www.wikidata.uk-ua.nina.az

Трапеція У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна значення Трапе ція лат trapezium від дав гр τραπέζιον стол

Трапеція

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Трапеція (значення).

Трапе́ція (лат. trapezium, від дав.-гр. τραπέζιον — «столик») — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні, а інші дві сторони — не паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AB та DC на малюнку). Інші сторони називаються бічними сторонами (сторони AD та CB).

Трапеція
Трапеція
Вид Чотирикутник
Ребра і вершини 4
Площа
Властивості Опуклий многокутник

Виділяють два класи трапецій:

  • Рівнобічна трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.
  • Прямокутна трапеція — це трапеція у якої два кута прямі.

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її довжина дорівнює їх півсумі:

Відстань h між основами трапеції називається висотою трапеції.

Етимологія Редагувати

Термін трапеція походить від дав.-гр. τραπέζιον, trapézion, буквально «столик» — зменшувальна форма від τράπεζα («стіл», звідки й «трапеза»), утвореного з τετράς («чотири») + πέζα («нога, ребро»). У США і Канаді використовується термін trapezoid, що походить від τραπεζοειδή («столоподібний»); перше задокументоване вживання цього терміна трапляється у Прокла (412—485 н. е.) у його коментарі до першої книги «Начал» Евкліда.

Основні види трапецій Редагувати

Зображення до основних видів трапецій

Трапецію називають прямокутною, якщо у неї два сусідніх кути дорівнюють 90°.

Гострою називається трапеція у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі (менше 90°).

Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони та кути, прилеглі до більшої основи, рівні. Ця трапеція має осьову симетрію.

Тупою називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи, тупий (більше 90°).

Переважною є позиція, що окрім двох паралельних сторін, трапеція повинна мати дві непаралельні сторони. Проте іноді до трапецій включають всі паралелограми (ромби, прямокутники і квадрати), оскільки вони мають дві пари паралельних сторін. Прямокутники мають дзеркальну симетрію по середині ребер; ромби мають дзеркальну симетрію на вершинах, а квадрати мають дзеркальну симетрію з обох середніх ребер і вершин.

Дотичною називається трапеція, яка має вписане коло.

Властивості Редагувати

Для будь-якого опуклого чотирикутника такі властивості еквівалентні, і кожна передбачає, що чотирикутник є трапецією:

  • Сума двох кутів, прилеглих до бічних ребер, дорівнює 180°.
  • Кут між однією основою і діагоналлю дорівнює куту між іншою основою та тією ж діагоналлю (внутрішні різносторонні кути рівні).
  • Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
  • Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.
  • Трикутники, утворені відрізками діагоналей та основами трапеції, подібні.
  • Трикутники, утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трапеції, мають однакову площу.
  • Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює піврізниці основ і лежить на середній лінії.
  • Бісектриса будь-якого кута трапеції відтинає на її основі (або продовженні) відрізок, рівний бічній стороні.
  • Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці.
  • Якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін, то в таку трапецію можна вписати коло, і навпаки.
  • Будь-яку трапецію можна побудувати за довжинами чотирьох сторін.
  • В рівнобічній трапеції:
    • кути при основі, а також діагоналі рівні
    • якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то висота такої трапеції дорівнює півсумі основ
  • Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Висота трапеції Редагувати

Схематичні зображення до формул.

Висота — перпендикулярна відстань між основами. У разі, коли дві основи мають різну довжину (а ≠ b), висота трапеції може бути визначена через довжини чотирьох сторін за формулою:

де a, b — основи трапеції, а c і d — бічні сторони. Формула висоти трапеції, виражена через бокові сторони та кути, що прилеглі до більшої основи:

Формула висоти трапеції, виражена через діагоналі та кути між ними:

Формула висоти трапеції, виражена через площу:

Площа трапеції Редагувати

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:

Коли відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції, можемо використовувати іншу формулу визначення площі. Якщо позначити основи трапеції та (), а бічні сторони та , то

Або:

В 499 році н. е. Аріабхата, великий математик-астроном з класичної епохи індійської математики та індійської астрономії, використовував окремий випадок добре відомої формули для площі трикутника, розглядаючи трикутник як вироджену трапецію, у якої одна з паралельних сторін стиснулася до точки. У такому випадку формула для находження площі зводиться до формули Герона для площі трикутника.

Інша еквівалентна формула для площі, яка ближче нагадує формулу Герона, є:


Площа рівнобічної трапеції з радіусом вписаного кола та кутом при основі :

Діагоналі Редагувати

Довжину діагоналей трапеції можна обчислити за формулами:

де a, b — основи трапеції, а c і d — бічні сторони.

Якщо трапеція ділиться діагоналями AC і BD, що перетинаються в точці О, на чотири трикутники (як показано праворуч), то площа трикутника ΔAOD дорівнює площі трикутника ΔBOC, і добуток площ трикутників ΔAOD і ΔBOC дорівнює добутку площ трикутників ΔАОВ і ΔCOD. Відношення площ кожної пари суміжних трикутників таке ж, що між довжинами паралельних сторін.

Діагоналі трапеції та пов'язані зі сторонами співвідношенням:

Їх можна знайти за формулами:

Також діагоналі можна знайти через висоту трапеції за наступними формулами:

Використовування в архітектурі Редагувати

Храм Дендур[en] у музеї мистецтва Метрополітен у Нью-Йорку

В архітектурі слово трапеція використовується для позначення симетричних дверей, вікон і будівель, побудованих ширше біля основи, звужених до вершини (в єгипетському стилі). Існує чимало будівель, що мають форму рівнобічної трапеції. Це був стандартний стиль для дверей і вікон у інків.

Примітки Редагувати

  1. ↑ . formula.co.ua. Архів оригіналу за 15 січня 2019. Процитовано 14 січня 2019. 
  2. Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα [ 28 квітня 2021 у Wayback Machine.], τράπεζα [ 13 квітня 2019 у Wayback Machine.]
  3. Oxford English Dictionary entry at trapezoid.
  4. . Архів оригіналу за 9 червня 2016. Процитовано 24 травня 2016. 

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Trapeciya znachennya Trape ciya lat trapezium vid dav gr trapezion stolik ce chotirikutnik dvi protilezhni storoni yakogo paralelni a inshi dvi storoni ne paralelni 1 Paralelni storoni nazivayutsya osnovami trapeciyi storoni AB ta DC na malyunku Inshi storoni nazivayutsya bichnimi storonami storoni AD ta CB TrapeciyaTrapeciyaVid ChotirikutnikRebra i vershini 4Plosha a b 2 h displaystyle tfrac a b 2 h Vlastivosti Opuklij mnogokutnikVidilyayut dva klasi trapecij Rivnobichna trapeciya tobto trapeciya u yakoyi bichni storoni rivni Pryamokutna trapeciya ce trapeciya u yakoyi dva kuta pryami Vidrizok yakij spoluchaye seredini bichnih storin nazivayetsya serednoyu liniyeyu trapeciyi Serednya liniya paralelna osnovam trapeciyi a yiyi dovzhina dorivnyuye yih pivsumi l a b 2 displaystyle l frac a b 2 Vidstan h mizh osnovami trapeciyi nazivayetsya visotoyu trapeciyi Zmist 1 Etimologiya 2 Osnovni vidi trapecij 3 Vlastivosti 4 Visota trapeciyi 5 Plosha trapeciyi 6 Diagonali 7 Vikoristovuvannya v arhitekturi 8 Primitki 9 Div takozh 10 PosilannyaEtimologiya RedaguvatiTermin trapeciya pohodit vid dav gr trapezion trapezion bukvalno stolik zmenshuvalna forma vid trapeza stil zvidki j trapeza utvorenogo z tetras chotiri peza noga rebro 2 U SShA i Kanadi vikoristovuyetsya termin trapezoid sho pohodit vid trapezoeidh stolopodibnij pershe zadokumentovane vzhivannya cogo termina traplyayetsya u Prokla 412 485 n e u jogo komentari do pershoyi knigi Nachal Evklida 3 Osnovni vidi trapecij Redaguvati nbsp Zobrazhennya do osnovnih vidiv trapecijTrapeciyu nazivayut pryamokutnoyu yaksho u neyi dva susidnih kuti dorivnyuyut 90 Gostroyu nazivayetsya trapeciya u yakoyi kuti prilegli do bilshoyi osnovi gostri menshe 90 Trapeciyu nazivayut rivnobichnoyu yaksho yiyi bichni storoni ta kuti prilegli do bilshoyi osnovi rivni Cya trapeciya maye osovu simetriyu Tupoyu nazivayetsya trapeciya u yakoyi odin iz kutiv prileglih do bilshoyi osnovi tupij bilshe 90 Perevazhnoyu ye poziciya sho okrim dvoh paralelnih storin trapeciya povinna mati dvi neparalelni storoni 1 Prote inodi do trapecij vklyuchayut vsi paralelogrami rombi pryamokutniki i kvadrati oskilki voni mayut dvi pari paralelnih storin Pryamokutniki mayut dzerkalnu simetriyu po seredini reber rombi mayut dzerkalnu simetriyu na vershinah a kvadrati mayut dzerkalnu simetriyu z oboh serednih reber i vershin Dotichnoyu nazivayetsya trapeciya yaka maye vpisane kolo Vlastivosti RedaguvatiDlya bud yakogo opuklogo chotirikutnika taki vlastivosti ekvivalentni i kozhna peredbachaye sho chotirikutnik ye trapeciyeyu Suma dvoh kutiv prileglih do bichnih reber dorivnyuye 180 Kut mizh odniyeyu osnovoyu i diagonallyu dorivnyuye kutu mizh inshoyu osnovoyu ta tiyeyu zh diagonallyu vnutrishni riznostoronni kuti rivni Serednya liniya trapeciyi paralelna osnovam i dorivnyuye yih pivsumi Tochka peretinu diagonalej trapeciyi tochka peretinu prodovzhen yiyi bichnih storin ta seredini osnov lezhat na odnij pryamij Trikutniki utvoreni vidrizkami diagonalej ta osnovami trapeciyi podibni Trikutniki utvoreni vidrizkami diagonalej ta bichnimi storonami trapeciyi mayut odnakovu ploshu Vidrizok sho z yednuye seredini diagonalej dorivnyuye pivriznici osnov i lezhit na serednij liniyi Bisektrisa bud yakogo kuta trapeciyi vidtinaye na yiyi osnovi abo prodovzhenni vidrizok rivnij bichnij storoni Yaksho suma kutiv pri bud yakij osnovi trapeciyi dorivnyuye 90 to vidrizok sho z yednuye seredini osnov dorivnyuye yih pivriznici Yaksho suma osnov trapeciyi dorivnyuye sumi yiyi bichnih storin to v taku trapeciyu mozhna vpisati kolo i navpaki Bud yaku trapeciyu mozhna pobuduvati za dovzhinami chotiroh storin V rivnobichnij trapeciyi kuti pri osnovi a takozh diagonali rivni yaksho diagonali rivnobichnoyi trapeciyi perpendikulyarni to visota takoyi trapeciyi dorivnyuye pivsumi osnov Navkolo rivnobichnoyi trapeciyi mozhna opisati kolo Visota trapeciyi Redaguvati nbsp Shematichni zobrazhennya do formul Visota perpendikulyarna vidstan mizh osnovami U razi koli dvi osnovi mayut riznu dovzhinu a b visota trapeciyi mozhe buti viznachena cherez dovzhini chotiroh storin za formuloyu h a b c d a b c d a b c d a b c d 2 b a displaystyle h frac sqrt a b c d a b c d a b c d a b c d 2 b a nbsp de a b osnovi trapeciyi a c i d bichni storoni Formula visoti trapeciyi virazhena cherez bokovi storoni ta kuti sho prilegli do bilshoyi osnovi h c sin a d sin b displaystyle h c cdot sin alpha d cdot sin beta nbsp Formula visoti trapeciyi virazhena cherez diagonali ta kuti mizh nimi h d 1 d 2 a b sin a d 1 d 2 a b sin b displaystyle h frac d 1 cdot d 2 a b cdot sin alpha frac d 1 cdot d 2 a b cdot sin beta nbsp Formula visoti trapeciyi virazhena cherez ploshu h 2 S a b S m displaystyle h frac 2S a b frac S m nbsp de S plosha trapeciyi m serednya liniya Plosha trapeciyi RedaguvatiPlosha trapeciyi dorivnyuye dobutku pivsumi osnov na visotu S a b 2 h l h displaystyle S frac a b 2 h lh nbsp Koli vidomi dovzhini vsih chotiroh storin trapeciyi mozhemo vikoristovuvati inshu formulu viznachennya ploshi Yaksho poznachiti osnovi trapeciyi a displaystyle a nbsp ta b displaystyle b nbsp b gt a displaystyle b gt a nbsp a bichni storoni c displaystyle c nbsp ta d displaystyle d nbsp to S 1 4 b a b a a b c d a b c d a b c d a b c d displaystyle S frac 1 4 frac b a b a sqrt a b c d a b c d a b c d a b c d nbsp Abo S a b 2 c 2 b a 2 c 2 d 2 2 b a 2 displaystyle S frac a b 2 sqrt c 2 left frac b a 2 c 2 d 2 2 b a right 2 nbsp V 499 roci n e Ariabhata velikij matematik astronom z klasichnoyi epohi indijskoyi matematiki ta indijskoyi astronomiyi vikoristovuvav okremij vipadok dobre vidomoyi formuli dlya ploshi trikutnika rozglyadayuchi trikutnik yak virodzhenu trapeciyu u yakoyi odna z paralelnih storin stisnulasya do tochki U takomu vipadku formula dlya nahodzhennya ploshi zvoditsya do formuli Gerona dlya ploshi trikutnika Insha ekvivalentna formula dlya ploshi yaka blizhche nagaduye formulu Gerona ye S a b b a s b s a s b c s b d displaystyle S frac a b b a sqrt s b s a s b c s b d nbsp de s 1 2 a b c d displaystyle s tfrac 1 2 a b c d nbsp pivperimetr trapeciyi Plosha rivnobichnoyi trapeciyi z radiusom vpisanogo kola r displaystyle r nbsp ta kutom pri osnovi a displaystyle alpha nbsp S 4 r 2 sin a displaystyle S frac 4r 2 sin alpha nbsp Diagonali Redaguvati nbsp Dovzhinu diagonalej trapeciyi mozhna obchisliti za formulami p a b 2 a 2 b a c 2 b d 2 b a displaystyle p sqrt frac ab 2 a 2 b ac 2 bd 2 b a nbsp q a b 2 a 2 b a d 2 b c 2 b a displaystyle q sqrt frac ab 2 a 2 b ad 2 bc 2 b a nbsp de a b osnovi trapeciyi a c i d bichni storoni Yaksho trapeciya dilitsya diagonalyami AC i BD sho peretinayutsya v tochci O na chotiri trikutniki yak pokazano pravoruch to plosha trikutnika DAOD dorivnyuye ploshi trikutnika DBOC i dobutok plosh trikutnikiv DAOD i DBOC dorivnyuye dobutku plosh trikutnikiv DAOV i DCOD Vidnoshennya plosh kozhnoyi pari sumizhnih trikutnikiv take zh sho mizh dovzhinami paralelnih storin Diagonali trapeciyi d 1 displaystyle d 1 nbsp ta d 2 displaystyle d 2 nbsp pov yazani zi storonami spivvidnoshennyam d 1 2 d 2 2 2 a b c 2 d 2 displaystyle d 1 2 d 2 2 2ab c 2 d 2 nbsp Yih mozhna znajti za formulami d 1 A C a b d 2 b c 2 d 2 b a displaystyle d 1 AC sqrt ab d 2 frac b c 2 d 2 b a nbsp d 2 B D a b c 2 b c 2 d 2 b a displaystyle d 2 BD sqrt ab c 2 frac b c 2 d 2 b a nbsp Takozh diagonali mozhna znajti cherez visotu trapeciyi za nastupnimi formulami d 1 b 2 d 2 2 b d 2 h 2 h 2 b d 2 h 2 2 displaystyle d 1 sqrt b 2 d 2 2b sqrt d 2 h 2 sqrt h 2 left b sqrt d 2 h 2 right 2 nbsp d 2 b 2 c 2 2 b c 2 h 2 h 2 b c 2 h 2 2 displaystyle d 2 sqrt b 2 c 2 2b sqrt c 2 h 2 sqrt h 2 left b sqrt c 2 h 2 right 2 nbsp Vikoristovuvannya v arhitekturi Redaguvati nbsp Hram Dendur en u muzeyi mistectva Metropoliten u Nyu JorkuV arhitekturi slovo trapeciya vikoristovuyetsya dlya poznachennya simetrichnih dverej vikon i budivel pobudovanih shirshe bilya osnovi zvuzhenih do vershini v yegipetskomu stili Isnuye chimalo budivel sho mayut formu rivnobichnoyi trapeciyi Ce buv standartnij stil dlya dverej i vikon u inkiv 4 Primitki Redaguvati a b Matematichnij slovnik Matematika logika intelekt formula co ua Arhiv originalu za 15 sichnya 2019 Procitovano 14 sichnya 2019 Henry George Liddell Robert Scott Henry Stuart Jones A Greek English Lexicon Oxford Clarendon Press 1940 s v peza Arhivovano 28 kvitnya 2021 u Wayback Machine trapeza Arhivovano 13 kvitnya 2019 u Wayback Machine Oxford English Dictionary entry at trapezoid Arhivovana kopiya Arhiv originalu za 9 chervnya 2016 Procitovano 24 travnya 2016 Div takozh RedaguvatiRivnobichna trapeciya Chotirikutnik KvadratPosilannya RedaguvatiTrapeciya Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 http easycalculation com area trapezium php Arhivovano 2 sichnya 2010 u Wayback Machine Trapezium Arhivovano 12 zhovtnya 2017 u Wayback Machine at Encyclopedia of Mathematics Weisstein Eric W Right trapezoid angl na sajti Wolfram MathWorld Trapezoid definition Arhivovano 17 veresnya 2018 u Wayback Machine Area of a trapezoid Arhivovano 13 zhovtnya 2017 u Wayback Machine Median of a trapezoid Arhivovano 13 zhovtnya 2017 u Wayback Machine With interactive animations Trapezoid North America Arhivovano 28 zhovtnya 2008 u Wayback Machine at elsy at Animated course construction circumference area Trapezoidal Rule Arhivovano 3 lyutogo 2009 u Wayback Machine on Numerical Methods for Stem Undergraduate Autar Kaw and E Eric Kalu Numerical Methods with Applications Arhivovano 4 serpnya 2020 u Wayback Machine 2008 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Trapeciya amp oldid 40456940