Невироджена матриця

Неви́роджена ма́триця (неособли́ва, несингуля́рна, інверто́вана) — квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю:

Властивості

• Рядки і стовпці невиродженої матриці лінійно незалежні.
• Ранг матриці дорівнює розмірності матриці.
• У невиродженої матриці є обернена матриця. Це еквівалентно тому, що лінійний оператор, який задається матрицею А є бієкцією векторного простору.
• Якщо матриця — невироджена, то система рівнянь має тільки нульовий розв'язок.
• Матриця є невиродженою тоді і тільки тоді якщо всі її власні значення є ненульовими.

Приклад

• Одинична матриця є невиродженою.
• Матриця повороту є невиродженою.

Методи обернення матриці

Метод Гауса

Див. також: Метод Гауса#Знаходження оберненої матриці

Метод Ньютона

Метод Гамільтона — Келі

Власний розклад матриці

Розклад Холецького

Аналітичний розв'язок

Обернення блоками

Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:

де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і D−CA⁻¹B повинна бути невиродженою.) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і D−CA⁻¹B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і A−BD⁻¹C , результатом є

Прирівнявши (1) і (2) отримуємо

де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.

Через ряд Неймана

Дивись також

• Теорія матриць
• Вироджена матриця
• Союзна матриця

Примітки

1. Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 44. ISBN 0-691-11802-7. 
2. Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 45. ISBN 0-691-11802-7. 
3. Томас Кормен; Чарльз Лейзерсон, Рональд Рівест, Кліфорд Стайн (2009) [1990]. 28.2 Inverting matrices. Вступ до алгоритмів (вид. 3rd). MIT Press і McGraw-Hill. с. 827–831. ISBN 0-262-03384-4. 

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)