p M nbsp Eksponencijne vidobrazhennya vektora X T p M displaystyle X in T p M nbsp viznachayetsya yak exp p X g X 1 displaystyle exp p X gamma X 1 nbsp Vono ye viznachene zagalom lishe v deyakomu okoli nulya dotichnogo prostoru Zokrema dlya rimanovih mnogovidiv isnuye kanonichna afinna zv yaznist zv yaznist Levi Chiviti sho uzgodzhuyetsya z rimanovoyu strukturoyu mnogovida Vidobrazhennya viznachene yak vishe dlya ciyeyi konkretnoyi zv yaznosti nazivayetsya eksponencijnim vidobrazhennyam dlya rimanovih mnogovidiv Vlastivosti red exp p 0 p displaystyle exp p 0 p nbsp nbsp Obraz poverhni Zemli pri obernenomu eksponencijnomu vidobrazhenni do pivnichnogo polyusa Dlya kozhnoyi tochki p M displaystyle p in M nbsp isnuye take chislo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp sho eksponencijne vidobrazhennya exp p displaystyle exp p nbsp viznachene dlya vsih vektoriv X T p M displaystyle X in T p M nbsp yaki zadovolnyayut umovu X e displaystyle X leq varepsilon nbsp Bilsh togo exp p displaystyle exp p nbsp ye difeomorfizmom v deyakomu okoli nulya v dotichnomu prostori T p M displaystyle T p M nbsp v deyakij okil tochki p displaystyle p nbsp mnogovida M displaystyle M nbsp Takim chinom v deyakomu okoli tochki p displaystyle p nbsp mnogovida M displaystyle M nbsp viznachene obernene eksponencijne vidobrazhennya sho takozh nazivayetsya logarifmom i poznachayetsya log p displaystyle log p nbsp sho nabuvaye znachen v deyakomu okoli nulya dotichnogo prostoru T p M displaystyle T p M nbsp Nehaj teper N T M displaystyle N subset TM nbsp taka sho dlya p X N displaystyle p X in N nbsp de p M X T p M displaystyle p in M X in T p M nbsp vidobrazhennya exp p X displaystyle exp p X nbsp ye viznachene Todi mnozhina N displaystyle N nbsp ye vidkritoyu pidmnozhinoyu v T M displaystyle TM nbsp i vidobrazhennya exp p X exp p X displaystyle exp p X exp p X nbsp viznachene na N displaystyle N nbsp bude tezh diferencijovnim U metrichno povnomu rimanovomu mnogovidi eksponencijne vidobrazhennya viznacheno dlya bud yakogo dotichnogo vektora Teorema Hopfa Rinova Diferencial eksponencialnogo vidobrazhennya v bud yakij tochci p displaystyle p nbsp ye totozhnim linijnim operatorom Tobto d p exp p X X displaystyle d p exp p X X nbsp dlya bud yakogo X T p M displaystyle X in T p M nbsp Tut mi ototozhnyuyemo prostir dotichnij do T p M displaystyle T p M nbsp z samim prostorom T p M displaystyle T p M nbsp Dlya grup Li G displaystyle G nbsp dotichnij prostir T e G displaystyle T e G nbsp u odinichnomu elementi e displaystyle e nbsp mozhna identifikuvati iz prostorom livoinvariantnih vektornih poliv tobto poliv X displaystyle X nbsp dlya yakih X g h d L g X h g h G displaystyle X gh operatorname d L g X h forall g h in G nbsp de L g displaystyle L g nbsp poznachaye vidobrazhennya mnozhennya zliva na element g displaystyle g nbsp tobto L g h g h displaystyle L g h gh nbsp Dlya nenulovogo elementa T e G displaystyle T e G nbsp vidnovidne livoinvariantne vektorne pole ye nenulovim u vsih tochkah i bilsh togo dlya bazisu postoru T e G displaystyle T e G nbsp vidpovidni livoinvariantni vektorni polya zadayut bazis u kozhnij tochci grupi Li Potoki livoinvariantnih vektornih poliv iz tochki e displaystyle e nbsp ye gomomorfizmami iz aditivnoyi grupi dijsnih chisel u grupu G displaystyle G nbsp i ye viznachenimi dlya vsih dijsnih chisel Yaksho X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp ye livoinvariantnimi linijno nezalezhnimi vektornimi polyami to na grupi Li G displaystyle G nbsp mozhna zadati afinnu zv yaznist yak X X i 0 displaystyle nabla X X i 0 nbsp dlya vsih X i displaystyle X i nbsp i vsih X T M displaystyle X in TM nbsp todi takozh X Y 0 displaystyle nabla X Y 0 nbsp dlya vsih livoinvariantnih poliv Y displaystyle Y nbsp Dlya ciyeyi zv yaznosti geodezichna liniya iz tochki e displaystyle e nbsp u napryamku X e displaystyle X e nbsp ye rivnoyu potoku livoinvariantnogo vektornogo polya X displaystyle X nbsp iz tochki e displaystyle e nbsp Takim chinom eksponencijne vidobrazhennya zbigayetsya iz eksponentoyu viznachenoyu v teoriyi grup Li Vazhlivim chastkovim vipadkom poperednogo ye grupa G L n R displaystyle GL n mathbb R nbsp nevirodzhenih kvadratnih matric poryadku n displaystyle n nbsp Odinichnim elementom ciyeyi grupi ye odinichna matricya i dotichnij prostir v comu elementi ye rivnim M n R displaystyle M n mathbb R nbsp prostoru usih kvadratnih matric poryadku n displaystyle n nbsp Dlya A M n R displaystyle A in M n mathbb R nbsp vidpovidnij potik dlya livoinvariantnogo polya zadayetsya yak exp t A k 0 t k k A k displaystyle exp tA sum k 0 infty t k over k A k nbsp Zokrema u tochci t 1 displaystyle t 1 nbsp znachennya potoku ye rivnim klasichnij eksponenti matrici sho poyasnyuye vikorichtannya ciyeyi nazvi dlya analogichnih vidobrazhen u shirshih klasah grup Li i diferencijovnih mnogovidiv Prikladi red U vipadku R n displaystyle mathbb R n nbsp eksponencijne vidobrazhennya ye kanonichnoyu identifikaciyeyu dotichnogo prostoru T p R n displaystyle T p mathbb R n nbsp iz R n displaystyle mathbb R n nbsp pri yakij pochatok koordinat dotichnogo prostoru perehodit u tochku p A same exp V p V displaystyle exp V p V nbsp Dlya odinichnoyi sferi S 2 displaystyle S 2 nbsp iz pivdennim polyusom u tochci p 0 0 1 displaystyle p 0 0 1 nbsp yaksho na T p S 2 displaystyle T p S 2 nbsp vvesti polyarni koordinati to kozhen dotichnij vektor mozhna zapisati yak V r cos f x r sin f y displaystyle V r cos varphi frac partial partial x r sin varphi frac partial partial y nbsp i rozglyadati eksponentu yak funkciyu r displaystyle r nbsp i f displaystyle varphi nbsp Todi mozhna zapisati u yavnomu vidiexp p r f cos f cos r p 2 sin f cos r p 2 sin r p 2 displaystyle exp p r varphi left cos varphi cos r pi 2 sin varphi cos r pi 2 sin r pi 2 right nbsp dd Zokrema obrazami kil iz radiusami p 2 p n n Z displaystyle frac pi 2 pi n n in mathbb Z nbsp ye ekvator kuli obrazami kil iz radiusami p 2 p n n Z displaystyle pi 2 pi n n in mathbb Z nbsp ye pivnichnij polyus a obrazami kil iz radiusami 2 p n n Z displaystyle 2 pi n n in mathbb Z nbsp ye pivdennij polyus U comu vipadku eksponencijne vidobrazhennya ye viznachenim dlya vsiyeyi dotichnoyi ploshini Natomist dlya S 2 0 0 1 displaystyle S 2 setminus 0 0 1 nbsp tobto odinichnoyi kuli bez pivnichnogo polyusa eksponencijne vidobrazhennya iz dotichnoyi ploshini u pivdennomu polyusi ye viznachenim lishe u kruzi r lt p displaystyle r lt pi nbsp Div takozh red Eksponenta matrici Eksponenta teoriya grup Li Normalna sistema koordinatLiteratura red Hicks Noel 1965 Notes on Differential Geometry Van Nostrand Princeton N J ISBN 0442034105 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Eksponencijne vidobrazhennya amp oldid 30188032