www.wikidata.uk-ua.nina.az

Трисхилий купол У геометрії трисхилий купол призматоїд що складається з правильного шестикутника нижня основа купола пра

Трисхилий купол

У геометрії трисхилий купол — призматоїд, що складається з правильного шестикутника (нижня основа купола), правильного трикутника (верхня грань, що паралельна основі), та бічних граней: 3 прямокутників та 3 рівнобедрених трикутників.

Належить до родини куполів і є підкласом призматоїдів.

Два куполи можуть бути з'єднані по їх нижній основі, утворюючи багатогранник бікупол[en], в прямій (якщо з'єднані однойменні грані) або повернутій (якщо з'єднані різнойменні грані) орієнтації.

Багатогранник Джонсона J3 Редагувати

Трисхилий купол
Тип Багатогранник Джонсона J3
Призматоїд, множина куполів.
Властивості Опуклий, рівносторонній, правильногранний
Комбінаторика
Елементи 8 граней ((3+1){3} + 3{4} + 1{6})
15 ребер
9 вершин: 6 вершин (3-го степеня) + 3(4-го)
Грані

3+1 Правильних трикутників,
3 Квадрата,
1 Правильний шестикутник.

Характеристика Ейлера

Конфігурація вершини 6(3.4.6)
3(3.4.3.4)
Вершинна фігура 3 прямокутника з довжинами сторін 1 та
6 трикутників з довжинами сторін 1, ,
Класифікація
Позначення

• J3 (в нотації Нормана Джонсона[en])
• M4 (в нотації Залгаллера)
• U3 = Q3 (в нотації Конвея[en])
• Q3 (в нотації Стюарта)

Символ Шлефлі {3} || t{3}
Група симетрії

C3v[en], [3], (*33), порядок 6
(Циклічна симетрія 3-Піраміди)

Група поворотів C3, [3]+, (33), порядок 3
Двоїстий багатогранник

Напіврозсічений трикутний трапецоедр

Розгортка

Рівносторонній трисхилий купол є одним із багатогранників Джонсона (J3 або M4 (за Залгаллером).

Трисхилий купол можна розглядати як половину кубооктаедра.

Багатогранник Джонсона — один із 92 строго опуклих багатогранників, що мають правильні грані, але не є однорідним (тобто він не є правильним багатогранником, архімедовим тілом, призмою або антипризмою). Правильногранні багатогранники названі ім'ям Нормана Джонсона[en], який першим перелічив їх в 1966 р.

Трисхилий купол складено з 8 граней: 3+1 = 4 правильних трикутників, 3 квадратів та 1 правильного шестикутника.

Одна трикутна грань оточена трьома квадратами; три трикутних граней оточені двома квадратними та однією шестикутною гранню; квадратні грані оточені трьома трикутними та однією шестикутною гранями; шестикутна грань оточена трьома трикутними та трьома квадратними гранями[джерело?].

Має 15 ребер однакової довжини: 3+6 = 9 ребер розташовані між квадратною та трикутною гранями, 3 ребра — між трикутною та шестикутною гранями, решта 3 — між квадратною та шестикутною гранями.

У трисхилого купола 9 вершин: 3 вершини оточені двома трикутними та двома квадратними гранями (почергово); 6 вершин оточені трикутною, квадратною та шестикутною гранями.


Трисхилий купол може бути отриманий шляхом поділу навпіл кубооктаедра по шестикутному перерізу між двома протилежними трикутними гранями.

Навпаки, два трисхилих куполи можна поєднати у поверненій орієнтації по шестикутній грані, і отримати кубооктаедр.

Трисхилий купол має вісь поворотної симертії 3-го порядку, що проходить через центри основ; а також три площини дзеркальної симетрії, що проходять через вісь купола та середини сторін нижньої основи[джерело?].

Формули Редагувати

Діагоналі Редагувати

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: , де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для трисхилого купола:

діагоналі (15 граневих та 6 просторових).

Діагоналі трисхилого купола з довжиною ребра
Граневі діагоналі

Просторові діагоналі

Метричні характеристики Редагувати

Описана сфера трисхилого купола
Середньовписана сфера трисхилого купола
Для трисхилого купола з довжиною ребра :
Радіус описаної сфери

(проходить через всі вершини)

Радіус напіввписаної сфери

(дотикається до всіх ребер)

Вписаної сфери трисхилий купол не має
Висота H

(Відстань між паралельними трикутною та шестикутною гранями)

Площа поверхні
Об'єм

Кути Редагувати

Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°, 120°.

Кути багатогранника
Кут між несусідніми ребрами при вершині верхньої основи rad

= 120°

Двогранний кут між гранями {3} та {4} ≈ 2.1862760354 rad

≈ 125°15′ 51.8028′′

Двогранний кут між гранями {3} та {6} ≈ 1.2309594173 rad

≈ 70° 31′ 43.60571′′

Двогранний кут між гранями {4} та {6} ≈ 0.9553166181 rad

≈ 54°44′ 8.197142′′

Тілесний кут при вершині нижньої основи (шестикутної)

ср
Тілесний кут при вершині верхньої основи (трикутної)

ср
Сферичність

Центр тяжіння трисхилого купола лежить на його осі симетрії на відстані від нижньої основи.


Двоїстий багатогранник Редагувати

Трисхилий купол не має ні топологічно-двоїстого багатогранника (вершини двоїстого знаходяться в центрах граней вихідного багатогранника), ні канонічно-двоїстого багатогранника (середньовписані сфери обох багатогранників збігаються).

Його двоїстий може бути побудований лише загальним чином (кожній грані вихідного багатогранника відповідає вершина двоїстого, кожній вершині вихідного — грань дуального, з дотриманням симетрії вихідного багатогранника), а тому форми та розміри двоїстого багатогранника до вихідного трисхилого купола можуть різнитися.

Двоїстий до трисхилого купола має 9 граней: 6 трикутників + 3 дельтоїда; 15 ребер, 8 вершин.

Обертання двоїстого до трисхилого купола багатогранника
Двоїстий багатогранник Розгортка двоїстого

Споріднені багатогранники Редагувати

Трисхилий купол належить до родини куполів. Сімейство n-куполів з правильними гранями існує до n = 5 включно.

Сімейство опуклих куполів
n 2 3 4 5 6 7
Назва Двосхилий купол Трисхилий купол Чотирисхилий купол П'ятисхилий купол Шестисхилий купол
(плоский) 		Семисхилий купол
(з неправильними бічними гранями)
Символ Шлефлі {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6} {7} || t{7}
Купол
Пов'язані
однорідні
багатогранники 		Трикутна призма
 Кубооктаедр
 Ромбокубо-
октаедр
 Ромбоікосо-
додекаедр
 Ромботри-
шестикутна
мозаїка[en]
 Ромботри-
семикутна
мозаїка[en]

Два трисхилих куполи можуть бути з'єднані своїми шестикутними основами в прямій орієнтації (поєднуються однойменні бокові грані); отриманий багатогранник — триcхилий прямий бікупол[en] (J27). Якщо один з куполів повернути на 60º, то отримаємо триcхилий повернутий бікупол, більш відомий як [[Кубооктаедр|кубоктаедр[джерело?]]].

Трисхилий прямий бікупол Трисхилий повернутий бікупол (кубооктаедр)
Нарощений трисхилий купол, майже-багатогранник Джонсона з компланарними гранями

Трисхилий купол можна наростити трьома квадратними пірамідами, залишаючи суміжні копланарні грані без змін. Отриманий багатогранник, нарощений трисхилий купол, належить до родини майже багатогранників Джонсона[en] з компланарними гранями.

Якщо об'єднати ці копланарні трикутники в єдині грані, отримаємо топологічно ще один трисхилий купол, бічні грані якого є рівнобедреними трапеціями. Якщо всі трикутні грані зберегти без змін, а шестикутник в основі розбити на 6 трикутників, вийде копланарний дельтаедр з 22 гранями[джерело?].

Примітки Редагувати

  1. ↑ Залгаллер, 1967.
  2. ↑ Norman W. Johnson.
  3. triangular cupola centroid - Wolfram|Alpha. www.wolframalpha.com (англ.). 
  4. Semibisected trigonal trapezohedron. Polytope Wiki (англ.). 27 грудня 2022. Процитовано 31 липня 2023. 
  5. polyHédronisme. levskaya.github.io. Процитовано 31 липня 2023. 

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U geometriyi trishilij kupol prizmatoyid sho skladayetsya z pravilnogo shestikutnika nizhnya osnova kupola pravilnogo trikutnika verhnya gran sho paralelna osnovi ta bichnih granej 3 pryamokutnikiv ta 3 rivnobedrenih trikutnikiv Nalezhit do rodini kupoliv i ye pidklasom prizmatoyidiv Dva kupoli mozhut buti z yednani po yih nizhnij osnovi utvoryuyuchi bagatogrannik bikupol en v pryamij yaksho z yednani odnojmenni grani abo povernutij yaksho z yednani riznojmenni grani oriyentaciyi Zmist 1 Bagatogrannik Dzhonsona J3 2 Formuli 2 1 Diagonali 2 2 Metrichni harakteristiki 2 3 Kuti 3 Dvoyistij bagatogrannik 4 Sporidneni bagatogranniki 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaBagatogrannik Dzhonsona J3 RedaguvatiTrishilij kupol nbsp Tip Bagatogrannik Dzhonsona J3 Prizmatoyid mnozhina kupoliv Vlastivosti Opuklij rivnostoronnij pravilnogrannijKombinatorikaElementi 8 granej 3 1 3 3 4 1 6 15 reber9 vershin 6 vershin 3 go stepenya 3 4 go Grani 3 1 Pravilnih trikutnikiv 3 Kvadrata 1 Pravilnij shestikutnik Harakteristika Ejlera x G P B 2 displaystyle chi Gamma hbox P hbox B 2 nbsp Konfiguraciya vershini 6 3 4 6 3 3 4 3 4 Vershinna figura 3 pryamokutnika z dovzhinami storin 1 ta 2 displaystyle sqrt 2 nbsp 6 trikutnikiv z dovzhinami storin 1 2 displaystyle sqrt 2 nbsp 3 displaystyle sqrt 3 nbsp KlasifikaciyaPoznachennya J3 v notaciyi Normana Dzhonsona en M4 v notaciyi Zalgallera 1 U3 Q3 2 v notaciyi Konveya en Q3 v notaciyi Styuarta Simvol Shlefli 3 t 3 Grupa simetriyi C3v en 3 33 poryadok 6 Ciklichna simetriya 3 Piramidi Grupa povorotiv C3 3 33 poryadok 3Dvoyistij bagatogrannik Napivrozsichenij trikutnij trapecoedr nbsp Rozgortka nbsp Rivnostoronnij trishilij kupol ye odnim iz bagatogrannikiv Dzhonsona J3 abo M4 za Zalgallerom 1 Trishilij kupol mozhna rozglyadati yak polovinu kubooktaedra Bagatogrannik Dzhonsona odin iz 92 strogo opuklih bagatogrannikiv sho mayut pravilni grani ale ne ye odnoridnim tobto vin ne ye pravilnim bagatogrannikom arhimedovim tilom prizmoyu abo antiprizmoyu Pravilnogranni bagatogranniki nazvani im yam Normana Dzhonsona en yakij pershim perelichiv yih v 1966 r 2 Trishilij kupol skladeno z 8 granej 3 1 4 pravilnih trikutnikiv 3 kvadrativ ta 1 pravilnogo shestikutnika Odna trikutna gran otochena troma kvadratami tri trikutnih granej otocheni dvoma kvadratnimi ta odniyeyu shestikutnoyu grannyu kvadratni grani otocheni troma trikutnimi ta odniyeyu shestikutnoyu granyami shestikutna gran otochena troma trikutnimi ta troma kvadratnimi granyami dzherelo Maye 15 reber odnakovoyi dovzhini 3 6 9 reber roztashovani mizh kvadratnoyu ta trikutnoyu granyami 3 rebra mizh trikutnoyu ta shestikutnoyu granyami reshta 3 mizh kvadratnoyu ta shestikutnoyu granyami U trishilogo kupola 9 vershin 3 vershini otocheni dvoma trikutnimi ta dvoma kvadratnimi granyami pochergovo 6 vershin otocheni trikutnoyu kvadratnoyu ta shestikutnoyu granyami nbsp nbsp Trishilij kupol mozhe buti otrimanij shlyahom podilu navpil kubooktaedra po shestikutnomu pererizu mizh dvoma protilezhnimi trikutnimi granyami Navpaki dva trishilih kupoli mozhna poyednati u povernenij oriyentaciyi po shestikutnij grani i otrimati kubooktaedr Trishilij kupol maye vis povorotnoyi simertiyi 3 go poryadku sho prohodit cherez centri osnov a takozh tri ploshini dzerkalnoyi simetriyi sho prohodyat cherez vis kupola ta seredini storin nizhnoyi osnovi dzherelo Formuli RedaguvatiDiagonali Redaguvati Kilkist diagonalej opuklogo bagatogrannika B 2 P displaystyle binom B 2 P nbsp de V kilkist vershin R kilkist reber bagatogrannika Dlya trishilogo kupola 9 2 15 9 2 8 1 15 21 displaystyle binom 9 2 15 frac 9 2 cdot frac 8 1 15 21 nbsp diagonali 15 granevih ta 6 prostorovih Diagonali trishilogo kupola z dovzhinoyu rebra a displaystyle a nbsp nbsp Granevi diagonali A B 2 a 1 41421356237 a displaystyle AB sqrt 2 cdot a approx 1 41421356237 cdot a nbsp A C 3 a 1 73205080756 a displaystyle AC sqrt 3 cdot a approx 1 73205080756 cdot a nbsp A D 2 a displaystyle AD 2 cdot a nbsp Prostorovi diagonali F C 3 a 1 73205080756 a displaystyle FC sqrt 3 cdot a approx 1 73205080756 cdot a nbsp Metrichni harakteristiki Redaguvati nbsp Opisana sfera trishilogo kupola nbsp Serednovpisana sfera trishilogo kupolaDlya trishilogo kupola z dovzhinoyu rebra a displaystyle a nbsp Radius opisanoyi sferi prohodit cherez vsi vershini R a displaystyle R a nbsp Radius napivvpisanoyi sferi dotikayetsya do vsih reber r 3 2 a displaystyle rho frac sqrt 3 2 cdot a nbsp 0 8660254 a displaystyle approx 0 8660254 cdot a nbsp Vpisanoyi sferi trishilij kupol ne mayeVisota H Vidstan mizh paralelnimi trikutnoyu ta shestikutnoyu granyami H 6 3 a displaystyle H frac sqrt 6 3 cdot a nbsp 0 81649658 a displaystyle approx 0 81649658 cdot a nbsp Plosha poverhni S 3 5 3 2 a 2 displaystyle S left 3 frac 5 sqrt 3 2 right cdot a 2 nbsp 7 33012701 a 2 displaystyle approx 7 33012701 cdot a 2 nbsp Ob yem V 5 6 2 a 3 displaystyle V frac 5 6 sqrt 2 cdot a 3 nbsp 1 1785113 a 3 displaystyle approx 1 1785113 cdot a 3 nbsp Kuti Redaguvati Ploski kuti granej pri vershini 60 90 120 Kuti bagatogrannikaKut mizh nesusidnimi rebrami pri vershini verhnoyi osnovi f arccos 1 2 displaystyle varphi arccos left frac 1 2 right nbsp 2 p 3 displaystyle frac 2 pi 3 nbsp rad 120 Dvogrannij kut mizh granyami 3 ta 4 a arccos 3 3 arcsec 3 displaystyle alpha arccos left frac sqrt 3 3 right operatorname arcsec left sqrt 3 right nbsp 2 1862760354 rad 125 15 51 8028 Dvogrannij kut mizh granyami 3 ta 6 b arccos 1 3 arcsec 3 displaystyle beta arccos left frac 1 3 right operatorname arcsec left 3 right nbsp 1 2309594173 rad 70 31 43 60571 Dvogrannij kut mizh granyami 4 ta 6 g arccos 3 3 arcsec 3 displaystyle gamma arccos left frac sqrt 3 3 right operatorname arcsec left sqrt 3 right nbsp 0 9553166181 rad 54 44 8 197142 Tilesnij kut pri vershini nizhnoyi osnovi shestikutnoyi W 1 1 2 arccos 7 9 2 arcsin 3 3 displaystyle Omega 1 frac 1 2 arccos left frac 7 9 right 2 arcsin left frac sqrt 3 3 right nbsp 4 arctan 3 2 displaystyle 4 arctan left sqrt 3 sqrt 2 right nbsp W 1 2309594 displaystyle Omega thickapprox 1 2309594 nbsp srTilesnij kut pri vershini verhnoyi osnovi trikutnoyi W 2 arccos 7 9 4 arcsin 3 3 displaystyle Omega 2 arccos left frac 7 9 right 4 arcsin left frac sqrt 3 3 right nbsp 8 arctan 3 2 displaystyle 8 arctan left sqrt 3 sqrt 2 right nbsp W 2 2 4619188 displaystyle Omega 2 thickapprox 2 4619188 nbsp srSferichnist PS 2 50 p 3 6 5 3 displaystyle Psi frac 2 sqrt 3 50 pi 6 5 sqrt 3 nbsp PS 0 7360858 displaystyle Psi thickapprox 0 7360858 nbsp Centr tyazhinnya trishilogo kupola lezhit na jogo osi simetriyi na vidstani 6 8 a displaystyle frac sqrt 6 8 cdot a nbsp vid nizhnoyi osnovi 3 Dvoyistij bagatogrannik RedaguvatiTrishilij kupol ne maye ni topologichno dvoyistogo bagatogrannika vershini dvoyistogo znahodyatsya v centrah granej vihidnogo bagatogrannika ni kanonichno dvoyistogo bagatogrannika serednovpisani sferi oboh bagatogrannikiv zbigayutsya Jogo dvoyistij mozhe buti pobudovanij lishe zagalnim chinom kozhnij grani vihidnogo bagatogrannika vidpovidaye vershina dvoyistogo kozhnij vershini vihidnogo gran dualnogo z dotrimannyam simetriyi vihidnogo bagatogrannika a tomu formi ta rozmiri dvoyistogo bagatogrannika do vihidnogo trishilogo kupola mozhut riznitisya Dvoyistij do trishilogo kupola maye 9 granej 6 trikutnikiv 3 deltoyida 15 reber 8 vershin 4 5 nbsp Obertannya dvoyistogo do trishilogo kupola bagatogrannikaDvoyistij bagatogrannik Rozgortka dvoyistogo nbsp nbsp Sporidneni bagatogranniki RedaguvatiTrishilij kupol nalezhit do rodini kupoliv Simejstvo n kupoliv z pravilnimi granyami isnuye do n 5 vklyuchno Simejstvo opuklih kupoliv n 2 3 4 5 6 7Nazva Dvoshilij kupol Trishilij kupol Chotirishilij kupol P yatishilij kupol Shestishilij kupol ploskij Semishilij kupol z nepravilnimi bichnimi granyami Simvol Shlefli 2 t 2 3 t 3 4 t 4 5 t 5 6 t 6 7 t 7 Kupol nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Pov yazaniodnoridnibagatogranniki Trikutna prizma nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Kubooktaedr nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Rombokubo oktaedr nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Romboikoso dodekaedr nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Rombotri shestikutnamozayika en nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Rombotri semikutnamozayika en nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Dva trishilih kupoli mozhut buti z yednani svoyimi shestikutnimi osnovami v pryamij oriyentaciyi poyednuyutsya odnojmenni bokovi grani otrimanij bagatogrannik trichilij pryamij bikupol en J27 Yaksho odin z kupoliv povernuti na 60º to otrimayemo trichilij povernutij bikupol bilsh vidomij yak Kubooktaedr kuboktaedr dzherelo Trishilij pryamij bikupol Trishilij povernutij bikupol kubooktaedr nbsp nbsp nbsp Naroshenij trishilij kupol majzhe bagatogrannik Dzhonsona z komplanarnimi granyamiTrishilij kupol mozhna narostiti troma kvadratnimi piramidami zalishayuchi sumizhni koplanarni grani bez zmin Otrimanij bagatogrannik naroshenij trishilij kupol nalezhit do rodini majzhe bagatogrannikiv Dzhonsona en z komplanarnimi granyami Yaksho ob yednati ci koplanarni trikutniki v yedini grani otrimayemo topologichno she odin trishilij kupol bichni grani yakogo ye rivnobedrenimi trapeciyami Yaksho vsi trikutni grani zberegti bez zmin a shestikutnik v osnovi rozbiti na 6 trikutnikiv vijde koplanarnij deltaedr z 22 granyami dzherelo Primitki Redaguvati a b Zalgaller 1967 a b Norman W Johnson triangular cupola centroid Wolfram Alpha www wolframalpha com angl Semibisected trigonal trapezohedron Polytope Wiki angl 27 grudnya 2022 Procitovano 31 lipnya 2023 polyHedronisme levskaya github io Procitovano 31 lipnya 2023 Literatura RedaguvatiNorman W Johnson en Convex Solids with Regular Faces Canadian Journal of Mathematics 1966 T 18 ISSN 0008 414X DOI 10 4153 CJM 1966 021 8 Mistit originalne pererahuvannya 92 til i gipotezu sho inshih nemaye Zalgaller V A Vypuklye mnogogranniki s pravilnymi granyami M L Nauka 1967 T 2 221 s Zap nauchn sem LOMI Pershij dokaz sho isnuye tilki 92 til Dzhonsona Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Trishilij kupol angl na sajti Wolfram MathWorld Polytope Wiki Triangular cupola McCooey David TriangularCupola Klitzing Richard tricu Quickfur The Triangular Cupola Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Trishilij kupol amp oldid 40358039