Символи Крістофеля (позначаються ) — це коефіцієнти компенсаційного доданка, який зменшує вплив викривлення системи координат на диференціювання векторів та тензорів. Існує також альтернативна назва для символів Крістофеля — коефіцієнти (афінної зв'язності).
Символи Крістофеля не є тензором, бо не підкоряються тензорному правилу переходу в іншу систему координат.
Розглянемо -вимірний (многовид), вміщений в -вимірний (евклідовий простір) (). Точки евклідового простору будемо зображати (радіус-вектором) , який в прямокутних (декартових координатах) має вигляд:
Многовид в цьому просторі задається параметрично (вектор-функцією):
Параметри є координатами на многовиді. (Часткові похідні) радіус-вектора по цих координатах будуть (дотичними) векторами до многовиду і утворюють (базис) в дотичному афінному [en] евклідового простору.
Розглянемо другу похідну радіус-вектора многовида по параметрах. Це є вектор, який можна розкласти на два вектори — дотичний до многовиду і (перпендикулярний) :
(Дотичний вектор) можна розкласти за базисом :
Коефіцієнти розкладу (числа ) вивчав німецький математик [en], тому вони називаються символами Крістофеля.
Ми можемо формули (4) і (5) зібрати в одну формулу:
Символи Крістофеля першого роду
Помножимо рівність (6) скалярно на базисний вектор , і врахуємо (ортогональність) вектора
:
в останньому виразі ми використали позначення метричного тензора , який виражається через скалярні добутки базисних векторів. Одержані в правій частині цієї рівності величини називаються символами Крістофеля першого роду, і позначаються тією ж великою літерою «гамма», але з опущеним індексом (і відокремленим комою, щоб підкреслити його особливість у порівнянні з двома іншими індексами):
Ми можемо також навпаки, виразити звичайні символи Крістофеля (які називаються аналогічно символами Крістофеля другого роду) через символи Крістофеля першого роду, домноживши (8) на обернений метричний тензор :
Симетрія по нижніх індексах
Внаслідок теореми про і з рівності (8) ми одержуємо, що символи Крістофеля першого роду симетричні по перших двох індексах:
Те саме стосується символів Крістофеля з верхнім індексом внаслідок (9), дійсно:
Зв'язок з метричним тензором
Візьмемо частинну похідну від компоненти метричного тензора (яка, як відомо, дорівнює скалярному добутку базисних векторів):
Для спрощення запису подальших формул, введемо наступне позначення оператора частинної похідної:
Тоді з формул (12) і (8) маємо формулу, яка виражає похідні метричного тензора через символи Крістофеля першого роду:
Можна також і навпаки, виразити символи Крістофеля через похідні метричного тензора. Для цього з формули (14) утворимо ще дві еквівалентні формули, циклічно переставляючи індекси :
Якщо додати дві останні формули і від суми відняти (14), одержимо з врахуванням симетрії символів Крістофеля:
звідки одержуємо формули для символів Крістофеля:
Ми бачимо, що символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора, а тому є поняттям внутрішньої геометрії многовиду і системи координат у многовиді.
Формули згорток
Із формули (18) можна обчислити згортки символів Крістофеля:
де буквою без індексів позначено (визначник) матриці метричного тензора
. Вивід цих формул дивіться .
Перехід в іншу систему координат
Нехай на многовиді окрім параметрів задано також інший набір параметрів
, які задають іншу систему координат.
Введемо такі позначення для (взаємно обернених) (матриць переходу) між цими системами координат:
Базисні вектори в новій системі координат виражаються через старий базис за тензорним законом:
Знайдемо, як виглядатиме формула (6) в новій системі координат. Спершу обчислюємо (другу похідну):
В останньому доданку розпишемо за формулою (6):
У формулі (24) зберемо докупи доданки з дотичними до многовиду векторами , перейменувавши при потребі індекси за якими іде згортка, і окремо виділимо ортогональний доданок:
Запишемо для порівняння також формулу (6) у новій системі координат.
Із формул (25) і (26) ми можемо зробити два висновки. По-перше, вектори повної кривини при заміні координат змінюються за тензорним законом:
А по-друге, символи Крістофеля змінюються за таким правилом:
яке можна переписати, виразивши символи Крістофеля в новій системі координат:
Цей закон перетворення не тензорний, завдяки наявності доданка другої похідної. Як наслідок, для довільного многовида і окремо взятої точки на многовиді можна підібрати таку систему координат, що .
Обчислення символів Крістофеля в евклідовому просторі
Нехай нашим многовидом буде евклідовий простір (з нульовим (тензором Рімана)), в якому задана декартова система координат і криволінійна система координат
. У декартових координатах всі символи Крістофеля
тотожно дорівнюють нулю. А для символів Крістофеля в криволінійній системі координат внаслідок (29) одержуємо наступну формулу:
або
При обчисленні формули (30) ми врахували взаємну оберненість матриць:
і те, що похідна від константи дорівнює нулю.
Див. також
- (Дериваційні формули Вейнгартена)
Джерела
- (Борисенко, О. А.) Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — 304 с. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
- О. Пришляк, Диференціальна геометрія [ 21 січня 2022 у Wayback Machine.], (Київський національний університет імені Тараса Шевченка), 2004.
- (Погорєлов О. В.) Диференціальна геометрія. — М. : Наука, 1974. — 184 с. — .
- Димитриенко Ю.И. (2001). Тензорное исчисление (російська) . Москва: «Высшая школа». с. 575. (ISBN) .
- Победря Б.Е. (1974). Лекции по тензорному анализу (російська) . Москва: Издательство Московского университета. с. 206.
- Чернавский А.В. Дифференциальная геометрия, 2 курс (PDF) (російська) .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет