www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ортодіагональний чотирикутник Ортодіагона льний чотирику тник в евклідовій геометрії чотирикутник у якого діагоналі пере

Ортодіагональний чотирикутник

Ортодіагона́льний чотирику́тник — в евклідовій геометрії чотирикутник, у якого діагоналі перетинаються під прямим кутом. Іншими словами, це чотирикутник, у якого відрізки, що сполучають не суміжні (протилежні) вершини, ортогональні (перпендикулярні) один одному.

Ортодіагональний чотирикутник (жовтий). Відповідно до властивостей цього чотирикутника, два червоні квадрати на двох протилежних сторонах чотирикутника мають таку ж суму площ, як два сині квадрати на іншій парі протилежних сторін.

Особливі випадки Редагувати

Дельтоїд — це ортодіагональний чотирикутник, одна діагональ якого є лінією симетрії. У дельтоїд завжди можна вписати коло, дотичне до всіх чотирьох його сторін, тобто дельтоїди — це описані ортодіагональні чотирикутники. Навколо прямокутного дельтоїда також можна описати коло.

Ромб є ортодіагональним чотирикутником з двома парами паралельних сторін (тобто також є паралелограмом).

Квадрат є частковим випадком як дельтоїда, так і ромба.

Ортогональний чотирикутник з рівними діагоналями, в якому довжина діагоналі не перевищує найдовшу сторону, має найбільшу площу серед усіх чотирикутників з таким же діаметром. Тим самим, він є розв'язком задачі про найбільший многокутник одиничного діаметра у випадку n = 4. Такі чотирикутники називаються середньоквадратичними, тому що їх паралелограми Варіньона є квадратами. Тому їх площа може бути виражена тільки через сторони.

Теореми Редагувати

Для будь-якого ортодіагонального чотирикутника сума квадратів двох протилежних сторін дорівнює сумі двох інших протилежних сторін: для послідовних сторін a, b, c та d маємо

Це випливає з теореми Піфагора, згідно з якою будь-яку з цих двох сум двох квадратів можна представити у вигляді чотирьох квадратів відстаней від вершин чотирикутника до точки перетину його діагоналей. І навпаки, будь-який чотирикутник, у якому a 2 + c 2 = b 2 + d 2, повинен бути ортодіагональним. Це можна довести різними способами, зокрема з використанням теореми косинусів, векторів, доведенням від супротивного та комплексних чисел. Діагоналі опуклого чотирикутника перпендикулярні тоді і лише тоді, коли дві бімедіани мають однакову довжину.

Згідно з іншою теоремою, діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перпендикулярні тоді і лише тоді, коли

де Р — точка перетину діагоналей. З цього рівняння випливає, що діагоналі опуклого чотирикутника перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли проєкції діагонального перетину на сторони чотирикутника є вершинами вписаного чотирикутника.

Опуклий чотирикутник є ортодіагональним тоді і лише тоді, коли його паралелограм Варіньона (вершини якого є серединами його сторін) є прямокутником. Відповідна властивість говорить, що опуклий чотирикутник є ортодіагональним тоді і тільки тоді, коли середини сторін і основи чотирьох бівисот складають вісім конциклічних точок, тобто лежать на одному восьмиточкову колі. Центром цього кола є центроїд чотирикутника. Чотирикутник, утворений основами бівисот, називається головним ортичним чотирикутником.

Якщо нормалі до сторін опуклого чотирикутника ABCD, що проходять через точку перетину діагоналей, перетинають протилежні сторони в точках R, S, T, U та точки K, L, M, N — основи цих нормалей, то ABCD є ортодіагональним тоді і тільки якщо вісім точок K, L, M, N, R, S, T і U є конциклічними (тобто, лежать на одному колі), це друге восьмиточкове коло. Відповідна властивість говорить, що опуклий чотирикутник є ортодіагональним тоді і лише тоді, коли RSTU — це прямокутник, сторони якого паралельні діагоналям ABCD.

Існує кілька метричних властивостей щодо чотирьох трикутників, утворених точкою перетину діагоналей P і вершинами опуклого чотирикутника ABCD. Позначимо через m1, m2, m3, m4 медіани у трикутниках ABP, BCP, CDP, DAP, проведені від точки P до сторін AB, BC, CD, DA відповідно. Позначимо R1, R2, R3, R4 і Н1, Н2, Н3, Н4 радіуси описаних кіл і висоти відповідно цих трикутників. Чотирикутник ABCD є ортодіагональним тоді і тільки тоді, коли має місце хоча б одна з рівностей:

Крім того, чотирикутник ABCD із точкою перетину діагоналей P є ортодіагональним тоді і лише тоді, коли центри описаних кіл трикутників ABP, BCP, CDP та DAP є серединами сторін чотирикутника.

Порівняння з описаним чотирикутником Редагувати

Кілька метричних властивостей описаних чотирикутників та ортодіагональних чотирикутників дуже схожі за зовнішнім виглядом, як це видно з таблиці. Позначення сторін a, b, c, d, радіусів R1, R2, R3, R4 і висот h1, h2, h3, h4 однакові в обох типах чотирикутників.

Описаний чотирикутник Ортодіагональний чотирикутник

Площа Редагувати

Площа K ортодіагонального чотирикутника дорівнює половині добутку довжин діагоналей р і q:

І навпаки, будь-який опуклий чотирикутник, де площа може бути обчислена за цією формулою, є ортодіагональним. Ортодіагональний чотирикутник має найбільшу площу серед усіх опуклих чотирикутників із заданими діагоналями.

Інші властивості Редагувати

  • Ортодіагональні чотирикутники — єдині чотирикутники, для яких сторони та кут, утворені діагоналями, не визначають однозначно площу. Наприклад, два ромби, що мають однакову сторону a (і, як і для всіх ромбів, обидва мають прямий кут між діагоналями), але один має менший гострий кут, ніж інший, мають різні площі (площа першого наближається до нуля при наближенні гострого кута до нуля).
  • Якщо квадрати побудовані на сторонах довільного чотирикутника (опуклого, увігнутого або перехрещеного), то їх центри (центроїди) є вершинами ортодіагонального чотирикутника, який також є рівнодіагональним (тобто має діагоналі однакової довжини). Це твердження відоме як теорема ван Обеля.
  • Кожна сторона ортодіагонального чотирикутника має принаймні одну спільну точку з колом Паскаля.

Властивості ортодіагональних вписаних чотирикутників Редагувати

Радіус та площа Редагувати

Для вписаного ортодіагонального чотирикутника покладемо, що точка перетину діагоналей ділить одну діагональ на відрізки довжинами p1 і p2, а іншу діагональ — на відрізки довжинами q1 і q2. Тоді (перша рівність — твердження 11 у Книзі Лем Архімеда)

де D — діаметр описаного кола. Це справедливо, оскільки діагоналі є перпендикулярними хордами кола. З цієї формули маємо вираз для радіуса описаного кола

або, виражаючи через сторони чотирикутника

З цього також випливає, що

Таким чином, відповідно до теореми Ейлера про чотирикутник, радіус описаного кола може бути виражений через діагоналі p і q та відстань x між середніми точками діагоналей:

Формула площі K вписаного ортодіагонального чотирикутника через чотири сторони отримується безпосередньо при поєднанні теореми Птолемея та формули площі ортодіагонального чотирикутника:p.222

Інші властивості Редагувати

  • У вписаному ортодіагональному чотирикутнику антицентр (точка перетину серединних перепендикулярів) збігається з точкою перетину діагоналей.
  • Теорема Брамагупти говорить, що для вписаного ортодіагонального чотирикутника перпендикуляр з довільної сторони, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить навпіл протилежну сторону.
  • Якщо ортодіагональний чотирикутник є вписаним, то відстань від центра описаного кола до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони.
  • У вписаному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами діагоналей дорівнює відстані між центром кола і точкою перетину діагоналей.

Нескінченні набори вписаних прямокутників Редагувати

є ортодіагональним чотирикутником, і  — це прямокутники, сторони яких паралельні діагоналям чотирикутника.
є ортодіагональним чотирикутником. і  — точки Паскаля, утворені колом ,  — коло Паскаля, що визначає прямокутник . і  — точки Паскаля, утворені колом ,  — коло Паскаля, що визначає прямокутник .

Для кожного ортодіагонального чотирикутника ми можемо записати два нескінченні набори прямокутників:

Джерела Редагувати

  1. Josefsson, Martin (2010). . Forum Geometricorum 10: 119–130. Архів оригіналу за 13 серпня 2011. Процитовано 3 грудня 2020. 
  2. ↑ Altshiller-Court, N. (2007). College Geometry. Dover Publications. . Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136—138.
  3. ↑ Mitchell, Douglas, W. (2009). The area of a quadrilateral. The Mathematical Gazette 93 (July): 306–309. .
  4. Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009). . Forum Geometricorum 9: 195–211. Архів оригіналу за 31 грудня 2019. Процитовано 3 грудня 2020. .
  5. ↑ Josefsson, Martin (2012). . Forum Geometricorum 12: 13–25. Архів оригіналу за 5 грудня 2020. Процитовано 3 грудня 2020. .
  6. Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario (2011). . Forum Geometricorum 11: 109–119. Архів оригіналу за 23 квітня 2018. Процитовано 3 грудня 2020. .
  7. Harries, J. (2002). Area of a quadrilateral. The Mathematical Gazette 86 (July): 310–311. 
  8. David, Fraivert (2017). . Forum Geometricorum 17: 509–526. Архів оригіналу за 5 грудня 2020. Процитовано 3 грудня 2020. .
  9. Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Challenging Problems in Geometry (вид. second). Dover Publications. pp. 104–105, #4–23. .
  10. Josefsson, Martin (2016). Properties of Pythagorean quadrilaterals. The Mathematical Gazette 100 (July): 213–224. .
  11. David, Fraivert (2019). . Journal for Geometry and Graphics 23: 5–27. Архів оригіналу за 23 жовтня 2020. Процитовано 3 грудня 2020. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ortodiagona lnij chotiriku tnik v evklidovij geometriyi chotirikutnik u yakogo diagonali peretinayutsya pid pryamim kutom Inshimi slovami ce chotirikutnik u yakogo vidrizki sho spoluchayut ne sumizhni protilezhni vershini ortogonalni perpendikulyarni odin odnomu Ortodiagonalnij chotirikutnik zhovtij Vidpovidno do vlastivostej cogo chotirikutnika dva chervoni kvadrati na dvoh protilezhnih storonah chotirikutnika mayut taku zh sumu plosh yak dva sini kvadrati na inshij pari protilezhnih storin Zmist 1 Osoblivi vipadki 2 Teoremi 2 1 Porivnyannya z opisanim chotirikutnikom 3 Plosha 4 Inshi vlastivosti 5 Vlastivosti ortodiagonalnih vpisanih chotirikutnikiv 5 1 Radius ta plosha 5 2 Inshi vlastivosti 6 Neskinchenni nabori vpisanih pryamokutnikiv 7 DzherelaOsoblivi vipadki RedaguvatiDeltoyid ce ortodiagonalnij chotirikutnik odna diagonal yakogo ye liniyeyu simetriyi U deltoyid zavzhdi mozhna vpisati kolo dotichne do vsih chotiroh jogo storin tobto deltoyidi ce opisani ortodiagonalni chotirikutniki 1 Navkolo pryamokutnogo deltoyida takozh mozhna opisati kolo Romb ye ortodiagonalnim chotirikutnikom z dvoma parami paralelnih storin tobto takozh ye paralelogramom Kvadrat ye chastkovim vipadkom yak deltoyida tak i romba Ortogonalnij chotirikutnik z rivnimi diagonalyami v yakomu dovzhina diagonali ne perevishuye najdovshu storonu maye najbilshu ploshu sered usih chotirikutnikiv z takim zhe diametrom Tim samim vin ye rozv yazkom zadachi pro najbilshij mnogokutnik odinichnogo diametra u vipadku n 4 Taki chotirikutniki nazivayutsya serednokvadratichnimi tomu sho yih paralelogrami Varinona ye kvadratami Tomu yih plosha mozhe buti virazhena tilki cherez storoni Teoremi RedaguvatiDlya bud yakogo ortodiagonalnogo chotirikutnika suma kvadrativ dvoh protilezhnih storin dorivnyuye sumi dvoh inshih protilezhnih storin dlya poslidovnih storin a b c ta d mayemo 2 3 a 2 c 2 b 2 d 2 displaystyle displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 nbsp Ce viplivaye z teoremi Pifagora zgidno z yakoyu bud yaku z cih dvoh sum dvoh kvadrativ mozhna predstaviti u viglyadi chotiroh kvadrativ vidstanej vid vershin chotirikutnika do tochki peretinu jogo diagonalej I navpaki bud yakij chotirikutnik u yakomu a 2 c 2 b 2 d 2 povinen buti ortodiagonalnim 4 Ce mozhna dovesti riznimi sposobami zokrema z vikoristannyam teoremi kosinusiv vektoriv dovedennyam vid suprotivnogo ta kompleksnih chisel 5 Diagonali opuklogo chotirikutnika perpendikulyarni todi i lishe todi koli dvi bimediani mayut odnakovu dovzhinu 5 Zgidno z inshoyu teoremoyu diagonali opuklogo chotirikutnika ABCD perpendikulyarni todi i lishe todi koli P A B P B A P C D P D C p displaystyle angle PAB angle PBA angle PCD angle PDC pi nbsp de R tochka peretinu diagonalej Z cogo rivnyannya viplivaye sho diagonali opuklogo chotirikutnika perpendikulyarni todi i tilki todi koli proyekciyi diagonalnogo peretinu na storoni chotirikutnika ye vershinami vpisanogo chotirikutnika 5 Opuklij chotirikutnik ye ortodiagonalnim todi i lishe todi koli jogo paralelogram Varinona vershini yakogo ye seredinami jogo storin ye pryamokutnikom 5 Vidpovidna vlastivist govorit sho opuklij chotirikutnik ye ortodiagonalnim todi i tilki todi koli seredini storin i osnovi chotiroh bivisot skladayut visim konciklichnih tochok tobto lezhat na odnomu vosmitochkovu koli Centrom cogo kola ye centroyid chotirikutnika Chotirikutnik utvorenij osnovami bivisot nazivayetsya golovnim ortichnim chotirikutnikom 6 Yaksho normali do storin opuklogo chotirikutnika ABCD sho prohodyat cherez tochku peretinu diagonalej peretinayut protilezhni storoni v tochkah R S T U ta tochki K L M N osnovi cih normalej to ABCD ye ortodiagonalnim todi i tilki yaksho visim tochok K L M N R S T i U ye konciklichnimi tobto lezhat na odnomu koli ce druge vosmitochkove kolo Vidpovidna vlastivist govorit sho opuklij chotirikutnik ye ortodiagonalnim todi i lishe todi koli RSTU ce pryamokutnik storoni yakogo paralelni diagonalyam ABCD 5 Isnuye kilka metrichnih vlastivostej shodo chotiroh trikutnikiv utvorenih tochkoyu peretinu diagonalej P i vershinami opuklogo chotirikutnika ABCD Poznachimo cherez m1 m2 m3 m4 mediani u trikutnikah ABP BCP CDP DAP provedeni vid tochki P do storin AB BC CD DA vidpovidno Poznachimo R1 R2 R3 R4 i N1 N2 N3 N4 radiusi opisanih kil i visoti vidpovidno cih trikutnikiv Chotirikutnik ABCD ye ortodiagonalnim todi i tilki todi koli maye misce hocha b odna z rivnostej 5 m 1 2 m 3 2 m 2 2 m 4 2 displaystyle m 1 2 m 3 2 m 2 2 m 4 2 nbsp R 1 2 R 3 2 R 2 2 R 4 2 displaystyle R 1 2 R 3 2 R 2 2 R 4 2 nbsp 1 h 1 2 1 h 3 2 1 h 2 2 1 h 4 2 displaystyle frac 1 h 1 2 frac 1 h 3 2 frac 1 h 2 2 frac 1 h 4 2 nbsp Krim togo chotirikutnik ABCD iz tochkoyu peretinu diagonalej P ye ortodiagonalnim todi i lishe todi koli centri opisanih kil trikutnikiv ABP BCP CDP ta DAP ye seredinami storin chotirikutnika 5 Porivnyannya z opisanim chotirikutnikom Redaguvati Kilka metrichnih vlastivostej opisanih chotirikutnikiv ta ortodiagonalnih chotirikutnikiv duzhe shozhi za zovnishnim viglyadom yak ce vidno z tablici 5 Poznachennya storin a b c d radiusiv R1 R2 R3 R4 i visot h1 h2 h3 h4 odnakovi v oboh tipah chotirikutnikiv Opisanij chotirikutnik Ortodiagonalnij chotirikutnika c b d displaystyle a c b d nbsp a 2 c 2 b 2 d 2 displaystyle a 2 c 2 b 2 d 2 nbsp R 1 R 3 R 2 R 4 displaystyle R 1 R 3 R 2 R 4 nbsp R 1 2 R 3 2 R 2 2 R 4 2 displaystyle R 1 2 R 3 2 R 2 2 R 4 2 nbsp 1 h 1 1 h 3 1 h 2 1 h 4 displaystyle frac 1 h 1 frac 1 h 3 frac 1 h 2 frac 1 h 4 nbsp 1 h 1 2 1 h 3 2 1 h 2 2 1 h 4 2 displaystyle frac 1 h 1 2 frac 1 h 3 2 frac 1 h 2 2 frac 1 h 4 2 nbsp Plosha RedaguvatiPlosha K ortodiagonalnogo chotirikutnika dorivnyuye polovini dobutku dovzhin diagonalej r i q 7 K p q 2 displaystyle K frac p cdot q 2 nbsp I navpaki bud yakij opuklij chotirikutnik de plosha mozhe buti obchislena za ciyeyu formuloyu ye ortodiagonalnim 5 Ortodiagonalnij chotirikutnik maye najbilshu ploshu sered usih opuklih chotirikutnikiv iz zadanimi diagonalyami Inshi vlastivosti RedaguvatiOrtodiagonalni chotirikutniki yedini chotirikutniki dlya yakih storoni ta kut utvoreni diagonalyami ne viznachayut odnoznachno ploshu 3 Napriklad dva rombi sho mayut odnakovu storonu a i yak i dlya vsih rombiv obidva mayut pryamij kut mizh diagonalyami ale odin maye menshij gostrij kut nizh inshij mayut rizni ploshi plosha pershogo nablizhayetsya do nulya pri nablizhenni gostrogo kuta do nulya Yaksho kvadrati pobudovani na storonah dovilnogo chotirikutnika opuklogo uvignutogo abo perehreshenogo to yih centri centroyidi ye vershinami ortodiagonalnogo chotirikutnika yakij takozh ye rivnodiagonalnim tobto maye diagonali odnakovoyi dovzhini Ce tverdzhennya vidome yak teorema van Obelya Kozhna storona ortodiagonalnogo chotirikutnika maye prinajmni odnu spilnu tochku z kolom Paskalya 8 Vlastivosti ortodiagonalnih vpisanih chotirikutnikiv RedaguvatiRadius ta plosha Redaguvati Dlya vpisanogo ortodiagonalnogo chotirikutnika poklademo sho tochka peretinu diagonalej dilit odnu diagonal na vidrizki dovzhinami p1 i p2 a inshu diagonal na vidrizki dovzhinami q1 i q2 Todi 9 persha rivnist tverdzhennya 11 u Knizi Lem Arhimeda D 2 p 1 2 p 2 2 q 1 2 q 2 2 a 2 c 2 b 2 d 2 displaystyle D 2 p 1 2 p 2 2 q 1 2 q 2 2 a 2 c 2 b 2 d 2 nbsp de D diametr opisanogo kola Ce spravedlivo oskilki diagonali ye perpendikulyarnimi hordami kola Z ciyeyi formuli mayemo viraz dlya radiusa opisanogo kola R 1 2 p 1 2 p 2 2 q 1 2 q 2 2 displaystyle R tfrac 1 2 sqrt p 1 2 p 2 2 q 1 2 q 2 2 nbsp abo virazhayuchi cherez storoni chotirikutnika 2 R 1 2 a 2 c 2 1 2 b 2 d 2 displaystyle R tfrac 1 2 sqrt a 2 c 2 tfrac 1 2 sqrt b 2 d 2 nbsp Z cogo takozh viplivaye sho 2 a 2 b 2 c 2 d 2 8 R 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 8R 2 nbsp Takim chinom vidpovidno do teoremi Ejlera pro chotirikutnik radius opisanogo kola mozhe buti virazhenij cherez diagonali p i q ta vidstan x mizh serednimi tochkami diagonalej R p 2 q 2 4 x 2 8 displaystyle R sqrt frac p 2 q 2 4x 2 8 nbsp Formula ploshi K vpisanogo ortodiagonalnogo chotirikutnika cherez chotiri storoni otrimuyetsya bezposeredno pri poyednanni teoremi Ptolemeya ta formuli ploshi ortodiagonalnogo chotirikutnika 10 p 222 K 1 2 a c b d displaystyle K tfrac 1 2 ac bd nbsp Inshi vlastivosti Redaguvati U vpisanomu ortodiagonalnomu chotirikutniku anticentr tochka peretinu seredinnih perependikulyariv zbigayetsya z tochkoyu peretinu diagonalej 2 Teorema Bramagupti govorit sho dlya vpisanogo ortodiagonalnogo chotirikutnika perpendikulyar z dovilnoyi storoni sho prohodit cherez tochku peretinu diagonalej dilit navpil protilezhnu storonu 2 Yaksho ortodiagonalnij chotirikutnik ye vpisanim to vidstan vid centra opisanogo kola do bud yakoyi storoni dorivnyuye polovini dovzhini protilezhnoyi storoni 2 U vpisanomu ortodiagonalnomu chotirikutniku vidstan mizh seredinami diagonalej dorivnyuye vidstani mizh centrom kola i tochkoyu peretinu diagonalej 2 Neskinchenni nabori vpisanih pryamokutnikiv Redaguvati nbsp A B C D displaystyle ABCD nbsp ye ortodiagonalnim chotirikutnikom P 1 X 1 Z 1 Y 1 displaystyle P 1 X 1 Z 1 Y 1 nbsp i P 2 X 2 Z 2 Y 2 displaystyle P 2 X 2 Z 2 Y 2 nbsp ce pryamokutniki storoni yakih paralelni diagonalyam chotirikutnika nbsp A B C D displaystyle ABCD nbsp ye ortodiagonalnim chotirikutnikom P 1 displaystyle P 1 nbsp i Q 1 displaystyle Q 1 nbsp tochki Paskalya utvoreni kolom w 1 displaystyle omega 1 nbsp s P 1 Q 1 displaystyle sigma P 1 Q 1 nbsp kolo Paskalya sho viznachaye pryamokutnik P 1 V 1 Q 1 W 1 displaystyle P 1 V 1 Q 1 W 1 nbsp P 2 displaystyle P 2 nbsp i Q 2 displaystyle Q 2 nbsp tochki Paskalya utvoreni kolom w 2 displaystyle omega 2 nbsp s P 2 Q 2 displaystyle sigma P 2 Q 2 nbsp kolo Paskalya sho viznachaye pryamokutnik P 2 V 2 Q 2 W 2 displaystyle P 2 V 2 Q 2 W 2 nbsp Dlya kozhnogo ortodiagonalnogo chotirikutnika mi mozhemo zapisati dva neskinchenni nabori pryamokutnikiv i nabir pryamokutnikiv storoni yakih paralelni diagonalyam chotirikutnika ii nabir pryamokutnikiv viznachenih kolami Paskalya 11 Dzherela Redaguvati Josefsson Martin 2010 Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral Forum Geometricorum 10 119 130 Arhiv originalu za 13 serpnya 2011 Procitovano 3 grudnya 2020 a b v g d e zh Altshiller Court N 2007 College Geometry Dover Publications Republication of second edition 1952 Barnes amp Noble pp 136 138 a b Mitchell Douglas W 2009 The area of a quadrilateral The Mathematical Gazette 93 July 306 309 Ismailescu Dan Vojdany Adam 2009 Class preserving dissections of convex quadrilaterals Forum Geometricorum 9 195 211 Arhiv originalu za 31 grudnya 2019 Procitovano 3 grudnya 2020 a b v g d e zh i k Josefsson Martin 2012 Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals Forum Geometricorum 12 13 25 Arhiv originalu za 5 grudnya 2020 Procitovano 3 grudnya 2020 Mammana Maria Flavia Micale Biagio Pennisi Mario 2011 The Droz Farny Circles of a Convex Quadrilateral Forum Geometricorum 11 109 119 Arhiv originalu za 23 kvitnya 2018 Procitovano 3 grudnya 2020 Harries J 2002 Area of a quadrilateral The Mathematical Gazette 86 July 310 311 David Fraivert 2017 Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals Forum Geometricorum 17 509 526 Arhiv originalu za 5 grudnya 2020 Procitovano 3 grudnya 2020 Posamentier Alfred S Salkind Charles T 1996 Challenging Problems in Geometry vid second Dover Publications pp 104 105 4 23 Josefsson Martin 2016 Properties of Pythagorean quadrilaterals The Mathematical Gazette 100 July 213 224 David Fraivert 2019 A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal Points Circles Journal for Geometry and Graphics 23 5 27 Arhiv originalu za 23 zhovtnya 2020 Procitovano 3 grudnya 2020 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ortodiagonalnij chotirikutnik amp oldid 38375973