www.wikidata.uk-ua.nina.az

Найбільший многокутник одиничного діаметра многокутник з n сторонами для заданого числа n діаметр якого дорівнює одиниці

Найбільший многокутник одиничного діаметра

Найбільший многокутник одиничного діаметра — многокутник з n сторонами (для заданого числа n), діаметр якого дорівнює одиниці (тобто відстань між будь-якими двома його точками не перевищує одиниці), і має найбільшу площу серед інших n-кутників одиничного діаметра. Розв'язком (не унікальним) для n = 4 є квадрат, розв'язком для непарних n є правильний многокутник, при цьому для інших парних n правильний многокутник найбільшим не буде.

Чотирикутники Редагувати

Площа довільного чотирикутника () обчислюється за формулою , де і  — діагоналі чотирикутника, а  — кут між діагоналями. Якщо діаметр многокутника не перевищує одиниці, і і мають не перевищувати 1. Таким чином, чотирикутник має найбільшу площу, коли всі три множники досягають найбільшого можливого значення, тобто і . Умова означає, що чотирикутник рівнодіагональний, а умова означає, що він ортодіагональний (його діагоналі перпендикулярні). До таких чотирикутників належить квадрат із діагоналями одиничної довжини, що має площу ½, однак є безліч інших чотирикутників одночасно рівнодіагональних і ортодіагональних з довжинами діагоналей 1, всі вони мають таку ж площу, як квадрат. Таким чином, розв'язок не єдиний.

Непарна кількість сторін Редагувати

Для непарних значень n Карл Райнгардт[en] показав, що правильний многокутник має найбільшу площу серед усіх многокутників одиничного діаметра.

Парна кількість сторін Редагувати

Найбільший многокутник одиничного діаметра із шістьма сторонами (ліворуч). Праворуч — правильний многокутник такого ж діаметра, але меншої площі.

У разі n = 6 оптимальний многокутник єдиний, однак він не є правильним. Розв'язок для цього випадку 1975 року опублікував Рональд Грем у відповідь на питання, яке поставив 1956 року Ганфрід Ленц[de]. Це неправильний рівнодіагональний п'ятикутник із трикутником, прикріпленим до однієї з його сторін, і відстань від вершини цього трикутника до протилежної вершини п'ятикутника дорівнює довжині діагоналей п'ятикутника. Площа цієї фігури дорівнює 0.674981…, і це число задовольняє рівнянню:

Грем висловив гіпотезу, що в загальному випадку для парних n розв'язок будується аналогічно з правильних (n−1)-кутників (з одиничними діагоналями) з додаванням рівнобедреного трикутника до однієї зі сторін, відстань від вершини якого до протилежної вершини (n−1)-кутника дорівнює одиниці. Для випадку n = 8 це перевірено 2002 року за допомогою комп'ютера . Для доведення Грема оптимальності його шестикутника та перевірки на комп'ютері випадку n = 8 використано перебір варіантів усіх можливих треклів із n вершинами та прямолінійними ребрами.

Повне підтвердження гіпотези Грема для всіх парних значень n надано 2007 року.

Примітки Редагувати

  1. Schäffer, 1958, с. 85–86.
  2. Reinhardt, 1922, с. 251–270.
  3. Lenz, 1956, с. 86.
  4. Graham, 1975, с. 165–170.
  5. послідовність A111969 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
  6. Audet, Hansen, Messine, Xiong, 2002, с. 46–59.
  7. Foster, Szabo, 2007, с. 1515–1525.

Література Редагувати

  • J. J. Schäffer. Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12 // Elemente der Math.. — 1958. — Т. 13.. Як процитовано в Грема (Graham, (1975)).
  • Karl Reinhardt. Extremale Polygone gegebenen Durchmessers // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1922. — Т. 31.
  • H. Lenz. Ungelöste Prob. 12 // EIemente der Math.. — 1956. — Т. 11.. Як процитовано в Грема (Graham, (1975)).
  • R. L. Graham. The largest small hexagon // Journal of Combinatorial Theory. — 1975. — Т. 18. — (Series A). — DOI:10.1016/0097-3165(75)90004-7.
  • Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, Junjie Xiong. The largest small octagon // Journal of Combinatorial Theory. — 2002. — Т. 98, вип. 1. — (Series A). — DOI:10.1006/jcta.2001.3225.
  • Jim Foster, Tamas Szabo. Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham // Journal of Combinatorial Theory. — 2007. — Т. 114, вип. 8. — (Series A). — DOI:10.1016/j.jcta.2007.02.006.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra mnogokutnik z n storonami dlya zadanogo chisla n diametr yakogo dorivnyuye odinici tobto vidstan mizh bud yakimi dvoma jogo tochkami ne perevishuye odinici i maye najbilshu ploshu sered inshih n kutnikiv odinichnogo diametra Rozv yazkom ne unikalnim dlya n 4 ye kvadrat rozv yazkom dlya neparnih n ye pravilnij mnogokutnik pri comu dlya inshih parnih n pravilnij mnogokutnik najbilshim ne bude Zmist 1 Chotirikutniki 2 Neparna kilkist storin 3 Parna kilkist storin 4 Primitki 5 Literatura 6 PosilannyaChotirikutniki RedaguvatiPlosha dovilnogo chotirikutnika n 4 displaystyle n 4 nbsp obchislyuyetsya za formuloyu S p q sin 8 2 displaystyle S frac pq sin theta 2 nbsp de p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp diagonali chotirikutnika a 8 displaystyle theta nbsp kut mizh diagonalyami Yaksho diametr mnogokutnika ne perevishuye odinici i p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp mayut ne perevishuvati 1 Takim chinom chotirikutnik maye najbilshu ploshu koli vsi tri mnozhniki dosyagayut najbilshogo mozhlivogo znachennya tobto p q 1 displaystyle p q 1 nbsp i sin 8 1 displaystyle sin theta 1 nbsp Umova p q displaystyle p q nbsp oznachaye sho chotirikutnik rivnodiagonalnij a umova sin 8 1 displaystyle sin theta 1 nbsp oznachaye sho vin ortodiagonalnij jogo diagonali perpendikulyarni Do takih chotirikutnikiv nalezhit kvadrat iz diagonalyami odinichnoyi dovzhini sho maye ploshu odnak ye bezlich inshih chotirikutnikiv odnochasno rivnodiagonalnih i ortodiagonalnih z dovzhinami diagonalej 1 vsi voni mayut taku zh ploshu yak kvadrat Takim chinom rozv yazok ne yedinij 1 Neparna kilkist storin RedaguvatiDlya neparnih znachen n Karl Rajngardt en pokazav sho pravilnij mnogokutnik maye najbilshu ploshu sered usih mnogokutnikiv odinichnogo diametra 2 Parna kilkist storin Redaguvati nbsp Najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra iz shistma storonami livoruch Pravoruch pravilnij mnogokutnik takogo zh diametra ale menshoyi ploshi U razi n 6 optimalnij mnogokutnik yedinij odnak vin ne ye pravilnim Rozv yazok dlya cogo vipadku 1975 roku opublikuvav Ronald Grem u vidpovid na pitannya yake postaviv 1956 roku Ganfrid Lenc de 3 Ce nepravilnij rivnodiagonalnij p yatikutnik iz trikutnikom prikriplenim do odniyeyi z jogo storin i vidstan vid vershini cogo trikutnika do protilezhnoyi vershini p yatikutnika dorivnyuye dovzhini diagonalej p yatikutnika 4 Plosha ciyeyi figuri dorivnyuye 0 674981 5 i ce chislo zadovolnyaye rivnyannyu 4096 x10 8192x9 3008x8 30848x7 21056x6 146496x5 221360x4 1232x3 144464x2 78488x 11993 0 Grem visloviv gipotezu sho v zagalnomu vipadku dlya parnih n rozv yazok buduyetsya analogichno z pravilnih n 1 kutnikiv z odinichnimi diagonalyami z dodavannyam rivnobedrenogo trikutnika do odniyeyi zi storin vidstan vid vershini yakogo do protilezhnoyi vershini n 1 kutnika dorivnyuye odinici Dlya vipadku n 8 ce perevireno 2002 roku za dopomogoyu komp yutera 6 Dlya dovedennya Grema optimalnosti jogo shestikutnika ta perevirki na komp yuteri vipadku n 8 vikoristano perebir variantiv usih mozhlivih trekliv iz n vershinami ta pryamolinijnimi rebrami Povne pidtverdzhennya gipotezi Grema dlya vsih parnih znachen n nadano 2007 roku 7 Primitki Redaguvati Schaffer 1958 s 85 86 Reinhardt 1922 s 251 270 Lenz 1956 s 86 Graham 1975 s 165 170 poslidovnist A111969 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Audet Hansen Messine Xiong 2002 s 46 59 Foster Szabo 2007 s 1515 1525 Literatura RedaguvatiJ J Schaffer Nachtrag zu Ungeloste Prob 12 Elemente der Math 1958 T 13 Yak procitovano v Grema Graham 1975 Karl Reinhardt Extremale Polygone gegebenen Durchmessers Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1922 T 31 H Lenz Ungeloste Prob 12 EIemente der Math 1956 T 11 Yak procitovano v Grema Graham 1975 R L Graham The largest small hexagon Journal of Combinatorial Theory 1975 T 18 Series A DOI 10 1016 0097 3165 75 90004 7 Charles Audet Pierre Hansen Frederic Messine Junjie Xiong The largest small octagon Journal of Combinatorial Theory 2002 T 98 vip 1 Series A DOI 10 1006 jcta 2001 3225 Jim Foster Tamas Szabo Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham Journal of Combinatorial Theory 2007 T 114 vip 8 Series A DOI 10 1016 j jcta 2007 02 006 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Najbilshij malij mnogokutnik angl na sajti Wolfram MathWorld Graham s Largest Small Hexagon from the Hall of Hexagons Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra amp oldid 36043463