www.wikidata.uk-ua.nina.az

Метрика Громова Гаусдорфа спосіб визначити відстань між двома компактними метричними просторами Точніше це метрика на мн

Метрика Громова — Гаусдорфа

Метрика Громова — Гаусдорфа — спосіб визначити відстань між двома компактними метричними просторами. Точніше, це метрика на множині ізометричних класів компактних метричних просторів.

1975 року цю метрику ввів Едвардс, а потім 1981 року перевідкрив і узагальнив М. Л. Громов. Громов використав цю метрику в доведенні теореми про групи поліноміального зростання.

Визначення ред.

Відстань Громова — Гаусдорфа між ізометричними класами компактних метричних просторів і визначається як точна нижня грань відстаней Гаусдорфа між їх образами при глобально-ізометричних вкладеннях і у спільний метричний простір . При цьому точна нижня грань береться як за всіма глобально ізометричними вкладеннями, так і за всіма просторами .

Еквівалентно, можна визначити відстань Громова — Гаусдорфа як точну нижню грань відстаней Гаусдорфа між і у диз'юнктному об'єднанні , з метрикою такою, що звуження на збігається з метрикою на і звуження на збігається з метрикою на . При цьому точна нижня грань береться за всіма такими метриками .

Коментарі ред.

  • Часто слова «ізометричний клас» опускають, тобто замість «відстань Громова — Гаусдорфа між ізометричними класами і » кажуть «відстань Громова — Гаусдорфа між і ».
  • Відстань між ізометричними класами і зазвичай позначають або .
  • Багато ізометричних класів компактних метричних просторів, забезпечених метрикою Громова — Гаусдорфа, зазвичай позначають , або .

Пов'язані визначення ред.

  • Послідовність ізометричних класів компактних метричних просторів збігається до ізометричного класу компактного метричного простору , якщо при .

Властивості ред.

  • Метричний простір є лінійно зв'язним, повним, сепарабельним і зі внутрішньою метрикою.
    • Більш того, є геодезичним; тобто, будь-які дві його точки з'єднуються найкоротшою кривою, довжина якої дорівнює відстані між цими точками.
  • Простір Громова — Гаусдорфа глобально неоднорідний; тобто, його група ізометрій тривіальна, проте локально є багато нетривіальних ізометрій .
  • Простір ізометричний протору класів конгруентності компакнтих підмножин простору Урисона з метрикою Гаусдорфа з точністю до руху .
  • Будь-яке цілком рівномірно обмежене сімейство метричних просторів є відносно компактним у метриці Громова — Гаусдорфа.
    • Сімейство метричних просторів називають цілком рівномірно обмеженим, якщо діаметри всіх просторів цього сімейства обмежені однією і тією ж сталою, і для будь-якого існує таке ціле додатне число , що будь-який простір з допускає -мережу з не більш ніж точок.
    • З цієї властивості, зокрема, випливає теорема Громова про компактність, аналогічна теоремі вибору Бляшке для метрики Гаусдорфа.

Варіації та узагальнення ред.

  • У визначенні можна замінити компактність на скінченність діаметра, але при цьому ми визначимо метрику на класі об'єктів (а не на множині). Тобто, формально кажучи, клас усіх ізометричних класів метричних просторів зі скінченним діаметром, доповнений метрикою Громова — Гаусдорфа, не є метричним простором.
  • Якщо дозволити метриці набувати значення , можна також відмовитися від скінченності діаметра.

Примітки ред.

  1. D. Edwards, «The Structure of Superspace [ 2016-03-04 у Wayback Machine.]», у «Studies in Topology», Academic Press, 1975
  2. A. Tuzhilin, «Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? [ 2016-12-20 у Wayback Machine.] (2016)», arXiv:1612.00728
  3. M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 [ 2016-11-29 у Wayback Machine.]
  4. A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015). The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic. arXiv:1504.03830. 
  5. Anton Petrunin. Pure metric geometry: introductory lectures. — 2020. — 29 October. arXiv:2007.09846

Література ред.

  • M. Gromov. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
  • M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (переклад з додатковим матеріалом).
  • Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Metrika Gromova Gausdorfa sposib viznachiti vidstan mizh dvoma kompaktnimi metrichnimi prostorami Tochnishe ce metrika na mnozhini izometrichnih klasiv kompaktnih metrichnih prostoriv 1975 roku cyu metriku vviv Edvards 1 2 a potim 1981 roku perevidkriv i uzagalniv M L Gromov 3 Gromov vikoristav cyu metriku v dovedenni teoremi pro grupi polinomialnogo zrostannya Zmist 1 Viznachennya 1 1 Komentari 2 Pov yazani viznachennya 3 Vlastivosti 4 Variaciyi ta uzagalnennya 5 Primitki 6 LiteraturaViznachennya red Vidstan Gromova Gausdorfa mizh izometrichnimi klasami kompaktnih metrichnih prostoriv X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp viznachayetsya yak tochna nizhnya gran vidstanej Gausdorfa mizh yih obrazami pri globalno izometrichnih vkladennyah X Z displaystyle X hookrightarrow Z nbsp i Y Z displaystyle Y hookrightarrow Z nbsp u spilnij metrichnij prostir Z displaystyle Z nbsp Pri comu tochna nizhnya gran beretsya yak za vsima globalno izometrichnimi vkladennyami tak i za vsima prostorami Z displaystyle Z nbsp Ekvivalentno mozhna viznachiti vidstan Gromova Gausdorfa yak tochnu nizhnyu gran vidstanej Gausdorfa mizh X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp u diz yunktnomu ob yednanni X Y displaystyle X sqcup Y nbsp z metrikoyu r displaystyle rho nbsp takoyu sho zvuzhennya r displaystyle rho nbsp na X displaystyle X nbsp zbigayetsya z metrikoyu na X displaystyle X nbsp i zvuzhennya r displaystyle rho nbsp na Y displaystyle Y nbsp zbigayetsya z metrikoyu na Y displaystyle Y nbsp Pri comu tochna nizhnya gran beretsya za vsima takimi metrikami r displaystyle rho nbsp Komentari red Chasto slova izometrichnij klas opuskayut tobto zamist vidstan Gromova Gausdorfa mizh izometrichnimi klasami X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp kazhut vidstan Gromova Gausdorfa mizh X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp Vidstan mizh izometrichnimi klasami X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp zazvichaj poznachayut d G H X Y displaystyle d GH X Y nbsp abo X Y G H displaystyle X Y GH nbsp Bagato izometrichnih klasiv kompaktnih metrichnih prostoriv zabezpechenih metrikoyu Gromova Gausdorfa zazvichaj poznachayut M displaystyle mathcal M nbsp M displaystyle mathfrak M nbsp abo G H displaystyle GH nbsp Pov yazani viznachennya red Poslidovnist izometrichnih klasiv kompaktnih metrichnih prostoriv X n displaystyle X n nbsp zbigayetsya do izometrichnogo klasu kompaktnogo metrichnogo prostoru X displaystyle X infty nbsp yaksho d G H X n X 0 displaystyle d GH X n X infty to 0 nbsp pri n displaystyle n to infty nbsp Vlastivosti red Metrichnij prostir G H displaystyle GH nbsp ye linijno zv yaznim povnim separabelnim i zi vnutrishnoyu metrikoyu Bilsh togo G H displaystyle GH nbsp ye geodezichnim 4 tobto bud yaki dvi jogo tochki z yednuyutsya najkorotshoyu krivoyu dovzhina yakoyi dorivnyuye vidstani mizh cimi tochkami Prostir Gromova Gausdorfa G H displaystyle GH nbsp globalno neodnoridnij tobto jogo grupa izometrij trivialna prote lokalno ye bagato netrivialnih izometrij Prostir G H displaystyle GH nbsp izometrichnij protoru klasiv kongruentnosti kompakntih pidmnozhin prostoru Urisona U displaystyle mathcal U nbsp z metrikoyu Gausdorfa z tochnistyu do ruhu U displaystyle mathcal U nbsp 5 Bud yake cilkom rivnomirno obmezhene simejstvo metrichnih prostoriv ye vidnosno kompaktnim u metrici Gromova Gausdorfa Simejstvo X displaystyle X nbsp metrichnih prostoriv nazivayut cilkom rivnomirno obmezhenim yaksho diametri vsih prostoriv cogo simejstva obmezheni odniyeyu i tiyeyu zh staloyu i dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye take cile dodatne chislo N e displaystyle N varepsilon nbsp sho bud yakij prostir z X displaystyle X nbsp dopuskaye e displaystyle varepsilon nbsp merezhu z ne bilsh nizh N e displaystyle N varepsilon nbsp tochok Z ciyeyi vlastivosti zokrema viplivaye teorema Gromova pro kompaktnist analogichna teoremi viboru Blyashke dlya metriki Gausdorfa Variaciyi ta uzagalnennya red U viznachenni mozhna zaminiti kompaktnist na skinchennist diametra ale pri comu mi viznachimo metriku na klasi ob yektiv a ne na mnozhini Tobto formalno kazhuchi klas usih izometrichnih klasiv metrichnih prostoriv zi skinchennim diametrom dopovnenij metrikoyu Gromova Gausdorfa ne ye metrichnim prostorom Yaksho dozvoliti metrici nabuvati znachennya displaystyle infty nbsp mozhna takozh vidmovitisya vid skinchennosti diametra Primitki red D Edwards The Structure of Superspace Arhivovano 2016 03 04 u Wayback Machine u Studies in Topology Academic Press 1975 A Tuzhilin Who Invented the Gromov Hausdorff Distance Arhivovano 2016 12 20 u Wayback Machine 2016 arXiv 1612 00728 M Gromov Groups of Polynomial growth and Expanding Maps Publications mathematiques I H E S 53 1981 Arhivovano 2016 11 29 u Wayback Machine A Ivanov N Nikolaeva A Tuzhilin 2015 The Gromov Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic arXiv 1504 03830 Anton Petrunin Pure metric geometry introductory lectures 2020 29 October arXiv 2007 09846Literatura red M Gromov Structures metriques pour les varietes riemanniennes edited by Lafontaine and Pierre Pansu 1981 M Gromov Metric structures for Riemannian and non Riemannian spaces Birkhauser 1999 ISBN 0 8176 3898 9 pereklad z dodatkovim materialom Burago D Yu Burago Yu D Ivanov S V Kurs metricheskoj geometrii M Izhevsk Institut kompyuternyh issledovanij 2004 512 s ISBN 5 93972 300 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Metrika Gromova Gausdorfa amp oldid 36844604