У теорії експонентою називається (відображення) з (алгебри Лі) групи що приймає значення в самій групі. Експонента є одним з найголовніших інструментів вивчення груп і алгебр Лі і зв'язків між ними.
Звичайна (експонента) (дійсних чисел) чи (експонента матриці) є прикладами загальної експоненти для відповідних груп і алгебр Лі.
Визначення
Нехай — група Лі, а — відповідна алгебра Лі. Алгебру Лі можна інтерпретувати, як (дотичний простір) в одиниці групи, тобто або як простір лівоінваріантних (векторних полів) на групі Таке лівоінваріантне векторне поле значення якого на одиничному елементі рівне позначається
Оскільки група Лі є (гладким многовидом) для векторного поля в околі одиничного елемента існує (інтегральна крива) така що Неважко довести, що для груп Лі дана інтегральна крива визначена для всіх дійсних чисел і
Тому можна визначити відображення визначене як:
- Це відображення і називається екпоненційним відображенням або експонентою.
Приклади
- Позначивши — множину додатних дійсних чисел з операцією множення отримаємо групу Лі алгебра Лі якої ізоморфна множині дійсних чисел. Експонента в цьому випадку рівна звичайній експоненті дійсних чисел.
- Нехай — множина (невироджених дійсних матриць) розмірності n. Разом з операцією (множення матриць) ця множина є групою Лі алгебра Лі якої рівна — множина (квадратних матриць) розмірності n. Експонентою в цьому випадку буде (експонента матриць).
- Нехай V — (скінченновимірний) дійсний (лінійний простір), який з операцією додавання векторів є групою Лі. Тоді через ідентифікацію простору V з його дотичним простором у точці 0. При такій ідентифікації експонента
- є тотожним відображенням.
Властивості
- Якщо то звідки з властивостей цих кривих
- Як наслідок з попереднього
- Експоненційне відображення є гладким відображенням. Його (диференціал) у нулі, , є тотожним лінійним відображенням. Відповідно експонента є (дифеоморфізмом) між деяким околом 0 в і деяким околом одиничного елемента в групі .
- Загалом проте експонента не є локальним дифеоморфізмом в кожній своїй точці, прикладом може бути відображення з so(3) в SO(3).
- є однопараметричною підгрупою в тобто гладким (гомоморфізмом) х групи з операцією додавання в групу Більш того всі однопараметричні підгрупи в мають вигляд для деякого
- Нехай — гомоморфізм груп Лі і його диференціал в одиниці. Тоді наступна діаграма є комутуючою:
- Застосовуючи попередню властивість до (приєднаних представлень групи) отримуємо властивості:
- Нехай елементи комутують, тобто тоді елементи комутують, як елементи групи щодо операції множення в групі й крім того
- Позначивши — (зв'язану) компоненту групи що містить одиничний елемент ( є підгрупою в ) то множина є (породжуючою) для тобто довільний елемент можна записати як де Зокрема група Лі є зв'язаною тоді й лише тоді коли всі її елементи можна записати в такому виді.
- Якщо група є (компактною) або (нільпотентною) то експоненційне відображення є (сюрєкцією) на тобто довільний елемент рівний для деякого Це ж твердження справедливе і у випадку групи
- Образ експоненційного відображення у зв'язаній але не компактній чи нільпотентній групі не рівний усій групі. Образом може бути -(діагоналізовна) матриця з (власними значеннями) рівними додатнім дійсним числам чи недійсним числам з модулем 1, недіагоналізовні матриці обидва власні значення яких рівні 1 і матриця . Зокрема матриці з дійсними від'ємними власними значеннями за виключенням не належать образу.
Див. також
- (Приєднане представлення групи Лі)
- (Експонента матриці)
- (Експоненційне відображення)
Примітки
- Hall, 2015 Exercise 3.22
Посилання
- E.P. van den Ban Lecture Notes on Lie groups [ 19 вересня 2017 у (Wayback Machine).]
Джерела
- Голод П. І., (Клімик А. У.) Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, (ISBN) .
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Exponential mapping, (Математична енциклопедія), , (ISBN)
- Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, т. 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, (ISBN) , (MR) 1834454.
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley-Interscience, (ISBN) .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет