www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема косинусів це твердження про властивість довільних трикутників що є узагальненням теореми Піфагора Квадрат будь я

Теорема косинусів

Теорема косинусів — це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Теорема косинусів Редагувати

У тригонометрії закон косинусів (також відомий як формула косинуса, правило косинусу або теорема Аль-Каші) пов'язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів. Нехай сторони трикутника , а це його кути, протилежні вказаним сторонам. Тоді,

Позначення кутів і сторін трикутника

Ця формула корисна для знаходження третьої сторони трикутника якщо відомі інші дві сторони та кут між ними, та для знаходження його кутів, якщо відомі довжини його сторін.

Із теореми косинусів: Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

;

;

.

Якщо ⇔

Твердження означає, що є прямим кутом, оскільки додатні. Іншими словами, це теорема Піфагора. Хоча теорема косинусів є загальнішою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доказу, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Наслідки з теореми косинусів Редагувати

За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Якщо для довільного трикутника порівнювати квадрат сторони з сумою квадратів двох інших сторін, то, як зрозуміло з теореми косинусів, що буде більше залежить від того чи буде кут між цими сторонами гострим чи тупим. А саме, якщо квадрат сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є гострим:

або , то  — гострий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника більший від суми квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є тупим:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін

або , то  — тупий. Якщо квадрат деякої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то протилежний йому кут є прямим:

або , то  — прямий.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Для паралелограма можна записати рівність:

.

Доведення (для гострого кута) Редагувати

Трикутник

Нехай це сторони трикутника , а A, B і C - це кути протилежні цим сторонам. Проведемо відрізок з вершини кута B, що утворює прямий кут із протилежною стороною b. Якщо довжина цього відрізка x, тоді звідки

Це означає, що довжина цього відрізку Схожим чином, довжина частини b що з'єднує точку перетину відрізку із стороною b та кут C рівна Решта довжини b рівна Ми маємо два прямокутних трикутники, один з катетами і гіпотенузою c. Звідси, відповідно до теореми Піфагора:

  • завжди 1, отже

Доведення теореми косинусів з використанням векторів Редагувати

Векторний трикутник

Використовуючи вектори, ми можемо легко довести теорему косинусів. Нехай ми маємо довільний трикутник із вершинами A, B, і C що утворений векторами a, b, і c, нам відомо, що:

  • звідси

Згадавши чому дорівнює добуток двох векторів, отримаємо

Історія Редагувати

Теорема косинусів була доведена геометрично в «Началах» Евкліда. «Начала» відіграли важливу роль у розвитку математичної науки. Історичне значення цієї праці полягає в тому, що в ній уперше здійснено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики. Стихії Евкліда проклали шлях до відкриття закону косинусів. У XV столітті перський математик і астроном Джамшид аль-Каші подав перше явне твердження закону косинусів у формі, придатній для тріангуляції. Він надав точні тригонометричні таблиці та висловив теорему у формі, придатній для сучасного використання. Теорема косинусів була вперше сформульована і набула популярності у західному світі французьким математиком Франсуа Вієтом в XVI столітті. На початку XIX століття її стали записувати як теорему косинусів у її нинішній символічній формі.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. . Шкільні підручники онлайн (укр.). Архів оригіналу за 29 грудня 2019. Процитовано 29 грудня 2019. 
  2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся ОНЛАЙН. edu-lib.com (рос.). Процитовано 29 грудня 2019. 

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema kosinusiv ce tverdzhennya pro vlastivist dovilnih trikutnikiv sho ye uzagalnennyam teoremi Pifagora Kvadrat bud yakoyi storoni trikutnika dorivnyuye sumi kvadrativ dvoh inshih jogo storin bez podvoyenogo dobutku cih storin na kosinus kuta mizh nimi Zmist 1 Teorema kosinusiv 2 Naslidki z teoremi kosinusiv 3 Dovedennya dlya gostrogo kuta 4 Dovedennya teoremi kosinusiv z vikoristannyam vektoriv 5 Istoriya 6 Div takozh 7 Primitki 8 PosilannyaTeorema kosinusiv RedaguvatiU trigonometriyi zakon kosinusiv takozh vidomij yak formula kosinusa pravilo kosinusu abo teorema Al Kashi pov yazuye dovzhini storin trikutnika z kosinusom odnogo z jogo kutiv Nehaj a b c displaystyle a b c nbsp storoni trikutnika A B C displaystyle ABC nbsp a a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp ce jogo kuti protilezhni vkazanim storonam Todi c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2ab cos gamma nbsp a 2 b 2 c 2 2 b c cos a displaystyle a 2 b 2 c 2 2bc cos alpha nbsp b 2 a 2 c 2 2 a c cos b displaystyle b 2 a 2 c 2 2ac cos beta nbsp nbsp Poznachennya kutiv i storin trikutnikaCya formula korisna dlya znahodzhennya tretoyi storoni trikutnika yaksho vidomi inshi dvi storoni ta kut mizh nimi ta dlya znahodzhennya jogo kutiv yaksho vidomi dovzhini jogo storin 1 Iz teoremi kosinusiv Kosinus deyakogo kuta trikutnika dorivnyuye vidnoshennyu sumi kvadrativ storin prileglih do cogo kuta bez kvadrata protilezhnoyi jomu storoni do podvoyenogo dobutku prileglih do kuta storin cos a b 2 c 2 a 2 2 b c displaystyle cos alpha frac b 2 c 2 a 2 2bc nbsp cos b a 2 c 2 b 2 2 a c displaystyle cos beta frac a 2 c 2 b 2 2ac nbsp cos g a 2 b 2 c 2 2 a b displaystyle cos gamma frac a 2 b 2 c 2 2ab nbsp Yaksho c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 nbsp cos g 0 displaystyle cos gamma 0 nbsp Tverdzhennya cos g 0 displaystyle cos gamma 0 nbsp oznachaye sho g 90 displaystyle gamma 90 circ nbsp ye pryamim kutom oskilki a b displaystyle a b nbsp dodatni Inshimi slovami ce teorema Pifagora Hocha teorema kosinusiv ye zagalnishoyu nizh teorema Pifagora vona ne mozhe vikoristovuvatis dlya yiyi dokazu oskilki teorema Pifagora sama vikoristovuyetsya dlya dovedennya teoremi kosinusiv Naslidki z teoremi kosinusiv RedaguvatiZa teoremoyu Pifagora u pryamokutnomu trikutniku kvadrat gipotenuzi dorivnyuye sumi kvadrativ katetiv Yaksho dlya dovilnogo trikutnika porivnyuvati kvadrat storoni z sumoyu kvadrativ dvoh inshih storin to yak zrozumilo z teoremi kosinusiv sho bude bilshe zalezhit vid togo chi bude kut mizh cimi storonami gostrim chi tupim A same yaksho kvadrat storoni trikutnika menshij za sumu kvadrativ dvoh inshih storin to protilezhnij jomu kut ye gostrim a 2 lt b 2 c 2 displaystyle a 2 lt b 2 c 2 nbsp abo b 2 c 2 a 2 gt 0 displaystyle b 2 c 2 a 2 gt 0 nbsp to a displaystyle alpha nbsp gostrij Yaksho kvadrat deyakoyi storoni trikutnika bilshij vid sumi kvadrativ dvoh inshih storin to protilezhnij jomu kut ye tupim nbsp Suma kvadrativ diagonalej paralelograma dorivnyuye sumi kvadrativ jogo storina 2 gt b 2 c 2 displaystyle a 2 gt b 2 c 2 nbsp abo b 2 c 2 a 2 lt 0 displaystyle b 2 c 2 a 2 lt 0 nbsp to a displaystyle alpha nbsp tupij Yaksho kvadrat deyakoyi storoni trikutnika dorivnyuye sumi kvadrativ dvoh inshih storin to protilezhnij jomu kut ye pryamim a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp abo b 2 c 2 a 2 0 displaystyle b 2 c 2 a 2 0 nbsp to a displaystyle alpha nbsp pryamij Suma kvadrativ diagonalej paralelograma dorivnyuye sumi kvadrativ jogo storin Dlya paralelograma A B C D displaystyle ABCD nbsp mozhna zapisati rivnist A C 2 B D 2 A B 2 B C 2 C D 2 A D 2 displaystyle AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 AD 2 nbsp 2 Dovedennya dlya gostrogo kuta Redaguvati nbsp TrikutnikNehaj a b c displaystyle a b c nbsp ce storoni trikutnika A B C displaystyle ABC nbsp a A B i C ce kuti protilezhni cim storonam Provedemo vidrizok z vershini kuta B sho utvoryuye pryamij kut iz protilezhnoyu storonoyu b Yaksho dovzhina cogo vidrizka x todi sin C x a displaystyle sin C frac x a nbsp zvidki x a sin C displaystyle x a cdot sin C nbsp Ce oznachaye sho dovzhina cogo vidrizku a sin C displaystyle a cdot sin C nbsp Shozhim chinom dovzhina chastini b sho z yednuye tochku peretinu vidrizku iz storonoyu b ta kut C rivna a cos C displaystyle a cdot cos C nbsp Reshta dovzhini b rivna b a cos C displaystyle b a cdot cos C nbsp Mi mayemo dva pryamokutnih trikutniki odin z katetami a sin C displaystyle a cdot sin C nbsp b a cos C displaystyle b a cdot cos C nbsp i gipotenuzoyu c Zvidsi vidpovidno do teoremi Pifagora c 2 a sin C 2 b a cos C 2 displaystyle c 2 a cdot sin C 2 b a cdot cos C 2 nbsp c 2 a 2 sin 2 C b 2 2 a b cos C a 2 cos 2 C displaystyle c 2 a 2 cdot sin 2 C b 2 2 cdot a cdot b cdot cos C a 2 cdot cos 2 C nbsp c 2 a 2 sin 2 C cos 2 C b 2 2 a b cos C displaystyle c 2 a 2 cdot sin 2 C cos 2 C b 2 2 cdot a cdot b cdot cos C nbsp sin 2 C cos 2 C displaystyle sin 2 C cos 2 C nbsp zavzhdi 1 otzhe c 2 a 2 b 2 2 a b cos C displaystyle c 2 a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos C nbsp Dovedennya teoremi kosinusiv z vikoristannyam vektoriv Redaguvati nbsp Vektornij trikutnikVikoristovuyuchi vektori mi mozhemo legko dovesti teoremu kosinusiv Nehaj mi mayemo dovilnij trikutnik iz vershinami A B i C sho utvorenij vektorami a b i c nam vidomo sho a b c displaystyle mathbf a b c nbsp zvidsi a a b c b c b b 2 b c c c displaystyle mathbf a cdot a b c cdot b c b cdot b 2b cdot c c cdot c nbsp Zgadavshi chomu dorivnyuye dobutok dvoh vektoriv otrimayemo a 2 b 2 c 2 2 b c cos 8 displaystyle mathbf a 2 b 2 c 2 2 b c cos theta nbsp Istoriya RedaguvatiTeorema kosinusiv bula dovedena geometrichno v Nachalah Evklida Nachala vidigrali vazhlivu rol u rozvitku matematichnoyi nauki Istorichne znachennya ciyeyi praci polyagaye v tomu sho v nij upershe zdijsneno sprobu logichnoyi pobudovi geometriyi na osnovi aksiomatiki Stihiyi Evklida proklali shlyah do vidkrittya zakonu kosinusiv U XV stolitti perskij matematik i astronom Dzhamshid al Kashi podav pershe yavne tverdzhennya zakonu kosinusiv u formi pridatnij dlya triangulyaciyi Vin nadav tochni trigonometrichni tablici ta visloviv teoremu u formi pridatnij dlya suchasnogo vikoristannya Teorema kosinusiv bula vpershe sformulovana i nabula populyarnosti u zahidnomu sviti francuzkim matematikom Fransua Viyetom v XVI stolitti Na pochatku XIX stolittya yiyi stali zapisuvati yak teoremu kosinusiv u yiyi ninishnij simvolichnij formi Div takozh RedaguvatiTriangulyaciya Teorema sinusiv Teorema tangensiv Teorema kosinusiv sferichna geometriya Primitki Redaguvati Geometriya Merzlyak 9 klas 2017 Shkilni pidruchniki onlajn ukr Arhiv originalu za 29 grudnya 2019 Procitovano 29 grudnya 2019 Gusev V A Mordkovich A G Matematika Spravochnye materialy Kniga dlya uchashihsya ONLAJN edu lib com ros Procitovano 29 grudnya 2019 Posilannya RedaguvatiDekilka dokaziv teoremi kosinusiv vklyuchayuchi zaproponovanij Evklidom Arhivovano 30 grudnya 2010 u Wayback Machine angl Teorema kosinusiv osnovi ta vikoristannya v zadachah Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema kosinusiv amp oldid 39744820