www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівнодіагональний чотирикутник В евклідовій геометрії рівнодіагональний чотирикутник це опуклий чотирикутник дві діагона

Рівнодіагональний чотирикутник

В евклідовій геометрії рівнодіагональний чотирикутник — це опуклий чотирикутник, дві діагоналі якого мають рівні довжини. Рівнодіагональні чотирикутники мали важливе значення в давній індійській математиці, де в класифікації насамперед виділялися рівнодіагональні чотирикутники, і лише потім чотирикутники поділялися на інші типи.

Рівнодіагональний чотирикутник, ромб Варіньона, з перпендикулярними бімедіанами

Окремі випадки Редагувати

Прикладами рівнодіагональних чотирикутників є рівнобічна трапеція, прямокутник та квадрат.

Рівнодіагональний дельтоїд, що максимізує відношення периметра до діаметра, вписаний у трикутник Рело

Серед усіх чотирикутників найбільше відношення периметра до діаметра має рівнодіагональний дельтоїд із кутами π/3, 5π/12, 5π/6 та 5π/12 .

Опис Редагувати

Опуклий чотирикутник має рівні діагоналі тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона, утворений серединами сторін, є ромбом. Еквівалентна умова — бімедіани чотирикутника (діагоналі параллелограма Варіньона) перпендикулярні.

Опуклий чотирикутник із довжинами діагоналей і та довжинами бімедіан і є рівнодіагональним тоді й лише тоді, коли

Площа Редагувати

Площу K рівнодіагонального чотирикутника можна легко обчислити, якщо відомі довжини бімедіан m і n . Чотирикутник рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли

Це прямий наслідок факту, що площа опуклого чотирикутника дорівнює подвоєній площі паралелограма Варіньона і діагоналі в цьому паралелограмі є бімедіанами чотирикутника. Якщо використати формули довжин бімедіан, площу можна виразити в термінах сторін a, b, c, d рівнодіагонального чотирикутника та відстані x між серединами діагоналей

Іншу формулу площі можна отримати, прийнявши p = q у формулі площі опуклого чотирикутника.

Зв'язок з іншими типами чотирикутників Редагувати

Паралелограм рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли він є прямокутником, а трапеція рівнодіагональна тоді й лише тоді, коли вона є рівнобічною. Вписані рівнодіагональні чотирикутники є рівнобедреними трапеціями.

Існує двоїстість[en] між рівнодіагональними чотирикутниками і ортодіагональними чотирикутниками — чотирикутник рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона має перпендикулярні діагоналі (тобто є ромбом), а чотирикутник має перпендикулярні діагоналі тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона рівнодіагональний (тобот є прямокутником). Еквівалентно, чотирикутник має рівні діагоналі тоді й лише тоді, коли його бімедіани перпендикулярні, і він має перпендикулярні діагоналі тоді й лише тоді, коли його бімедіани рівні. Сільвестер зауважив подальший зв'язок між рівнодіагональними і ортодіагональними чотирикутниками, узагальнивши теорему ван Обеля.

Чотирикутники, які одночасно ортодіагональні та рівнодіагональні, і в яких діагоналі не коротші за всі сторони чотирикутника, мають найбільшу площу відносно діаметра, що розв'язує випадок n = 4 задачі найбільшого за площею многокутника одиничного діаметра. Квадрат є одним із таких чотирикутників, але існує нескінченно багато інших. Рівнодіагональні чотирикутники з перпендикулярними діагоналями називають середньоквадратними чотирикутниками, оскільки це тільки ті чотирикутники, для яких паралелограм Варіньона (з вершинами в серединах сторін чотирикутника) є квадратом. Такі чотирикутники зі сторонами a, b, c та d мають площу:

Примітки Редагувати

  1. Colebrooke, 1817, с. 58.
  2. Ball, 1973, с. 298–303.
  3. Griffiths, Culpin, 1975, с. 165–175.
  4. ↑ de Villiers, 2009, с. 58.
  5. Josefsson, 2014, с. 129-144, Prop.1.
  6. ↑ Josefsson, 2014, с. 19.
  7. Josefsson, 2014, с. 129-144, Corollary 4.
  8. Gerdes, 1988, с. 137–162.
  9. Josefsson, 2012, с. 13–25, См. теорему 7 на стр. 19.
  10. Silvester, 2006.
  11. Silvester, 2006, с. 2–12.
  12. Josefsson, 2014, с. 137.
  13. Josefsson, 2014, с. 129-144, T.16.

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V evklidovij geometriyi rivnodiagonalnij chotirikutnik ce opuklij chotirikutnik dvi diagonali yakogo mayut rivni dovzhini Rivnodiagonalni chotirikutniki mali vazhlive znachennya v davnij indijskij matematici de v klasifikaciyi nasampered vidilyalisya rivnodiagonalni chotirikutniki i lishe potim chotirikutniki podilyalisya na inshi tipi 1 Rivnodiagonalnij chotirikutnik romb Varinona z perpendikulyarnimi bimedianami Zmist 1 Okremi vipadki 2 Opis 3 Plosha 4 Zv yazok z inshimi tipami chotirikutnikiv 5 Primitki 6 LiteraturaOkremi vipadki RedaguvatiPrikladami rivnodiagonalnih chotirikutnikiv ye rivnobichna trapeciya pryamokutnik ta kvadrat nbsp Rivnodiagonalnij deltoyid sho maksimizuye vidnoshennya perimetra do diametra vpisanij u trikutnik ReloSered usih chotirikutnikiv najbilshe vidnoshennya perimetra do diametra maye rivnodiagonalnij deltoyid iz kutami p 3 5p 12 5p 6 ta 5p 12 2 3 Opis RedaguvatiOpuklij chotirikutnik maye rivni diagonali todi j lishe todi koli jogo paralelogram Varinona utvorenij seredinami storin ye rombom Ekvivalentna umova bimediani chotirikutnika diagonali parallelograma Varinona perpendikulyarni 4 Opuklij chotirikutnik iz dovzhinami diagonalej p displaystyle p nbsp i q displaystyle q nbsp ta dovzhinami bimedian m displaystyle m nbsp i n displaystyle n nbsp ye rivnodiagonalnim todi j lishe todi koli 5 p q m 2 n 2 displaystyle pq m 2 n 2 nbsp Plosha RedaguvatiPloshu K rivnodiagonalnogo chotirikutnika mozhna legko obchisliti yaksho vidomi dovzhini bimedian m i n Chotirikutnik rivnodiagonalnij todi j lishe todi koli 6 7 K m n displaystyle displaystyle K mn nbsp Ce pryamij naslidok faktu sho plosha opuklogo chotirikutnika dorivnyuye podvoyenij ploshi paralelograma Varinona i diagonali v comu paralelogrami ye bimedianami chotirikutnika Yaksho vikoristati formuli dovzhin bimedian ploshu mozhna viraziti v terminah storin a b c d rivnodiagonalnogo chotirikutnika ta vidstani x mizh seredinami diagonalej 6 K 1 4 2 a 2 c 2 4 x 2 2 b 2 d 2 4 x 2 displaystyle K tfrac 1 4 sqrt 2 a 2 c 2 4x 2 2 b 2 d 2 4x 2 nbsp Inshu formulu ploshi mozhna otrimati prijnyavshi p q u formuli ploshi opuklogo chotirikutnika Zv yazok z inshimi tipami chotirikutnikiv RedaguvatiParalelogram rivnodiagonalnij todi j lishe todi koli vin ye pryamokutnikom 8 a trapeciya rivnodiagonalna todi j lishe todi koli vona ye rivnobichnoyu Vpisani rivnodiagonalni chotirikutniki ye rivnobedrenimi trapeciyami Isnuye dvoyistist en mizh rivnodiagonalnimi chotirikutnikami i ortodiagonalnimi chotirikutnikami chotirikutnik rivnodiagonalnij todi j lishe todi koli jogo paralelogram Varinona maye perpendikulyarni diagonali tobto ye rombom a chotirikutnik maye perpendikulyarni diagonali todi j lishe todi koli jogo paralelogram Varinona rivnodiagonalnij tobot ye pryamokutnikom 4 Ekvivalentno chotirikutnik maye rivni diagonali todi j lishe todi koli jogo bimediani perpendikulyarni i vin maye perpendikulyarni diagonali todi j lishe todi koli jogo bimediani rivni 9 Silvester 10 zauvazhiv podalshij zv yazok mizh rivnodiagonalnimi i ortodiagonalnimi chotirikutnikami uzagalnivshi teoremu van Obelya 11 Chotirikutniki yaki odnochasno ortodiagonalni ta rivnodiagonalni i v yakih diagonali ne korotshi za vsi storoni chotirikutnika mayut najbilshu ploshu vidnosno diametra sho rozv yazuye vipadok n 4 zadachi najbilshogo za plosheyu mnogokutnika odinichnogo diametra Kvadrat ye odnim iz takih chotirikutnikiv ale isnuye neskinchenno bagato inshih Rivnodiagonalni chotirikutniki z perpendikulyarnimi diagonalyami nazivayut serednokvadratnimi chotirikutnikami 12 oskilki ce tilki ti chotirikutniki dlya yakih paralelogram Varinona z vershinami v seredinah storin chotirikutnika ye kvadratom Taki chotirikutniki zi storonami a b c ta d mayut ploshu 13 K a 2 c 2 4 a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 c 2 2 4 displaystyle K frac a 2 c 2 sqrt 4 a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 c 2 2 4 nbsp Primitki Redaguvati Colebrooke 1817 s 58 Ball 1973 s 298 303 Griffiths Culpin 1975 s 165 175 a b de Villiers 2009 s 58 Josefsson 2014 s 129 144 Prop 1 a b Josefsson 2014 s 19 Josefsson 2014 s 129 144 Corollary 4 Gerdes 1988 s 137 162 Josefsson 2012 s 13 25 Sm teoremu 7 na str 19 Silvester 2006 Silvester 2006 s 2 12 Josefsson 2014 s 137 Josefsson 2014 s 129 144 T 16 Literatura RedaguvatiHenry Thomas Colebrooke Algebra with arithmetic and mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara John Murray 1817 S 58 D G Ball A generalisation of p Mathematical Gazette 1973 T 57 vip 402 S 298 303 DOI 10 2307 3616052 David Griffiths David Culpin Pi optimal polygons Mathematical Gazette 1975 T 59 vip 409 1 zhovtnya S 165 175 DOI 10 2307 3617699 Martin Josefsson Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles Forum Geometricorum 2013 Vip 13 Martin Josefsson Properties of equidiagonal quadrilaterals Forum Geometricorum 2014 Vip 14 Paulus Gerdes On culture geometrical thinking and mathematics education Educational Studies in Mathematics 1988 T 19 vip 2 S 137 162 DOI 10 1007 bf00751229 Michael de Villiers Some Adventures in Euclidean Geometry Dynamic Mathematics Learning 2009 S 58 ISBN 9780557102952 Martin Josefsson Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals Forum Geometricorum 2012 T 12 S 13 25 John R Silvester Extensions of a theorem of Van Aubel The Mathematical Gazette 2006 T 90 vip 517 S 2 12 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnodiagonalnij chotirikutnik amp oldid 38375952