www.wikidata.uk-ua.nina.az
Pravilnij bagatokutnikPravilnij dvanadcyatikutnik priklad Tip BagatokutnikVlastivosti Opuklij rivnostoronnij izogonalnij vershinno tranzitivnij izotoksalnij reberno tranzitivnij konciklichnij vpisanij v kolo Elementi n rebern vershinPoznachennyaSimvol Shlefli n Diagrama Koksetera Dinkina abo x n o Grupa simetriyi Dn poryadok 2n Diedralna grupa Dvoyistij SamodvoyistijV evklidovij geometriyi pra vilnij bagatoku tnik mnogoku tnik n ku tnik poligo n mnogokutnik u yakogo vsi kuti rivni i vsi storoni rivni mayut odnakovu dovzhinu Pravilni bagatokutniki mozhut buti opuklimi zirchatimi abo prostorovimi Yaksho n pryamuye do neskinchennosti pravilnij bagatokutnik nablizhayetsya za formoyu do kola yaksho zrobiti stalim znachennya perimetru chi ploshi abo do apejrogona pryama liniya yaksho zrobiti staloyu dovzhinu storoni Zmist 1 Opuklij pravilnij bagatokutnik 1 1 Kuti 1 2 Formuli 1 2 1 Dovzhina storoni ta perimetr 1 2 2 Vpisane ta opisane kolo 1 2 3 Plosha 1 2 4 Formuli dlya pravilnogo bagatokutnika z podvoyenim chislom storin 1 3 Diagonali 1 4 Koordinati vershin 1 5 Simetriya 2 Vlastivosti 3 Zastosuvannya 4 Istoriya 5 Rozbittya 6 Div takozh 7 Primitki 8 Literatura 9 PosilannyaOpuklij pravilnij bagatokutnik RedaguvatiVsi opukli pravilni bagatokutniki ye prostimi bagatokutnikami Vsi pravilni n kutniki podibni mizh soboyu Centrom pravilnogo bagatokutnika nazivayetsya tochka rivnoviddalena vid usih jogo vershin ta vsih jogo storin Vidrizok a takozh jogo dovzhina perpendikulyara provedenogo z centru pravilnogo bagatokutnika do jogo storoni nazivayetsya apotemoyu pravilnogo bagatokutnika Apotema dorivnyuye radiusu vpisanogo v danij bagatokutnik kola nbsp Kuti Redaguvati Centralnim kutom pravilnogo n kutnika kut a nazivayetsya kut pid yakim storonu n kutnika vidno z jogo centru a 360 0 n displaystyle alpha frac 360 0 n nbsp gradusiv 2 p n displaystyle frac 2 pi n nbsp radian Suma centralnih kutiv a 360 0 2 p displaystyle sum alpha 360 0 2 pi nbsp rad Vnutrishnij kut pravilnogo n kutnika kut mizh susidnimi storonami b 180 0 n 2 n displaystyle beta frac 180 0 n 2 n nbsp gradusiv n 2 p n displaystyle frac n 2 cdot pi n nbsp radian Suma vnutrishnih kutiv b 180 0 n 2 displaystyle sum beta 180 0 n 2 nbsp Zovnivnishnij kut kut sumizhnij z vnutrishnim kutom g 180 0 b a displaystyle gamma 180 0 beta alpha nbsp g 360 0 n displaystyle gamma frac 360 0 n nbsp gradusiv 2 p n displaystyle frac 2 pi n nbsp radian Suma zovnishnih kutiv bagatokutnika vzyatih po odnomu bilya kozhnoyi vershini dorivnyuye 360 Storona pravilnogo n kutnika n cherez radius opisanogo kola R a 2 sin p n R displaystyle a 2 cdot sin left frac pi n right cdot R nbsp cherez radius vpisanogo kola r a 2 t g p n r displaystyle a 2 cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r nbsp 3 3 R displaystyle sqrt 3 cdot R nbsp 1 7320508 R 2 3 r displaystyle 2 sqrt 3 cdot r nbsp 3 4641016 r4 2 R displaystyle sqrt 2 cdot R nbsp 1 4142136 R 2 r displaystyle 2 cdot r nbsp 2 r5 5 5 2 R displaystyle sqrt frac 5 sqrt 5 2 cdot R nbsp 1 1755705 R 2 5 2 5 r displaystyle 2 sqrt 5 2 sqrt 5 cdot r nbsp 1 4530851 r6 R displaystyle R nbsp 1 R 2 3 3 r displaystyle frac 2 sqrt 3 3 cdot r nbsp 1 1547005 r7 0 8677674 R 0 9631492 r8 2 2 R displaystyle sqrt 2 sqrt 2 cdot R nbsp 0 7653669 R 2 2 1 r displaystyle 2 sqrt 2 1 cdot r nbsp 0 8284271 r9 0 6840403 R 0 7279405 r10 5 1 2 R displaystyle frac sqrt 5 1 2 cdot R nbsp 0 6180339 R 2 5 2 5 5 r displaystyle 2 sqrt frac 5 2 sqrt 5 5 cdot r nbsp 0 6498393 r11 0 5634651 R 0 5872529 r12 2 3 R displaystyle sqrt 2 sqrt 3 cdot R nbsp 0 5176381 R 2 2 3 r displaystyle 2 2 sqrt 3 cdot r nbsp 0 5358984 rFormuli Redaguvati Nehaj a displaystyle a nbsp storona pravilnogo n kutnika R radius opisanogo kola r radius vpisanogo kola P perimetr a p displaystyle a p nbsp apotema pravilnogo n kutnika Dovzhina storoni ta perimetr Redaguvati Dovzhina storoni pravilnogo n kutnika dorivnyuye a 2 sin p n R 2 t g p n r 2 R 2 r 2 displaystyle a 2 cdot sin left frac pi n right cdot R 2 cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2 cdot sqrt R 2 r 2 nbsp Perimetr suma vsih dovzhin storin pravilnogo n kutnika P n a 2 n sin p n R 2 n t g p n r 2 n R 2 r 2 displaystyle P n cdot a 2n cdot sin left frac pi n right cdot R 2n cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2n cdot sqrt R 2 r 2 nbsp Perimetri dvoh pravilnih n kutnikiv vidnosyatsya yak yih vidpovidni linijni elementi storoni radiusi vpisanih chi opisanih kil P 1 P 2 a b r 1 r 2 R 2 R 2 displaystyle frac P 1 P 2 frac a b frac r 1 r 2 frac R 2 R 2 nbsp nbsp Plosha kilcya obmezhenogo vpisanim ta opisanim kolami bagatokutnikaVpisane ta opisane kolo Redaguvati Navkolo kozhnogo pravilnogo n kutnika mozhna opisati kolo i v kozhen pravilnij n kutnik mozhna vpisati kolo Tobto pravilnij bagatokutnik ye bicentrichnim Centri vpisanogo i opivanogo kil spivpadayut i znahodyatsya v centri pravilnogo n kutnika Radius vpisanogo kola pravilnogo n kutnika dorivnyuye apofemi pravilnogo n kutnika dotikayetsya do vsih jogo reber r 1 2 c t g p n a cos p n R R 2 a 2 4 displaystyle r frac 1 2 mathop mathrm ctg left frac pi n right cdot a cos left frac pi n right cdot R sqrt R 2 frac a 2 4 nbsp Radius opisanogo kola pravilnogo n kutnika prohodit cherez vsi jogo vershini R 1 2 sin p n a sec p n r r 2 a 2 4 displaystyle R frac 1 2 cdot sin left frac pi n right cdot a sec left frac pi n right cdot r sqrt r 2 frac a 2 4 nbsp Plosha kilcya utvorenogo vpisanim ta opisanim kolom zalezhit tilki vid dovzhini storoni S p 4 a 2 displaystyle S frac pi 4 cdot a 2 nbsp Plosha Redaguvati Ploshu pravilnogo mnogokutnika z chislom storin n displaystyle n nbsp mozhna obchisliti za formulami S n 4 c t g p n a 2 displaystyle S frac n 4 mathop mathrm ctg left frac pi n right cdot a 2 nbsp S n 2 sin 2 p n R 2 displaystyle S frac n 2 sin left frac 2 pi n right cdot R 2 nbsp S n t g p n r 2 displaystyle S n cdot mathop mathrm tg left frac pi n right cdot r 2 nbsp S a n 2 R 2 a 2 4 a n r 2 1 2 P r p a p displaystyle S frac a cdot n 2 sqrt R 2 frac a 2 4 frac a cdot n cdot r 2 frac 1 2 P cdot r p cdot a p nbsp de P p perimetr ta pivperimetr pravilnogo n kutnika a p displaystyle a p nbsp apotema pravilnogo n kutnika r R radiusi vpisanogo ta opisanogo kil apofema Pravilnij n kutnik mozhna rozbit na n rivnih rivnobichnih trikutnikiv z vershinami v centri bagatokutnika U kozhnogo iz cih trikutnikiv osnova dorivnyuye storoni mnogokutnika a visota jogo apotemi Zastosovuyemo formulu ploshi trikutnika S 1 2 b h displaystyle S frac 1 2 bh nbsp de S plosha b osnova h visota Otrimuyemo formulu dlya obchislennya ploshi pravilnogo mnogokutnika S 1 2 a a p n 1 2 P a p displaystyle S frac 1 2 a cdot a p cdot n frac 1 2 P cdot a p nbsp de a storona pravilnogo n kutnika a p displaystyle a p nbsp apofema P perimetr Ploshi dvoh pravilnih n kutnikiv vidnosyatsya yak kvadrati yih vidpovidnih linijnih elementiv storin radiusiv vpisanih chi opisanih kil diagonalej 1 stor 203 S 1 S 2 a 2 b 2 r 1 2 r 2 2 R 1 2 R 2 2 displaystyle frac S 1 S 2 frac a 2 b 2 frac r 1 2 r 2 2 frac R 1 2 R 2 2 nbsp Formuli dlya pravilnogo bagatokutnika z podvoyenim chislom storin Redaguvati Nehaj navkolo danogo kola radiusa R opisano pravilnij n kutnik zi storonoyu An perimetrom Pn i plosheyu Sn i v ce zh kolo vpisano pravilnij n kutnik zi storonoyu an perimetrom pn i plosheyu sn Todi 2 stor 87 3 stor 332 Dlya vpisanogo v ce zh kolo 2n kutnika z podvoyenoyu kilkistyu storin Dlya opisanogo navkolo cogo zh kola 2n kutnika z podvoyenoyu kilkistyu storin U kolo radiusa R vpisano pravilnij 2n kutnik zi storonoyu a 2 n displaystyle a 2n nbsp i plosheyu s 2 n displaystyle s 2n nbsp Storona a 2 n R 2 2 1 a n 2 R 2 displaystyle a 2n R cdot sqrt 2 2 cdot sqrt 1 left frac a n 2 cdot R right 2 nbsp a 2 n 2 R 2 R 4 R 2 a n 2 a n A 2 n 2 displaystyle a 2n sqrt 2R 2 R cdot sqrt 4R 2 a n 2 sqrt frac a n cdot A 2n 2 nbsp Storona A 2 n 2 R A n 2 R 4 R 2 A n 2 a n A n a n A n displaystyle A 2n frac 2R cdot A n 2R sqrt 4R 2 A n 2 frac a n cdot A n a n A n nbsp Storona pravilnogo n kutnika vpisanogo v ce zh kolo a n a 2 n 4 a 2 n R 2 displaystyle a n a 2n cdot sqrt 4 left frac a 2n R right 2 nbsp Perimetr p 2 n p n P 2 n displaystyle p 2n sqrt p n cdot P 2n nbsp p 2 n gt p n displaystyle p 2n gt p n nbsp Perimetr P 2 n 2 p n P n p n P n displaystyle P 2n frac 2p n cdot P n p n P n nbsp P n gt P 2 n displaystyle P n gt P 2n nbsp Plosha s 2 n n R 2 2 1 1 2 s n n R 2 2 displaystyle s 2n frac n cdot R 2 sqrt 2 cdot sqrt 1 sqrt 1 left frac 2s n n cdot R 2 right 2 nbsp Plosha S 2 n 2 s 2 n S n s 2 n S n displaystyle S 2n frac 2s 2n cdot S n s 2n S n nbsp Plosha pravilnogo n kutnika s n s 2 n 1 s 2 n n R 2 2 displaystyle s n s 2n cdot sqrt 1 left frac s 2n n cdot R 2 right 2 nbsp Nehaj navkolo danogo kola radiusa R opisano pravilnij n kutnik zi storonoyu An i v ce zh kolo vpisano pravilnij n kutnik zi storonoyu an Todi a n 2 R A n 4 R 2 A n 2 displaystyle a n frac 2R cdot A n sqrt 4R 2 A n 2 nbsp A n 2 R a n 4 R 2 a n 2 displaystyle A n frac 2R cdot a n sqrt 4R 2 a n 2 nbsp Diagonali Redaguvati nbsp Diagonallyu bagatokutnika nazivayut vidrizok sho z yednuye dvi nesusidni vershini bagatokutnika Diagonali sho vihodyat z odniyeyi vershini opuklogo n kutnika dilyat jogo na n 2 trikutniki Kilkist diagonalej pravilnogo n kutnika n n 3 2 displaystyle frac n cdot n 3 2 nbsp Kut mizh bud yakimi susidnimi diagonalyami sho vihodyat iz odniyeyi vershini vklyuchno zi storonami sho vihodyat iz ciyeyi vershini f p n displaystyle varphi frac pi n nbsp Pri parnomu n n 2 displaystyle frac n 2 nbsp diagonalej pravilnogo bagatokutnika sho mayut najbilshu dovzhinu peretinayutsya v odnij tochci v centri pravilnogo bagatokutnika Pri neparnomu n n displaystyle n nbsp diagonalej sho mayut najbilshu dovzhinu pri peretini utvoryuyut vseredini n kutnika takij zhe n kutnik menshogo rozmiru Dovzhini diagonalej pravilnogo n kutnika mozhna obchisliti za formuloyu d k sin k 1 p n sin p n a displaystyle d k frac sin left frac k 1 cdot pi n right sin left frac pi n right cdot a nbsp pri k 1 2 3 n 3 k N displaystyle k 1 2 3 n 3 k in mathbb N nbsp Vivid formuli Kuti n kutnika Vnutrishnij kut b n 2 p n p 2 p n displaystyle beta frac n 2 cdot pi n pi frac 2 pi n nbsp Kut d b f n 2 p n p n p 2 p n p n p 3 p n displaystyle delta beta varphi frac n 2 cdot pi n frac pi n pi frac 2 pi n frac pi n pi frac 3 pi n nbsp Kut ϵ b p d f p 2 p n p p 3 p n p n p 4 p n displaystyle epsilon beta left pi delta varphi right pi frac 2 pi n pi pi frac 3 pi n frac pi n pi frac 4 pi n nbsp i t d Diagonal d 1 displaystyle d 1 nbsp znahodimo zastosovuyuchi teoremu sinusiv a sin f d 1 sin b d 1 sin p 2 p n sin p n a sin 2 p n sin p n a displaystyle frac a sin varphi frac d 1 sin beta Longrightarrow d 1 frac sin left pi frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a nbsp Analogichno diagonal d 2 displaystyle d 2 nbsp a sin f d 2 sin d d 2 sin p 3 p n sin p n a sin 3 p n sin p n a displaystyle frac a sin varphi frac d 2 sin delta Longrightarrow d 2 frac sin left pi frac 3 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 3 pi n right sin left frac pi n right cdot a nbsp Ostannya diagonal d n 3 displaystyle d n 3 nbsp d n 3 sin p n 2 p n sin p n a sin n 2 p n sin p n a sin 2 p n sin p n a displaystyle d n 3 frac sin left pi frac n 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac n 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a frac sin left frac 2 pi n right sin left frac pi n right cdot a nbsp Uzagalnyuyuchi znajdeni znachennya otrimayemo d k sin k 1 p n sin p n a displaystyle d k frac sin left frac k 1 cdot pi n right sin left frac pi n right cdot a nbsp pri k 1 2 3 n 3 displaystyle k 1 2 3 n 3 nbsp k in mathbb N Vsi diagonali pravilnogo n kutnika pri peretini dilyat jogo na 1 4 11 24 50 80 154 220 375 444 chastin vidpovidno dlya n 3 4 5 nbsp A007678 Kilkist tochok peretinu diagonalej useredini pravilnogo bagatokutnika 0 1 5 13 35 49 126 161 330 301 vidpovidno dlya n 3 4 5 nbsp A006561 Najbilsha kilkist diagonalej pravilnogo n displaystyle n nbsp kutnika sho peretinayutsya v odnij tochci yaka ne ye jogo vershinoyu abo centrom dorivnyuye 2 yaksho n neparne 3 yaksho n parne ale ne dilitsya na 6 5 yaksho n dilitsya na 6 ale ne dilitsya na 30 7 yaksho n dilitsya na 30Dlya cih znachen isnuye tri viklyuchennya cya kilkist 0 v trikutniku 2 v shestikutniku ta 4 v dvanadcyatikutniku 4 Nehaj isnuye nastupna funkciya d m n 1 yaksho n dilitsya na m 0 yaksho n ne dilitsya na m displaystyle delta m n begin cases 1 amp text yaksho n text dilitsya na m 0 amp text yaksho n text ne dilitsya na m end cases nbsp Todi Kilkist tochok peretinu diagonalej pravilnogo n kutnika dorivnyuye 4 C n 4 5 n 3 45 n 2 70 n 24 24 d 2 n 3 n 2 d 4 n 45 n 2 262 n 6 d 6 n 42 n d 12 n 60 n d 18 n 35 n d 24 n 38 n d 30 n 82 n d 42 n 330 n d 60 n 144 n d 84 n 96 n d 90 n 144 n d 120 n 96 n d 210 n displaystyle begin array l C n 4 frac 5n 3 45n 2 70n 24 24 cdot delta 2 n frac 3n 2 cdot delta 4 n frac 45n 2 262n 6 cdot delta 6 n 42n cdot delta 12 n 60n cdot delta 18 n 35n cdot delta 24 n 38n cdot delta 30 n 82n cdot delta 42 n 330n cdot delta 60 n 144n cdot delta 84 n 96n cdot delta 90 n 144n cdot delta 120 n 96n cdot delta 210 n end array nbsp De C n 4 displaystyle C n 4 nbsp chislo spoluk iz n displaystyle n nbsp po 4 displaystyle 4 nbsp Kilkist chastin na yaki diagonali pri peretini dilyat pravilnyj n kutnik dorivnyuye 4 n 4 6 n 3 23 n 2 42 n 24 24 5 n 3 42 n 2 40 n 48 48 d 2 n 3 n 4 d 4 n 53 n 2 310 n 12 d 6 n 49 n 2 d 12 n 32 n d 18 n 19 n d 24 n 36 n d 30 n 50 n d 42 n 190 n d 60 n 78 n d 84 n 48 n d 90 n 78 n d 120 n 48 n d 210 n displaystyle begin array l frac n 4 6n 3 23n 2 42n 24 24 frac 5n 3 42n 2 40n 48 48 cdot delta 2 n frac 3n 4 cdot delta 4 n frac 53n 2 310n 12 cdot delta 6 n frac 49n 2 cdot delta 12 n 32n cdot delta 18 n 19n cdot delta 24 n 36n cdot delta 30 n 50n cdot delta 42 n 190n cdot delta 60 n 78n cdot delta 84 n 48n cdot delta 90 n 78n cdot delta 120 n 48n cdot delta 210 n end array nbsp Dlya pravilnogo n kutnika vpisanogo v kolo odinichnogo radiusa dobutok vidstanej vid danoyi vershini do vsih inshih vershin vklyuchno iz sumizhnimi vershinami ta vershinami z yednani diagonalyami dorivnyuye n 1 Suma kvadrativ vsih storin ta vsih diagonalej pravilnogo n kutnika vpisanogo v kolo radiusa R dorivnyuye n2R2 5 stor 73 naslidok Koordinati vershin Redaguvati Nehaj x 0 displaystyle x 0 nbsp ta y 0 displaystyle y 0 nbsp koordinati centra a R displaystyle R nbsp radius opisanogo navkolo pravilnogo mnogokutnika kola ϕ 0 displaystyle phi 0 nbsp kutova koordinata pershoyi vershini todi dekartovi koordinati vershin pravilnogo mnogokutnika viznachayutsya formulami x i x 0 R cos ϕ 0 2 p i n displaystyle x i x 0 R cos left phi 0 frac 2 pi i n right nbsp y i y 0 R sin ϕ 0 2 p i n displaystyle y i y 0 R sin left phi 0 frac 2 pi i n right nbsp de i 0 n 1 displaystyle i 0 dots n 1 nbsp Simetriya Redaguvati nbsp Shist osovih simetrij pravilnogo shestikutnikaGrupoyu simetriyi pravilnogo n kutnika ye diedralna grupa Dn poryadku 2n D2 D3 D4 Vona skladayetsya z n obertovih simetrij i n osovih simetrij Yaksho n parne todi isnuye n 2 osej simetrij sho prohodyat cherez dvi protilezhni vershini a insha polovina cherez seredini protilezhnih storin Yaksho n neparne to vsi osi prohodyat cherez vershinu ta seredinu protilezhnoyi storoni Tak chi inakshe isnuye n osej simetriyi i 2n elementiv u grupi simetrij Vidbittya vidnosno odniyeyi z osej simetriyi iz nastupnim vidbittyam vidnosno inshoyi osi rivnocinno obertannyu na podvoyenij kut mizh osyami Vlastivosti RedaguvatiVsi bisektrisi kutiv mizh storonami rivni i prohodyat cherez centr pravilnogo mnogokutnika Vsi seredinni perpendikulyari prohodyat cherez centr pravilnogo mnogokutnika Shob znajti centr pravilnogo n kutnika dostatno znajti tochku peretinu dvoh seredinnih perpendikulyariv provedenih do susidnih storin Centr mas pravilnogo n kutnika lezhit u jogo geometrichnomu centri Pravilnij n kutnik mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya j linijki todi i tilki todi koli n 2 k p 1 p m displaystyle n 2 k cdot p 1 cdot ldots cdot p m nbsp de rizni prosti chisla Ferma Zokrema pravilnij n kutnik ye takim sho buduyetsya yaksho n 3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24 30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96 102 120 poslidovnist nbsp A003401 Pravilnimi n kutnikami mozhna zamostiti ploshinu bez promizhkiv ta nakladen tilki pri n 3 4 ta 6 tobto tilki pravilnimi trikutnikami kvadratami ta pravilnimi shestikutnikami nbsp Teorema Viviani dlya pravilnogo semikutnikaTeorema Viviani dlya pravilnogo n kutnikaU svoyemu vidanni p yatoyi knigi Konichni peretini Apolloniya 6 Viviani nadaye taku teoremu U pravilnomu opuklomu n kutniku suma vidstanej vid bud yakoyi tochki vseredini bagatokutnika do jogo storin abo yih prodovzhen postijna i ne zalezhit vid roztashuvannya tochki Zokrema yaksho h i displaystyle h i nbsp vidstani vid deyakoyi tochki R sho lezhit vseredini pravilnogo n kutnika do jogo storin a p displaystyle a p nbsp apotema cogo n kutnika to vikonuyetsya rivnist 7 5 stor 72 i 1 n h i a p n displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle h i a p cdot n nbsp nbsp Ilyustraciya teorem pov yazanih z opisanim kolom pravilnogo bagatokutnikaSuma dovzhin perpendikulyariv opushenih z vershin pravilnogo n kutnika na bud yaku pryamu dotichnu do opisanogo kola dorivnyuye radiusu opisanogo kola pomnozhenomu na n 5 stor 73 i 1 n ℓ i n R displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle ell i n cdot R nbsp Suma kvadrativ vidstanej vid vershin pravilnogo n kutnika do bud yakoyi tochki na opisanomu koli dorivnyuye 5 stor 73 i 1 n d i 2 2 n R 2 displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle d i 2 2n cdot R 2 nbsp de R radius opisanogo kola Suma kvadrativ vidstanej vid seredin storin pravilnogo n kutnika do bud yakoyi tochki opisanogo kola dorivnyuye 5 stor 73 i 1 n m i 2 2 n R 2 1 4 n a 2 displaystyle textstyle sum i 1 n displaystyle m i 2 2n cdot R 2 frac 1 4 n cdot a 2 nbsp de a displaystyle a nbsp dovzhina storoni pravilnogo n kutnikaYaksho d i displaystyle d i nbsp vidstani vid vershin pravilnogo n displaystyle n nbsp kutnika do bud yakoyi tochki na opisanomu koli to 8 3 i 1 n d i 2 2 2 n i 1 n d i 4 displaystyle 3 left sum i 1 n d i 2 right 2 2n sum i 1 n d i 4 nbsp Tochka v ploshini pravilnogo n kutnikaNehaj d i displaystyle d i nbsp vidstani vid dovilnoyi tochki ploshini do vershin pravilnogo n kutnika a R radius opisanogo kola Todi vikonuyetsya rivnist 9 1 n i 1 n d i 4 3 R 4 1 n i 1 n d i 2 R 2 2 displaystyle frac 1 n sum i 1 n d i 4 3R 4 left frac 1 n sum i 1 n d i 2 R 2 right 2 nbsp Isnuyut formuli dlya bilshih pokaznikiv stepenya vidstanej d i displaystyle d i nbsp Yaksho S n 2 m 1 n i 1 n d i 2 m displaystyle S n 2m frac 1 n sum i 1 n d i 2m nbsp to 8 S n 2 m S n 2 m k 1 m 2 m 2 k 2 k k R 2 k S n 2 R 2 k S n 2 m 2 k displaystyle S n 2m left S n 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor binom m 2k binom 2k k R 2k left S n 2 R 2 right k left S n 2 right m 2k nbsp a takozh S n 2 m S n 2 m k 1 m 2 1 2 k m 2 k 2 k k S n 4 S n 2 2 k S n 2 m 2 k displaystyle S n 2m left S n 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor frac 1 2 k binom m 2k binom 2k k left S n 4 left S n 2 right 2 right k left S n 2 right m 2k nbsp de m displaystyle m nbsp dodatne cile chislo menshe nizh n displaystyle n nbsp Yaksho L displaystyle L nbsp vidstan vid dovilnoyi tochki na ploshini do centra pravilnogo n kutnika z radiusom opisanogo kola R displaystyle R nbsp to 8 i 1 n d i 2 m n R 2 L 2 m k 1 m 2 m 2 k 2 k k R 2 k L 2 k R 2 L 2 m 2 k displaystyle sum i 1 n d i 2m n left left R 2 L 2 right m sum k 1 left lfloor frac m 2 right rfloor binom m 2k binom 2k k R 2k L 2k left R 2 L 2 right m 2k right nbsp de m displaystyle m nbsp 1 2 n 1 displaystyle n 1 nbsp Zastosuvannya RedaguvatiPravilnimi mnogokutnikami za viznachennyam ye grani pravilnih mnogogrannikiv Davnogrecki matematiki Antifon Brison Arhimed ta in vikoristovuvali pravilni mnogokutniki dlya obchislennya chisla p displaystyle pi nbsp Voni obchislyuvali ploshi vpisanih v kolo i opisanih navkolo nogo mnogokutnikiv postupovo zbilshuyuchi chislo yih storin i otrimuyuchi takim chinom ocinku ploshi kola 10 Istoriya RedaguvatiPobudova pravilnogo mnogokutnika n kutnika za dopomogoyu cirkulya ta linijki zalishalas problemoyu dlya matematikiv do XIX stolittya Taka pobudova identichna rozdilennyu kola na n rivnih chastin oskilki z yednavshi mizh soboyu tochki sho dilyat kolo na rivni chastini mozhna otrimati shukanij mnogokutnik Evklid u svoyih Nachalah opisav pobudovu pravilnih mnogokutnikiv u Knizi IV i virishiv zadachu dlya n 3 4 5 6 15 Vin viznachiv pevnij kriterij mozhlivosti pobuduvati mnogokutnik hocha cej kriterij i ne bulo opisano v Nachalah Davnogrecki matematiki vmili buduvati mnogokutnik z 2m storonami pri cilomu m gt 1 mayuchi vzhe pobudovanij mnogokutnik iz kilkistyu storin 2m 1 podilom dugi na dvi chastini Takim chinom iz dvoh pivkil mozhna pobuduvati kvadrat potim pravilnij vosmikutnik pravilnij shistnadcyatikutnik i tak dali Okrim cogo v tij zhe knizi Evklid vkazav i drugij kriterij yaksho vidomo yak buduvati mnogokutniki z r ta s storonami de r ta s vzayemno prosti chisla to mozhna pobuduvati i mnogokutnik iz r s storonami Sintezuyuchi ci dva sposobi mozhna dijti visnovku sho starodavni matematiki vmili buduvati pravilni mnogokutniki z 2 m p 1 k 1 p 2 k 2 displaystyle 2 m cdot p 1 k 1 cdot p 2 k 2 nbsp storonami de m cile nevid yemne chislo p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 nbsp chisla 3 ta 5 a k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 nbsp prijmayut znachennya 0 abo 1 Serednovichna matematika majzhe niyak ne prosunulas u comu pitanni Lishe 1796 roku Karlu Fridrihu Gausu vdalosya dovesti sho koli kilkist storin pravilnogo mnogokutnika dorivnyuye prostomu chislu Ferma do yakih krim 3 ta 5 nalezhat 17 257 i 65537 to jogo mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ta linijki Yaksho brati vzagali iz cogo viplivaye sho pravilnij mnogokutnik mozhlivo pobuduvati yaksho kilkist jogo storin dorivnyuye 2 k 0 p 1 k 1 p 2 k 2 p s k s displaystyle 2 k 0 p 1 k 1 p 2 k 2 cdots p s k s nbsp de k 0 displaystyle k 0 nbsp cile nevid yemne chislo k 1 k 2 k s displaystyle k 1 k 2 cdots k s nbsp nabuvayut znachennya 0 abo 1 a p j displaystyle mathrm p j nbsp prosti chisla Ferma Gaus pidozryuvav sho cya umova ye ne tilki dostatnoyu ale j neobhidnoyu ale vpershe ce doviv P yer Loran Vancel 1836 roku Krapku v spravi pobudovi pravilnih mnogokutnikiv postavila pobudova pravilnih 17 257 ta 65537 kutnikiv Pershu vinajshov Johanes Erhinger 1825 roku drugu Fridrih Yulius Rishelo 1832 roku tretyu Iogan Gustav Germes 1894 roku Vidtodi problema vvazhayetsya povnistyu virishenoyu Rozbittya RedaguvatiGarold Kokseter stverdzhuye sho kozhen zonogon 2m kutnik protilezhni storoni yakogo paralelni j mayut odnakovu dovzhinu mozhna rozrizati na m 2 m m 1 2 displaystyle binom m 2 frac m cdot m 1 2 nbsp paralelogramiv Ci mozayiki mistyatsya yak pidmnozhini vershin reber i granej v ortogonalnih proekciyah m kubiv 11 Zokrema ce spravedlivo dlya bud yakogo pravilnogo bagatokutnika z parnoyu kilkistyu storin u comu vipadku vsi paralelogrami ye rombami Poslidovnist nbsp A006245 mistit kilkist rombiv u rozbitti pravilnogo 2m kutnika Prikladi rozbittya na rombi pravilnih 2m kutnikiv 2m 6 8 10 12 14 16 18 20 24 30 40 50Zobrazhennya nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp Rombi 3 6 10 15 21 28 36 45 66 105 190 300Div takozh RedaguvatiTeorema Gaussa Vancelya Najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra Figurni chislaPrimitki Redaguvati Ister O S 2017 Harris John W Stocker Horst 23 lipnya 1998 Handbook of Mathematics and Computational Science angl Springer Science amp Business Media ISBN 978 0 387 94746 4 Zwillinger Daniel 2003 CRC Standard Mathematical Tables angl vid 31th ed Boca Raton FL CRC Press LLC s 840 stor 332 a b v Bjorn Poonen and Michael Rubinstein The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon angl doi 10 48550 arXiv math 9508209 a b v g d Johnson Roger A 2007 orig 1929 Advanced Euclidean Geometry angl Dover Publ s 319 stor 72 73 Apolonio de Pergamo Vincenzo Viviani 1659 De maximis et minimis geometrica ital Appendice s 146 Chen Zhibo Liang Tian 2006 The converse of Viviani s theorem The College Mathematics Journal 37 5 390 391 JSTOR 27646392 doi 10 2307 27646392 a b v Meskhishvili Mamuka Meskhishvili Mamuka 2020 Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids Communications in Mathematics and Applications11 335 355 Park Poo Sung 2016 Regular polytope distances Forum Geometricorum 16 227 232 Zhukov A V Pro chislo p displaystyle pi nbsp M MCNMO 2002 ISBN 5 94057 030 5 Coxeter Mathematical recreations and Essays Thirteenth edition stor 141Literatura RedaguvatiMerzlyak A G Polonskij V B Yakir M S Geometriya pidruch dlya 9 kl zagalnoosvit navch zakladiv Harkiv Gimnaziya 1966 S 240 stor 51 61 ISBN 978 966 474 295 2 Ister O S Geometriya 9 klas Kiyiv Geneza 2017 S 243 stor 203 ISBN 978 966 11 0844 7 Posilannya RedaguvatiRegular Polygons and Other Two Dimensional Shapes Weisstein Eric W RegularPolygon From MathWorld nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pravilnij mnogokutnik amp oldid 40197123