www.wikidata.uk-ua.nina.az

Правильний шестикутник Тип Правильний багатокутникВластивості Опуклий рівносторонній ізогональний вершинно транзитивний

Правильний шестикутник

Правильний шестикутник
Тип Правильний багатокутник
Властивості Опуклий, рівносторонній, ізогональний (вершинно-транзитивний), ізотоксальний (реберно-транзитивний), конциклічний (вписаний в коло), тангенціальний (описаний навколо кола)
Елементи 6 ребер
6 вершин
Вершинна фігура Відрізок довжиною
Позначення
Символ Шлефлі {6} (повна симетрія)
t{3} (зрізаний трикутник)
Діаграма Коксетера-Динкіна

або (x6o)

Група симетрії D6, порядок 12 (Діедральна група)
Двоїстий Самодвоїстий

Правильний шестикутник (гексагон від грец. ἕξ, hex — шість та грец. γωνία, gonía — кут) — шестикутник, у якого всі сторони і кути рівні.

Також, правильний шестикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з шістьма сторонами.

Правильний шестикутник можна отримати , застосовуючи операцію зрізання вершини до рівностороннього трикутника. Такий шестикутник має символ Шлефлі t{3}.

Правильний шестикутник може виступати в якості граней для шестикутної призми та антипризми, для п'яти напівправильних багатогранників Архімеда, а також для багатогранників Голдберга[en] та багатогранників Ватермана[en].

Правильний шестикутник має шість ліній дзеркальної симетрії, і обертову симетрію 6-го порядку (у 60°, 120°, 180°, 240° та 300°).

Оскільки сума внутрішніх кутів довільного опуклого шестикутника становить 720°, то кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120°.

Формули Редагувати

Нехай ‒ сторона правильного шестикутника,
R ‒ радіус описаного кола,
r ‒ радіус вписаного кола.

Для правильного шестикутника справедливі наступні формули:

Сторона правильного шестикутника:

У правильному шестикутнику сторона дорівнює радіусу описаного навколо нього кола.

Радіус вписаного кола правильного шестикутника (дорівнює апотемі правильного шестикутника) ‒ дотикається до всіх його ребер:

Радіус описаного кола правильного шестикутника ‒ проходить через всі його вершини:

Висота ‒ відстань між протилежними сторонами:

Із відношення радіусів описаного та вписаного кіл випливає, що відношення висоти до ширини правильного шестикутника дорівнює 1:1,1547005; тобто шестикутник із довгою діагоналлю 1 матиме відстань 0,8660254 між паралельними сторонами.

Площа правильного шестикутника:


де P - периметр правильного шестикутника:
p ‒ півпериметр;
r = ‒ радіус вписаного кола/ апотема.

Кути правильного шестикутника Редагувати

Внутрішній кут правильного шестикутника при даній вершині називається кут між двома його сторонами, що сходяться в цій вершині.

Сума внутрішніх кутів дорівнює  радіан.

Зовнішній кут правильного шестикутика при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.

радіан.

Сума зовнішніх кутів (по одному при кожній вершині) дорівнює  радіан.

Центральний кут правильного шестикутика називається центральний кут його описаного кола, що спирається на його сторону. Величина центрального кута дорівнює:

радіан.

Діагоналі Редагувати

Правильний шестикутник має діагоналей:

  • Шість діагоналей мають довжину

Коротка діагональ дорівнює висоті H шестикутника.

  • Три діагоналі мають довжину

Довга діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.

З однієї вершини правильного шестикутника можна провести три діагоналі; вони ділять шестикутник на чотири трикутних частини, а внутрішній кут шестикутника ділять на чотири рівних частини.

Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять з однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять з цієї вершини):

Діагоналі правильного шестикутника перетинаються в 13 точках і ділять внутрішню область шестикутника на 24 частини (послідовності  A006561 та  A007678).

Короткі діагоналі при перетині утворюють гексаграму. Довгі діагоналі перетинаються в одній точці ‒ центрі правильного шестикутника.

Сума квадратів всіх сторін та всіх діагоналей правильного шестикутника, вписаного в коло радіуса R дорівнює 36R2 :стор.73, наслідок .

Властивості Редагувати

  1. Правильний шестикутник є рівносторонній і рівнокутний одночасно. Він є вписаним і описаним одночасно.
  2. Центри вписаного та описаного кіл співпадають та лежать в центрі правильного шестикутника. Також в центрі правильного шестикутника знаходиться його центр мас.
  3. Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони:
  4. Радіус описаного кола правильного шестикутника дорівнює його стороні.
    Інші відомі багатогранники (політопи), які мають цю властивість, це кубоктаедр (а також усі розширені[en] симплекси), тесеракт та 24-комірник[en].
    Завдяки цьому правильний шестикутник можна точно розкласти на 6 рівносторонніх трикутників.
  5. Правильний шестикутник може бути побудований за допомогою циркуля та лінійки без міток.
    Гексаграма
  6. У правильного шестикутника існує тільки одна зірчаста форма – гексаграма (шестикутна зірка, що утворена поєднанням двох правильних трикутників).
    Правильний шестикутник і правильний п'ятикутник є єдиними багатокутниками з однією можливою зірчастою формою.
    Це також багатокутник із найбільшою кількістю сторін, який не має простої зірки, тобто зірки, що не утворена поєднанням інших багатокутників. Інші багатокутники,тщо не мають простих зірок (і зірок взагалі) — це трикутник і квадрат.
    Це також єдиний правильний багатокутник, який має лише складені (непрості) зірки.
    Замощення площини правильними шестикутниками
  7. Правильний шестикутник є одним із трьох правильних багатокутників, якими можна замостити площину без проміжків та накладень; два інші — рівносторонній трикутник і квадрат. Шестикутний паркет має 3 шестикутники при вершині.
    Також використовується в інших однорідних та напівправильних паркетах.
  8. Правильний шестикутник є перестановковим багатогранником[en] порядку 3.
  9. Правильний шестикутник, у якого відстань між протилежними сторонами дорівнює 1 є універсальним покриттям:
    Лемма Пала: будь-яку множину діаметром 1 можна покрити правильним шестикутником, у якого відстань між протилежними сторонами дорівнює 1 (шестикутник з довжиною сторони ). :стор.30 :стор.138.
    Лемма доведена угорським математиком Й. Палом в 1929 році.

Теорема Вівіані Редагувати

Теорема Вівіані для правильного шестикутника

Нехай точка Р – довільна точка всередині правильного шестикутника. З неї на сторони опущені перпендикуляри.

– апотема правильного шестикутника (перпендикуляр, опущений з його центра на будь-яку з його сторін).

Тоді виконується наступна рівність:

Названа іменем італійського математика Вінченцо Вівіані . :стор.72, теорема 102

Точка на описаному колі Редагувати

Навколо правильного шестикутника ABCDEF описано коло. Точка Р лежить на описаному колі між вершинами В і С. Тоді:

Нехай – відстані від точки P на описаному колі правильного шестикутника до його вершин. Тоді: :стор.342, теор.4.4

Сума квадратів відстаней від вершин правильного шестикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює 12R2 :стор.73, теорема d

Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного шестикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює 12R2 − 32a2, :стор.73, наслідок

де а - довжина сторони правильного шестикутника.

Точка в площині правильного шестикутника Редагувати

Навколо правильного шестикутника описано коло радіусом R.

Точка Р знаходиться в площині шестикутника. ОР = L – відстань від точки Р до центра шестикутника (центра описаного кола). (i = 1, 2...5) – відстані від точки Р до вершин шестикутника.

Тоді виконуються наступні рівності: :стор.344, теорема 4.9

Симетрія Редагувати

Шість ліній дзеркальної симетрії правильного шестикутника з симетрією Dih6 або r12, порядок 12.

Правильний шестикутник має діедральну групу симетрії D6 (або Dih6), порядку 12.

Вона складається з 6 обертових симетрій (у 60°, 120°, 180°, 240° та 300°) і 6 осьових симетрій.

Правильний шестикутник має 6 ліній дзеркальної симетрії: 3 осі симетрії, що проходять через дві протилежні вершини, та 3 осі симетрії, що проходять через середини протилежних сторін. Є центр симетрії.

Діедральні симетрії поділяються в залежності від того, чи вони проходять через вершини (d для діагоналі) або ребра (p для перпендикулярів). Обертові симетрії позначені літерою g відповідно до їх порядку центрального обертання. Повна симетрія правильної форми — r12 і відсутність симетрії — a1.

Група симетрії D6 містить 16 підгруп. Це 8 підгруп включно з ізоморфізмами: власне D6 , 2 діедральні (D3, D2), 4 циклічні (Z6, Z3, Z2, Z1), та тривіальна (e).

Ці типи симетрії у правильному шестикутнику можна побачити у вигляді 9 різних симетрій. Джон Конвей позначав їх за допомогою літери і порядку групи.

Повна симетрія правильної форми — r12 і відсутність симетрії — a1.

p6, ізогональний шестикутник, побудований з трьома відзеркаленнями, для неправильних форм може чергувати довгі та короткі ребра.

d6, ізотоксальний шестикутник, побудований з рівними довжинами ребер, але вершини чергуються з двома різними внутрішніми кутами (для неправильних форм).

Ці дві форми є двоїстими одна до одної та мають половинний порядок симетрії правильного шестикутника.

Форми i4 являють собою правильні шестикутники, сплющені або витягнуті вздовж одного напрямку симетрії.

Його можна розглядати як подовжений ромб, тоді як d2 і p2 можна розглядати як горизонтально та вертикально подовжені дельтоїди. g2 шестикутники, протилежні сторони яких паралельні, також називають шестикутними паралелогонами.

Кожна підгрупа симетрії допускає один або більше ступенів вільності для неправильних форм. Лише підгрупа g6 не має ступенів вільності, але її можна розглядати як орієнтований граф. Шестикутники з симетрією g2, i4, та r12, як паралелогони можуть замостити евклідову площину шляхом копіювання. Інші форми шестикутника замощують площину в різних орієнтаціях.

Побудова Редагувати

Правильний шестикутник можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, оскільки число є добутком двійки на просте число Ферма, що згідно з теоремою Гаусса-Ванцеля є достатньою умовою для можливості його побудови за допомогою циркуля і лінійки.

Побудова правильного шестикутника з даним радіусом описаного кола Редагувати

Кроки побудови правильного шестикутника
  • Будуємо коло вибраного радіуса та проводимо його діаметр.
  • З протилежних кінців цього діаметра описуємо дуги циркулем, розхил якого рівний радіусу кола.
  • Точки перетину цих дуг з колом, а також два кінці діаметра кола є вершинами правильного шестикутника.

Побудова правильного шестикутника за даною стороною Редагувати

Дано відрізок АВ, що дорівнює стороні правильного шестикутника.

З кінців відрізка радіусом, рівним АВ проводимо дві дуги до їх перетину в точці М.

Із точки М цим же радіусом проводимо коло.

Починаючи з точки В радіусом АВ відмічаємо на цьому колі ще чотири вершини шуканого шестикутника.


Приблизна побудова "по клітинках" Редагувати

Приблизна побудова правильного шестикутника та дванадцятикутника

Наближення до правильного шестикутника, яке часто є достатнім для практичних цілей, отримують, якщо шестикутник побудовано з приблизно рівносторонніх трикутників, які мають співвідношення висоти до основи 7:8 (7 одиниць довжини в висоту та 8 одиниць довжини основи). Кути цього трикутника майже дорівнюють 60о.

Це наближення застосовується, коли допускається похибка трохи менше 1%. Наприклад, при розмітці клумб, міських площ, ігрових полів та ін.

Точки Pi (x|y) пронумеровані нижче відповідно до цифр годинника, центр (0|0):

  • Координати вершин шестикутника в горизонтальному положенні:
  • Координати вершин шестикутника в вертикальному положенні:

Краще наближення можна отримати, замінивши числа 4, 7 і 8 у наведених вище координатах на 15, 26 і 30 відповідно. Інші можливі трійки: (56, 97, 112) або (209, 362, 418).

Фізичні методи Редагувати

Правильний шестикутник можна скласти методами оригамі, використовуючи дві смуги паперу однакової ширини. :стор.192

Оригамі правильного шестикутника з двох смуг паперу однакової ширини

Розбиття Редагувати

Проекція 6-куба Розбиття на 3 ромби Розбиття на 12 ромбів

Гарольд Коксетер стверджує, що кожен зоногон (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на

паралелограмів.

Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного багатокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.

Це розбиття правильного шестикутника базується на багатокутнику Петрі[en] проекції куба, з 3 із 6 квадратних граней.

Пов'язані багатокутники Редагувати

Правильний шестикутник має символ Шлефлі {6}. Правильний шестикутник є частиною правильного шестикутного паркету {6,3} з трьома шестикутними гранями навколо кожної вершини.

Правильний шестикутник також можна утворити, застосувавши операцію зрізання вершини до рівностороннього трикутника. Такий шестикутник має символ Шлефлі t{3}. Оскільки ця форма має два типи (кольорів) сторін, то її симетрія лише D3.

Зрізаний шестикутник, t{6}, є дванадцятикутником, в якого чергуються два типи (кольорів) сторін.

Альтернований[en] шестикутник, h{6}, є правильним трикутником {3}.

Правильний шестикутник має зірчасту форму, гексаграму.

Правильний шестикутник можна розбити на шість рівносторонніх трикутників, з вершинами в центрі шестикутника. Цей візерунок повторюється в межах правильного трикутного паркета.

Правильний шестикутник можна розширити до правильного дванадцятикутника, додавши навколо нього квадрати та рівносторонні трикутники, що чергуються. Цей візерунок повторюється в ромботришестикутному паркеті[en].

Правильний шестикутник

{6}

Зрізаний правильний трикутник

t{3} = {6}

Гіперзрізаний трикутник Зірчаста форма

Гексаграма 2{3}

Зрізаний правильний шестикутник

t{6} = {12}

Альтернований правильний шестикутник

h{6} = {3}

Розширення правильного {6} в {12}

Правильний шестикутник в багатогранниках Редагувати

Серед правильних багатогранників Платона не існує таких, що мають шестикутні грані. Однак правильний шестикутник можна отримати як переріз правильних багатогранників площиною, або при їх ортогональних проєкціях.

Площина, що перетинає правильний багатогранник по шестикутному перерізу, проходить через центр багатогранника та середини його протилежних паралельних ребер, та розділяє його на дві рівні частини. Площина шестикутного перерізу в кубі та додекаедрі перпендикулярна до їх діагоналі. :стор.836

Багатогранники Архімеда: зрізаний тетраедр, зрізаний октаедр, зрізаний ікосаедр, зрізаний кубооктаедр та зрізаний ікосододекаедр, мають в складі своїх граней правильний шестикутник. Ці шестикутники можна вважати зрізаними трикутниками, а тому багатогранники мають діаграми Кокстера у вигляді та .

Існують інші багатогранники даних симетрій з деформованими (розтягнутими або сплощеними) шестикутниками, зокрема багатогранник Голдберга[en] G(2,0):

Існує 9 багатогранників Джонсона, гранями яких є правильний шестикутник:

Призматоїди з шестикутними гранями:

Паркети з правильними шестикутниками

Правильний шестикутник у природі, техніці та культурі Редагувати

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ Johnson, Roger A. (2007 (orig. 1929)). Advanced Euclidean Geometry (англ.). Dover Publ. с. 319:стор.72–73. 
  2. Peter, Brass (2005). A lower bound for lebesgue`s universal cover problem. International Journal of computational Geometry & Applications. 
  3. Gábor Fejes, Tóth; Kuperberg, Włodzimierz (2022). Four classic problems. Birkhäuser. 
  4. Хадвигер, Гуго; Дебруннер, Ганс (H. Hadwiger, H. Debrunner). (1965). Комбинаторная геометрия плоскости. (Kombinatorische geometrie in der ebene) (ru Переклад з німецької). «Наука»: Главная редакция физико-математической литературы. 
  5. ↑ Wells, David (1991). The Penguin dictionary of curious and interesting geometry (англ.). London: Penguin. с. 287:191–192. 
  6. Abboud, Elias (2010). On Viviani’s Theorem and its Extensions. College Mathematics Journal 43 (3): 16. arXiv:0903.0753v3. 
  7. ↑ Meskhishvili, Mamuka (2020). Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids. Communications in Mathematics and Applications 11: 335–355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420. 
  8. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275—278)
  9. Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
  10. ,Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. p. 170 ISBN 978-0486409146
  11. Cundy, H. and Rollett, A. "Hexagonal Section of a Cube." §3.15.1 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 157, 1989. ISBN 978-0906212202
  12. Weisstein, Eric W. (1998). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (англ.). CRC Press LLC. с. 1969. ISBN 0-8493-9640-9. 
  13. Nathaniel B. Smith, «The idea of the French Hexagon», dans French historical studies, vol. 6, no 2, 1969, p. 139–155 (ISSN 0016-1071).

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pravilnij shestikutnikTip Pravilnij bagatokutnikVlastivosti Opuklij rivnostoronnij izogonalnij vershinno tranzitivnij izotoksalnij reberno tranzitivnij konciklichnij vpisanij v kolo tangencialnij opisanij navkolo kola Elementi 6 reber6 vershinVershinna figura Vidrizok dovzhinoyu 3 displaystyle sqrt 3 PoznachennyaSimvol Shlefli 6 povna simetriya t 3 zrizanij trikutnik Diagrama Koksetera Dinkina abo x6o Grupa simetriyi D6 poryadok 12 Diedralna grupa Dvoyistij SamodvoyistijPravilnij shestikutnik geksagon vid grec ἕ3 hex shist ta grec gwnia gonia kut shestikutnik u yakogo vsi storoni i kuti rivni Takozh pravilnij shestikutnik geometrichna figura pravilnij bagatokutnik z shistma storonami Pravilnij shestikutnik mozhna otrimati zastosovuyuchi operaciyu zrizannya vershini do rivnostoronnogo trikutnika Takij shestikutnik maye simvol Shlefli t 3 Pravilnij shestikutnik mozhe vistupati v yakosti granej dlya shestikutnoyi prizmi ta antiprizmi dlya p yati napivpravilnih bagatogrannikiv Arhimeda a takozh dlya bagatogrannikiv Goldberga en ta bagatogrannikiv Vatermana en Pravilnij shestikutnik maye shist linij dzerkalnoyi simetriyi i obertovu simetriyu 6 go poryadku u 60 120 180 240 ta 300 Oskilki suma vnutrishnih kutiv dovilnogo opuklogo shestikutnika stanovit 720 to kozhen vnutrishnij kut pravilnogo shestikutnika dorivnyuye 120 Zmist 1 Formuli 2 Kuti pravilnogo shestikutnika 3 Diagonali 4 Vlastivosti 4 1 Teorema Viviani 4 2 Tochka na opisanomu koli 4 3 Tochka v ploshini pravilnogo shestikutnika 5 Simetriya 6 Pobudova 6 1 Pobudova pravilnogo shestikutnika z danim radiusom opisanogo kola 6 2 Pobudova pravilnogo shestikutnika za danoyu storonoyu 6 3 Priblizna pobudova po klitinkah 6 4 Fizichni metodi 7 Rozbittya 8 Pov yazani bagatokutniki 9 Pravilnij shestikutnik v bagatogrannikah 10 Pravilnij shestikutnik u prirodi tehnici ta kulturi 11 Div takozh 12 Primitki 13 PosilannyaFormuli Redaguvati nbsp Nehaj a displaystyle a nbsp storona pravilnogo shestikutnika R radius opisanogo kola r radius vpisanogo kola Dlya pravilnogo shestikutnika spravedlivi nastupni formuli Storona pravilnogo shestikutnika a 2 t g p 6 r 2 3 3 r 1 1547005 r displaystyle a 2 mathop mathrm tg left frac pi 6 right cdot r frac 2 cdot sqrt 3 3 cdot r approx 1 1547005 cdot r nbsp a 2 sin p 6 R R displaystyle a 2 sin left frac pi 6 right cdot R R nbsp U pravilnomu shestikutniku storona dorivnyuye radiusu opisanogo navkolo nogo kola Radius vpisanogo kola pravilnogo shestikutnika dorivnyuye apotemi pravilnogo shestikutnika dotikayetsya do vsih jogo reber r a p 1 2 c t g p 6 a 3 2 a 0 8660254 a displaystyle r a p frac 1 2 mathop mathrm ctg left frac pi 6 right cdot a frac sqrt 3 2 cdot a approx 0 8660254 cdot a nbsp r cos p 6 R 3 2 R 0 8660254 R displaystyle r cos left frac pi 6 right cdot R frac sqrt 3 2 cdot R approx 0 8660254 cdot R nbsp Radius opisanogo kola pravilnogo shestikutnika prohodit cherez vsi jogo vershini R 1 2 c o s e c p 6 a a displaystyle R frac 1 2 mathop mathrm cosec left frac pi 6 right cdot a a nbsp R sec p 6 r 2 3 3 r 1 1547005 r displaystyle R sec left frac pi 6 right cdot r frac 2 cdot sqrt 3 3 cdot r approx 1 1547005 cdot r nbsp Visota vidstan mizh protilezhnimi storonami H 2 r 3 a 1 7320508 a displaystyle H 2r sqrt 3 cdot a approx 1 7320508 cdot a nbsp Iz vidnoshennya radiusiv opisanogo ta vpisanogo kil viplivaye sho vidnoshennya visoti do shirini pravilnogo shestikutnika dorivnyuye 1 1 1547005 tobto shestikutnik iz dovgoyu diagonallyu 1 matime vidstan 0 8660254 mizh paralelnimi storonami Plosha pravilnogo shestikutnika S 3 2 c t g p 6 a 2 3 3 2 a 2 2 5980762 a 2 displaystyle S frac 3 2 mathop mathrm ctg left frac pi 6 right cdot a 2 frac 3 sqrt 3 2 cdot a 2 approx 2 5980762 cdot a 2 nbsp S 3 sin p 3 R 2 3 3 2 R 2 2 5980762 R 2 displaystyle S 3 cdot sin left frac pi 3 right cdot R 2 frac 3 sqrt 3 2 cdot R 2 approx 2 5980762 cdot R 2 nbsp S 6 t g p 5 r 2 2 3 r 2 3 4641016 r 2 displaystyle S 6 cdot mathop mathrm tg left frac pi 5 right cdot r 2 2 cdot sqrt 3 cdot r 2 approx 3 4641016 cdot r 2 nbsp S 3 r R 1 2 P r p a p displaystyle S 3 cdot r cdot R frac 1 2 P cdot r p cdot a p nbsp de P perimetr pravilnogo shestikutnika P 6 a 4 3 r 6 R displaystyle P 6 cdot a 4 sqrt 3 cdot r 6 cdot R nbsp p pivperimetr r a p displaystyle a p nbsp radius vpisanogo kola apotema Kuti pravilnogo shestikutnika Redaguvati nbsp Vnutrishnij kut pravilnogo shestikutnika pri danij vershini nazivayetsya kut mizh dvoma jogo storonami sho shodyatsya v cij vershini a 180 6 2 6 120 2 p 3 r a d displaystyle alpha frac 180 circ cdot 6 2 6 120 circ frac 2 pi 3 rad nbsp Suma vnutrishnih kutiv dorivnyuye 180 6 2 720 4 p displaystyle 180 circ cdot 6 2 720 circ 4 pi nbsp radian Zovnishnij kut pravilnogo shestikutika pri cij vershini nazivayetsya kut sumizhnij vnutrishnomu kutu bagatokutnika pri cij vershini b 360 6 60 p 3 displaystyle beta frac 360 circ 6 60 circ frac pi 3 nbsp radian Suma zovnishnih kutiv po odnomu pri kozhnij vershini dorivnyuye 360 2 p displaystyle 360 circ 2 pi nbsp radian Centralnij kut pravilnogo shestikutika nazivayetsya centralnij kut jogo opisanogo kola sho spirayetsya na jogo storonu Velichina centralnogo kuta dorivnyuye g 360 6 60 p 3 displaystyle gamma frac 360 circ 6 60 circ frac pi 3 nbsp radian Diagonali Redaguvati nbsp Pravilnij shestikutnik maye 1 2 6 6 3 9 displaystyle frac 1 2 cdot 6 cdot 6 3 9 nbsp diagonalej Shist diagonalej mayut dovzhinud 1 2 cos p 6 3 a 1 7320508 a displaystyle d 1 2 cdot cos left frac pi 6 right sqrt 3 cdot a approx 1 7320508 cdot a nbsp Korotka diagonal d 1 displaystyle d 1 nbsp dorivnyuye visoti H shestikutnika Tri diagonali mayut dovzhinud 2 2 a displaystyle d 2 2 cdot a nbsp Dovga diagonal pravilnogo shestikutnika vdvichi dovsha za jogo storonu Z odniyeyi vershini pravilnogo shestikutnika mozhna provesti tri diagonali voni dilyat shestikutnik na chotiri trikutnih chastini a vnutrishnij kut shestikutnika dilyat na chotiri rivnih chastini Kut mizh bud yakimi susidnimi diagonalyami sho vihodyat z odniyeyi vershini vklyuchno zi storonami sho vihodyat z ciyeyi vershini d p 6 r a d 30 displaystyle delta frac pi 6 rad 30 circ nbsp Diagonali pravilnogo shestikutnika peretinayutsya v 13 tochkah i dilyat vnutrishnyu oblast shestikutnika na 24 chastini poslidovnosti nbsp A006561 ta nbsp A007678 Korotki diagonali pri peretini utvoryuyut geksagramu Dovgi diagonali peretinayutsya v odnij tochci centri pravilnogo shestikutnika Suma kvadrativ vsih storin ta vsih diagonalej pravilnogo shestikutnika vpisanogo v kolo radiusa R dorivnyuye 36R2 1 stor 73 naslidok Vlastivosti RedaguvatiPravilnij shestikutnik ye rivnostoronnij i rivnokutnij odnochasno Vin ye vpisanim i opisanim odnochasno Centri vpisanogo ta opisanogo kil spivpadayut ta lezhat v centri pravilnogo shestikutnika Takozh v centri pravilnogo shestikutnika znahoditsya jogo centr mas Plosha kilcya utvorenogo vpisanim ta opisanim kolom zalezhit tilki vid dovzhini storoni S p 4 a 2 displaystyle S frac pi 4 cdot a 2 nbsp Radius opisanogo kola pravilnogo shestikutnika dorivnyuye jogo storoni Inshi vidomi bagatogranniki politopi yaki mayut cyu vlastivist ce kuboktaedr a takozh usi rozshireni en simpleksi teserakt ta 24 komirnik en Zavdyaki comu pravilnij shestikutnik mozhna tochno rozklasti na 6 rivnostoronnih trikutnikiv Pravilnij shestikutnik mozhe buti pobudovanij za dopomogoyu cirkulya ta linijki bez mitok nbsp Geksagrama U pravilnogo shestikutnika isnuye tilki odna zirchasta forma geksagrama shestikutna zirka sho utvorena poyednannyam dvoh pravilnih trikutnikiv Pravilnij shestikutnik i pravilnij p yatikutnik ye yedinimi bagatokutnikami z odniyeyu mozhlivoyu zirchastoyu formoyu Ce takozh bagatokutnik iz najbilshoyu kilkistyu storin yakij ne maye prostoyi zirki tobto zirki sho ne utvorena poyednannyam inshih bagatokutnikiv Inshi bagatokutniki tsho ne mayut prostih zirok i zirok vzagali ce trikutnik i kvadrat Ce takozh yedinij pravilnij bagatokutnik yakij maye lishe skladeni neprosti zirki nbsp Zamoshennya ploshini pravilnimi shestikutnikami Pravilnij shestikutnik ye odnim iz troh pravilnih bagatokutnikiv yakimi mozhna zamostiti ploshinu bez promizhkiv ta nakladen dva inshi rivnostoronnij trikutnik i kvadrat Shestikutnij parket maye 3 shestikutniki pri vershini Takozh vikoristovuyetsya v inshih odnoridnih ta napivpravilnih parketah Pravilnij shestikutnik ye perestanovkovim bagatogrannikom en poryadku 3 Pravilnij shestikutnik u yakogo vidstan mizh protilezhnimi storonami dorivnyuye 1 ye universalnim pokrittyam Lemma Pala bud yaku mnozhinu diametrom 1 mozhna pokriti pravilnim shestikutnikom u yakogo vidstan mizh protilezhnimi storonami dorivnyuye 1 shestikutnik z dovzhinoyu storoni 1 3 displaystyle frac 1 sqrt 3 nbsp 2 3 4 stor 30 5 stor 138 Lemma dovedena ugorskim matematikom J Palom v 1929 roci Teorema Viviani Redaguvati nbsp Teorema Viviani dlya pravilnogo shestikutnikaNehaj tochka R dovilna tochka vseredini pravilnogo shestikutnika Z neyi na storoni opusheni perpendikulyari a p displaystyle a p nbsp apotema pravilnogo shestikutnika perpendikulyar opushenij z jogo centra na bud yaku z jogo storin Todi vikonuyetsya nastupna rivnist k 1 6 h i h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 6 a p displaystyle textstyle sum k 1 6 displaystyle h i h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 6 cdot a p nbsp Nazvana imenem italijskogo matematika Vinchenco Viviani 6 1 stor 72 teorema 102 Tochka na opisanomu koli Redaguvati nbsp Navkolo pravilnogo shestikutnika ABCDEF opisano kolo Tochka R lezhit na opisanomu koli mizh vershinami V i S Todi P A P B P C P D P E P F displaystyle PA PB PC PD PE PF nbsp Nehaj d i displaystyle d i nbsp vidstani vid tochki P na opisanomu koli pravilnogo shestikutnika do jogo vershin Todi 7 stor 342 teor 4 4 i 1 6 d i 2 2 4 i 1 6 d i 4 displaystyle left sum i 1 6 d i 2 right 2 4 sum i 1 6 d i 4 nbsp Suma kvadrativ vidstanej vid vershin pravilnogo shestikutnika do bud yakoyi tochki na jogo opisanomu koli dorivnyuye 12R2 1 stor 73 teorema dSuma kvadrativ vidstanej vid seredin storin pravilnogo shestikutnika do bud yakoyi tochki na jogo opisanomu koli dorivnyuye 12R2 3 2 a2 1 stor 73 naslidokde a dovzhina storoni pravilnogo shestikutnika Tochka v ploshini pravilnogo shestikutnika Redaguvati Navkolo pravilnogo shestikutnika opisano kolo radiusom R Tochka R znahoditsya v ploshini shestikutnika OR L vidstan vid tochki R do centra shestikutnika centra opisanogo kola d i displaystyle d i nbsp i 1 2 5 vidstani vid tochki R do vershin shestikutnika Todi vikonuyutsya nastupni rivnosti 7 stor 344 teorema 4 9 d 1 2 d 4 2 d 2 2 d 5 2 d 3 2 d 6 2 2 R 2 L 2 displaystyle d 1 2 d 4 2 d 2 2 d 5 2 d 3 2 d 6 2 2 left R 2 L 2 right nbsp d 1 2 d 3 2 d 5 2 d 2 2 d 4 2 d 6 2 3 R 2 L 2 displaystyle d 1 2 d 3 2 d 5 2 d 2 2 d 4 2 d 6 2 3 left R 2 L 2 right nbsp d 1 4 d 3 4 d 5 4 d 2 4 d 4 4 d 6 4 3 R 2 L 2 2 2 R 2 L 2 displaystyle d 1 4 d 3 4 d 5 4 d 2 4 d 4 4 d 6 4 3 left left R 2 L 2 right 2 2R 2 L 2 right nbsp Simetriya Redaguvati nbsp Shist linij dzerkalnoyi simetriyi pravilnogo shestikutnika z simetriyeyu Dih6 abo r12 poryadok 12 Pravilnij shestikutnik maye diedralnu grupu simetriyi D6 abo Dih6 poryadku 12 Vona skladayetsya z 6 obertovih simetrij u 60 120 180 240 ta 300 i 6 osovih simetrij Pravilnij shestikutnik maye 6 linij dzerkalnoyi simetriyi 3 osi simetriyi sho prohodyat cherez dvi protilezhni vershini ta 3 osi simetriyi sho prohodyat cherez seredini protilezhnih storin Ye centr simetriyi nbsp Diedralni simetriyi podilyayutsya v zalezhnosti vid togo chi voni prohodyat cherez vershini d dlya diagonali abo rebra p dlya perpendikulyariv Obertovi simetriyi poznacheni literoyu g vidpovidno do yih poryadku centralnogo obertannya Povna simetriya pravilnoyi formi r12 i vidsutnist simetriyi a1 Grupa simetriyi D6 mistit 16 pidgrup Ce 8 pidgrup vklyuchno z izomorfizmami vlasne D6 2 diedralni D3 D2 4 ciklichni Z6 Z3 Z2 Z1 ta trivialna e Ci tipi simetriyi u pravilnomu shestikutniku mozhna pobachiti u viglyadi 9 riznih simetrij Dzhon Konvej poznachav yih za dopomogoyu literi i poryadku grupi 8 Povna simetriya pravilnoyi formi r12 i vidsutnist simetriyi a1 p6 izogonalnij shestikutnik pobudovanij z troma vidzerkalennyami dlya nepravilnih form mozhe cherguvati dovgi ta korotki rebra d6 izotoksalnij shestikutnik pobudovanij z rivnimi dovzhinami reber ale vershini cherguyutsya z dvoma riznimi vnutrishnimi kutami dlya nepravilnih form Ci dvi formi ye dvoyistimi odna do odnoyi ta mayut polovinnij poryadok simetriyi pravilnogo shestikutnika Formi i4 yavlyayut soboyu pravilni shestikutniki splyusheni abo vityagnuti vzdovzh odnogo napryamku simetriyi Prikladi shestikutnikiv zgidno simetriyi nbsp r12Pravilnij nbsp i4 nbsp d6Izotoksalnij nbsp g6 Spryamovanij nbsp p6Izogonalnij nbsp d2 nbsp g2Paralelogon zagalnogo vidu nbsp p2 nbsp g3 nbsp a1Jogo mozhna rozglyadati yak podovzhenij romb todi yak d2 i p2 mozhna rozglyadati yak gorizontalno ta vertikalno podovzheni deltoyidi g2 shestikutniki protilezhni storoni yakih paralelni takozh nazivayut shestikutnimi paralelogonami Kozhna pidgrupa simetriyi dopuskaye odin abo bilshe stupeniv vilnosti dlya nepravilnih form Lishe pidgrupa g6 ne maye stupeniv vilnosti ale yiyi mozhna rozglyadati yak oriyentovanij graf Shestikutniki z simetriyeyu g2 i4 ta r12 yak paralelogoni mozhut zamostiti evklidovu ploshinu shlyahom kopiyuvannya Inshi formi shestikutnika zamoshuyut ploshinu v riznih oriyentaciyah Pobudova RedaguvatiPravilnij shestikutnik mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya i linijki oskilki chislo 6 2 3 displaystyle 6 2 cdot 3 nbsp ye dobutkom dvijki na proste chislo Ferma sho zgidno z teoremoyu Gaussa Vancelya ye dostatnoyu umovoyu dlya mozhlivosti jogo pobudovi za dopomogoyu cirkulya i linijki Pobudova pravilnogo shestikutnika z danim radiusom opisanogo kola Redaguvati nbsp Kroki pobudovi pravilnogo shestikutnikaBuduyemo kolo vibranogo radiusa ta provodimo jogo diametr Z protilezhnih kinciv cogo diametra opisuyemo dugi cirkulem rozhil yakogo rivnij radiusu kola Tochki peretinu cih dug z kolom a takozh dva kinci diametra kola ye vershinami pravilnogo shestikutnika nbsp Pobudova pravilnogo shestikutnika za danoyu storonoyu Redaguvati Dano vidrizok AV sho dorivnyuye storoni pravilnogo shestikutnika Z kinciv vidrizka radiusom rivnim AV provodimo dvi dugi do yih peretinu v tochci M Iz tochki M cim zhe radiusom provodimo kolo Pochinayuchi z tochki V radiusom AV vidmichayemo na comu koli she chotiri vershini shukanogo shestikutnika Priblizna pobudova po klitinkah Redaguvati nbsp Priblizna pobudova pravilnogo shestikutnika ta dvanadcyatikutnikaNablizhennya do pravilnogo shestikutnika yake chasto ye dostatnim dlya praktichnih cilej otrimuyut yaksho shestikutnik pobudovano z priblizno rivnostoronnih trikutnikiv yaki mayut spivvidnoshennya visoti do osnovi 7 8 7 odinic dovzhini v visotu ta 8 odinic dovzhini osnovi Kuti cogo trikutnika majzhe dorivnyuyut 60o Ce nablizhennya zastosovuyetsya koli dopuskayetsya pohibka trohi menshe 1 Napriklad pri rozmitci klumb miskih plosh igrovih poliv ta in Tochki Pi x y pronumerovani nizhche vidpovidno do cifr godinnika centr 0 0 Koordinati vershin shestikutnika v gorizontalnomu polozhenni P1 4 7 P3 8 0 P5 4 7 P7 4 7 P9 8 0 P11 4 7 Koordinati vershin shestikutnika v vertikalnomu polozhenni P2 7 4 P4 7 4 P6 0 8 P8 7 4 P10 7 4 P12 0 8 Krashe nablizhennya mozhna otrimati zaminivshi chisla 4 7 i 8 u navedenih vishe koordinatah na 15 26 i 30 vidpovidno Inshi mozhlivi trijki 56 97 112 abo 209 362 418 Fizichni metodi Redaguvati Pravilnij shestikutnik mozhna sklasti metodami origami vikoristovuyuchi dvi smugi paperu odnakovoyi shirini 5 stor 192 nbsp Origami pravilnogo shestikutnika z dvoh smug paperu odnakovoyi shiriniRozbittya RedaguvatiProekciya 6 kuba Rozbittya na 3 rombi Rozbittya na 12 rombiv nbsp nbsp nbsp nbsp Garold Kokseter stverdzhuye sho kozhen zonogon 2m kutnik protilezhni storoni yakogo paralelni j mayut odnakovu dovzhinu mozhna rozrizati na m 2 m m 1 2 displaystyle binom m 2 frac m cdot m 1 2 nbsp paralelogramiv 9 Zokrema ce spravedlivo dlya bud yakogo pravilnogo bagatokutnika z parnoyu kilkistyu storin u comu vipadku vsi paralelogrami ye rombami Ce rozbittya pravilnogo shestikutnika bazuyetsya na bagatokutniku Petri en proekciyi kuba z 3 iz 6 kvadratnih granej Pov yazani bagatokutniki RedaguvatiPravilnij shestikutnik maye simvol Shlefli 6 Pravilnij shestikutnik ye chastinoyu pravilnogo shestikutnogo parketu 6 3 z troma shestikutnimi granyami navkolo kozhnoyi vershini Pravilnij shestikutnik takozh mozhna utvoriti zastosuvavshi operaciyu zrizannya vershini do rivnostoronnogo trikutnika Takij shestikutnik maye simvol Shlefli t 3 Oskilki cya forma maye dva tipi koloriv storin to yiyi simetriya lishe D3 Zrizanij shestikutnik t 6 ye dvanadcyatikutnikom v yakogo cherguyutsya dva tipi koloriv storin Alternovanij en shestikutnik h 6 ye pravilnim trikutnikom 3 Pravilnij shestikutnik maye zirchastu formu geksagramu Pravilnij shestikutnik mozhna rozbiti na shist rivnostoronnih trikutnikiv z vershinami v centri shestikutnika Cej vizerunok povtoryuyetsya v mezhah pravilnogo trikutnogo parketa Pravilnij shestikutnik mozhna rozshiriti do pravilnogo dvanadcyatikutnika dodavshi navkolo nogo kvadrati ta rivnostoronni trikutniki sho cherguyutsya Cej vizerunok povtoryuyetsya v rombotrishestikutnomu parketi en nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Pravilnij shestikutnik 6 Zrizanij pravilnij trikutnik t 3 6 Giperzrizanij trikutnik Zirchasta forma Geksagrama 2 3 Zrizanij pravilnij shestikutnik t 6 12 Alternovanij pravilnij shestikutnik h 6 3 Rozshirennya pravilnogo 6 v 12 Pravilnij shestikutnik v bagatogrannikah RedaguvatiSered pravilnih bagatogrannikiv Platona ne isnuye takih sho mayut shestikutni grani Odnak pravilnij shestikutnik mozhna otrimati yak pereriz pravilnih bagatogrannikiv ploshinoyu abo pri yih ortogonalnih proyekciyah Ploshina sho peretinaye pravilnij bagatogrannik po shestikutnomu pererizu prohodit cherez centr bagatogrannika ta seredini jogo protilezhnih paralelnih reber ta rozdilyaye jogo na dvi rivni chastini Ploshina shestikutnogo pererizu v kubi ta dodekaedri perpendikulyarna do yih diagonali 10 11 12 stor 836 Shestikutniki v bagatogrannikah PlatonaPereriz oktaedra ploshinoyu Pereriz kuba ploshinoyu Pereriz dodekaedra ploshinoyu Proyekciya oktaedra centrovana po grani Proyekciya kuba centrovana po vershini Proyekciya ikosaedra centrovana po grani nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Bagatogranniki Arhimeda zrizanij tetraedr zrizanij oktaedr zrizanij ikosaedr zrizanij kubooktaedr ta zrizanij ikosododekaedr mayut v skladi svoyih granej pravilnij shestikutnik Ci shestikutniki mozhna vvazhati zrizanimi trikutnikami a tomu bagatogranniki mayut diagrami Kokstera u viglyadi nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ta nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Shestikutniki v bagatogrannikah ArhimedaTetraedralna simetriya Oktaedralna simetriya Ikosaedralna simetriya nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Zrizanij tetraedr nbsp Zrizanij oktaedr nbsp Zrizanij kubooktaedr nbsp Zrizanij ikosaedr nbsp Zrizanij ikosododekaedrIsnuyut inshi bagatogranniki danih simetrij z deformovanimi roztyagnutimi abo sploshenimi shestikutnikami zokrema bagatogrannik Goldberga en G 2 0 Shestikutnik v bagatogrannikah GoldbergaTetraedralna simetriya Oktaedralna simetriya Ikosaedralna simetriya nbsp Tetraedr z faskoyu en nbsp Kub z faskoyu nbsp Dodekaedr z faskoyuIsnuye 9 bagatogrannikiv Dzhonsona granyami yakih ye pravilnij shestikutnik Shestikutnik v bagatogrannikah Dzhonsona nbsp Trishilij kupol nbsp Podovzhenij trishilij kupol nbsp Skruchenij podovzhenij trishilij kupol nbsp Naroshena shestikutna prizma nbsp Dvichi protilezhno naroshena shestikutna prizma nbsp Dvichi koso naroshena shestikutna prizma nbsp Trichi naroshena shestikutna prizma nbsp Naroshenij zrizanij tetraedr nbsp Sploshena trikutna klinorotonda nbsp Zrizanij triakistetraedr Majzhe bagatogrannik Dzhonsona en Prizmatoyidi z shestikutnimi granyami Shestikutniki v prizmatoyidah nbsp Shestikutna prizma nbsp Shestikutna antiprizma nbsp Shestikutna piramida nbsp Zrizana shestikutna piramida Inshi nbsp Shestikutna zrizana bipiramida nbsp Zrizanij shestikutnij trapecoedrParketi z pravilnimi shestikutnikami Pravilni shestikutniki v parketahRegular 1 uniformShestikutnij parket 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Trishestikutnij parketr 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Rombotrishestikutnij parket rr 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Zrizanij trishestikutnij parket tr 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 odnoridni parketi nbsp nbsp nbsp nbsp Pravilnij shestikutnik u prirodi tehnici ta kulturi RedaguvatiBdzholini stilniki naochno pokazuyut rozbittya ploshini na pravilni shestikutniki Deyaki skladni molekuli vuglecyu napriklad grafit mayut geksagonalnu kristalichnu gratku Shestikutnik Saturna atmosferne yavishe poblizu pivnichnogo polyusa planeti Saturn Sortament sortovogo prokatu shestigrannik z yakogo vigotovlyayutsya gajki bolti shestigranni klyuchi a takozh bagato vidiv olivciv u poperechnomu pererizi mayut formu pravilnogo shestikutnika Kontur Franciyi nagaduye pravilnij shestikutnik tomu cya figura simvol krayini Visliv geksagon u francuzkij movi shiroko vzhivayetsya yak perifraz nazvi Franciya Forma shestikutnika vikoristovuyetsya takozh na francuzkih monetah yevro Shopravda porivnyannya Franciyi z shestikutnikom vidnosno nedavnye 13 Geksagonalni shahi riznovid gri v shahi na shestikutnij doshci z shestikutnimi geksagonalnimi polyami Golovne dzerkalo kosmichnogo teleskopa Dzhejmsa Vebba skladayetsya z 18 shestikutnikiv po 1 3 m kozhen yaki mozhna regulyuvati z visokoyu tochnistyu nbsp Grafen odna z modifikacij vuglecyu nbsp Benzen najprostisha aromatichna spoluka shestikutnoyi formi nbsp Kristalichna struktura molekulyarnogo shestikutnika sho skladayetsya z shestikutnih aromatichnih kilec nbsp Geksagonalnij kristal ganksitu en odin iz bagatoh mineraliv geksagonalnoyi kristalichnoyi sistemi nbsp Teleskop Dzhejmsa Vebba nbsp Shestikutna gajka z gvintom z shestigrannim shlicem nbsp Inbusovi klyuchi riznih rozmiriv nbsp Geksagonalni shahi nbsp Gigantkij geksagon Saturna nbsp Vid na Fort Dzhefferson u nacionalnomu parku Draj Tortugas en nbsp Shestikutni paneli z termoplastiku v proyekti Edem nbsp Shestikutne vikno v domi Mustonena Joensuu Div takozh RedaguvatiPravilnij bagatokutnik Shestikutne chislo Shestikutna zirka geksagrama Teorema Gausa Vancelya Shilne pakuvannya rivnih sfer Fleksagon Magichni shestikutniki en Primitki Redaguvati a b v g Johnson Roger A 2007 orig 1929 Advanced Euclidean Geometry angl Dover Publ s 319 stor 72 73 Peter Brass 2005 A lower bound for lebesgue s universal cover problem International Journal of computational Geometry amp Applications Gabor Fejes Toth Kuperberg Wlodzimierz 2022 Four classic problems Birkhauser Hadviger Gugo Debrunner Gans H Hadwiger H Debrunner 1965 Kombinatornaya geometriya ploskosti Kombinatorische geometrie in der ebene ru Pereklad z nimeckoyi Nauka Glavnaya redakciya fiziko matematicheskoj literatury a b Wells David 1991 The Penguin dictionary of curious and interesting geometry angl London Penguin s 287 191 192 Abboud Elias 2010 On Viviani s Theorem and its Extensions College Mathematics Journal 43 3 16 arXiv 0903 0753v3 a b Meskhishvili Mamuka 2020 Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids Communications in Mathematics and Applications 11 335 355 arXiv 2010 12340 doi 10 26713 cma v11i3 1420 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strauss 2008 The Symmetries of Things ISBN 978 1 56881 220 5 Chapter 20 Generalized Schaefli symbols Types of symmetry of a polygon pp 275 278 Coxeter Mathematical recreations and Essays Thirteenth edition p 141 Steinhaus H Mathematical Snapshots 3rd ed New York Dover 1999 p 170 ISBN 978 0486409146 Cundy H and Rollett A Hexagonal Section of a Cube 3 15 1 in Mathematical Models 3rd ed Stradbroke England Tarquin Pub p 157 1989 ISBN 978 0906212202 Weisstein Eric W 1998 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics angl CRC Press LLC s 1969 ISBN 0 8493 9640 9 Nathaniel B Smith The idea of the French Hexagon dans French historical studies vol 6 no 2 1969 p 139 155 ISSN 0016 1071 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Regular Hexagon angl na sajti Wolfram MathWorld Hexagon angl na sajti Polytope Wiki Hall of Hexagons Math Open Reference Hexagon 6 gon Math is Fun Hexagon An Introduction to Hexagonal Geometry on Hexnet veb sajt prisvyachenij shestikutniku Hexagons are the Bestagons na YouTube Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pravilnij shestikutnik amp oldid 40636829