Normalna sistema koordinat lokalna sistema koordinat v okoli tochki rimanovogo mnogovidu abo bilsh zagalno mnogovidu z afinnoyu zv yaznistyu sho oderzhuyetsya iz koordinat na dotichnomu prostori v danij tochci zastosuvannyam eksponencijnogo vidobrazhennya Zmist 1 Oznachennya 2 Vlastivosti 3 Div takozh 4 LiteraturaOznachennya red Nehaj M displaystyle M nbsp ye gladkim mnogovidom iz afinnoyu zv yaznistyu displaystyle nabla nbsp Dlya dotichnogo prostoru T p M displaystyle T p M nbsp u tochci p M displaystyle p in M nbsp dlya kozhnogo V T p M displaystyle V in T p M nbsp isnuye odnoznachno viznachena geodezichna kriva g V displaystyle gamma V nbsp zadana na yakomus promizhku t t tobto g t g t 0 displaystyle nabla dot gamma t dot gamma t 0 nbsp na comu promizhku i g V 0 Y displaystyle dot gamma V 0 Y nbsp Ci geodezichni liniyi zadayut eksponencijne vidobrazhennya na vidkritij pidmnozhini E p T p M displaystyle mathcal E p subset T p M nbsp exp p E p M V exp p V g V 1 displaystyle exp p colon mathcal E p to M quad V mapsto exp p V gamma V 1 nbsp Dlya bazisa E i i displaystyle E i i nbsp dotichnogo prostoru T p M displaystyle T p M nbsp isnuye linijnij izomorfizm E R n T p M displaystyle E colon mathbb R n to T p M nbsp zadanij yak E x 1 x n i x i E i displaystyle textstyle E x 1 ldots x n sum i x i E i nbsp Nehaj U M displaystyle U subset M nbsp ye normalnim okolom tochki p displaystyle p nbsp tobto okolom dlya yakogo eksponencijne vidobrazhennya ye difeomorfizmom iz okolu 0 V exp p 1 U displaystyle 0 in V exp p 1 U nbsp u dotichnomu prostori T p M displaystyle T p M nbsp na U displaystyle U nbsp Todi vidobrazhennya ϕ U R n U q E 1 exp p 1 q displaystyle phi colon U to mathbb R n quad U ni q mapsto E 1 circ exp p 1 q nbsp ye koordinatnim vidobrazhennyam sho zadaye lokalnu sistemu koordinat yaki i nazivayutsya normalnimi koordinatami Oskilki vibir koordinat na dotichnomu prostori ye dovilnim to i normalni koordinati v okoli tochki ne ye odnoznachno viznachenimi Dlya rimanovih mnogovidiv chasto vimagayetsya shob bazovi vektori dotichnogo prostoru buli ortonormalnimi Todi oderzhani koordinati takozh nazivayutsya rimanovimi normalnimi koordinatami Vlastivosti red Nehaj x i displaystyle x i nbsp ye normalnimi koordinatami v normalnomu okoli U displaystyle U nbsp z centrom u tochci p M displaystyle p in M nbsp Koordinatami tochki p displaystyle p nbsp ye 0 0 displaystyle 0 0 nbsp Nehaj V T p M displaystyle V in T p M nbsp iz komponentami V i displaystyle V i nbsp u lokalnih koordinatah Todi geodezichna kriva g V displaystyle gamma V nbsp iz tochki p displaystyle p nbsp u napryamku V displaystyle V nbsp u normalnih koordinatah na U displaystyle U nbsp zadayetsya yak g V t t V 1 t V n displaystyle gamma V t tV 1 tV n nbsp Yaksho tenzor kruchennya afinnoyi zv yaznosti displaystyle nabla nbsp ye nulovim to Simvoli Kristofelya u tochci p displaystyle p nbsp u koordinatnomu bazisi X i x i displaystyle X i frac partial partial x i nbsp ye rivnimi nulyu tobto G i j k p 0 displaystyle Gamma ij k p 0 nbsp Cya vlastivist zokrema zavzhdi ye spravedlivoyu dlya rimanovih mnogovidiv iz zv yaznistyu Levi Chiviti Za oznachennyam afinnoyi zv yaznosti i simvoliv Kristofelya dlya koordinatnogo bazisa X i X j p k 1 n G i j k p X k p displaystyle nabla X i X j p sum k 1 n Gamma ij k p X k p nbsp Za oznachennyam tenzora kruchennya T X i X j X i X j X j X i X i X j displaystyle T X i X j nabla X i X j nabla X j X i X i X j nbsp i oskilki duzhki Li koordinatnih vektornih poliv ye nulovimi i za umovoyu tenzor kruchennya rivnim nulyu to X i X j X j X i displaystyle nabla X i X j nabla X j X i nbsp Iz poperednih vlastivostej kriva zadana u normalnih koordinatah yak g t 0 t t 0 displaystyle gamma t 0 ldots t ldots t ldots 0 nbsp de t ye na poziciyah i i j a vsi reshta koordinati rivni 0 ye geodezichnoyu i tomu 0 X i X j X i X j X i X i X j X j 2 X i X j displaystyle 0 nabla X i X j X i X j nabla X i X i nabla X j X j 2 nabla X i X j nbsp Ale usi normalni koordinatni liniyi sho vihodyat iz p displaystyle p nbsp ye geodezichnimi to zh X i X i X j X j 0 displaystyle nabla X i X i nabla X j X j 0 nbsp a tomu takozh X i X j 0 displaystyle nabla X i X j 0 nbsp Zvidsi i vsi simvoli Kristofelya u tochci p displaystyle p nbsp ye rivnimi nulyu dd Dlya rimanovogo mnogovidu iz zv yaznistyu Levi Chiviti vsi chastkovi pohidni elementiv g i j displaystyle g ij nbsp metrichnogo tenzora u tochci p displaystyle p nbsp ye rivnimi nulyu tobto g i j x k p 0 i j k displaystyle frac partial g ij partial x k p 0 forall i j k nbsp U vipadku rimanovih normalnih koordinat u tochci p displaystyle p nbsp elementi g i j displaystyle g ij nbsp u p displaystyle p nbsp ye rivnimi d i j displaystyle delta ij nbsp Div takozh red Atlas matematika Afinna zv yaznist Diferencijovnij mnogovid Eksponencijne vidobrazhennya Tenzor kruchennyaLiteratura red Busemann Herbert 1955 On normal coordinates in Finsler spaces Mathematische Annalen 129 417 423 ISSN 0025 5831 MR 0071075 doi 10 1007 BF01362381 Kobayashi Shoshichi Nomizu Katsumi 1996 Foundations of Differential Geometry Vol 1 vid New Wiley Interscience ISBN 0 471 15733 3 Chern S S Chen W H Lam K S Lectures on Differential Geometry World Scientific 2000 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Normalna sistema koordinat amp oldid 39519736
