www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Наполеона теорема в геометрії трикутника яка стверджує що Зовнішній трикутник НаполеонаВнутрішній трикутник Напо

Теорема Наполеона

Теорема Наполеона ‒ теорема в геометрії трикутника, яка стверджує, що:

Зовнішній трикутник Наполеона
Внутрішній трикутник Наполеона

Якщо на кожній стороні довільного трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.

Правильний трикутник, отриманий таким чином, називається трикутником Наполеона (зовнішнім чи внутрішнім).

Різниця площ внутрішнього та зовнішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

Теорему часто приписують Наполеону Бонапа́рту (1769-1821), хоча вона також згадувалася у публікації В. Рутерфорда The Ladies' Diary[en] (1825) через чотири роки після смерті імператора.

Доведення Редагувати

Теорема Наполеона доведення

Так як на сторонах трикутника △ABC побудовані рівносторонні трикутники, то їх внутрішні кути дорівнюють 60°, а

Отже,

Оскільки

то та є подібними. З подібності трикутників, маємо:


Аналогічно показуємо, що та також подібні, і

Отже, Аналогічно доводиться, що значить рівносторонній.

Існує багато інших способів доведення цієї теореми, в тому числі синтетичний метод (безкоординатний), тригонометричний, способи з використанням симетрії та комплексних чисел.

Трикутники Наполеона Редагувати

Нехай a, b, та c сторони початкового трикутника, а S - його площа. Тоді:

Площа внутрішнього трикутника Наполеона:

Рівність досягається лише у випадку, коли початковий трикутник правильний.

Площа зовнішнього трикутника Наполеона

Аналітично можна показати, що кожна з трьох сторін зовнішнього трикутника Наполеона має довжину

З цих рівностей видно, що різниця площ зовнішнього та внутрішнього трикутників Наполеона дорівнює площі початкового трикутника.

Узагальнення Редагувати

Для трикутників Редагувати

  • Рівносторонні трикутники утворюються не лише центрами правильних трикутників, побудованих зовнішнім чином на сторонах довільного трикутника. Також рівносторонні трикутники утворюються будь-якими відповідними точками цих трикутників. :стор.157.



Узагальнення на випадок подібних трикутників
  • Теорема Наполеона має гарне узагальнення на випадок подібних трикутників побудованих зовнішнім чином :стор.157 :

Якщо подібні трикутники будь-якої форми побудовані на сторонах трикутника зовнішнім чином так, що кожен повернутий відносно попереднього (тобто трикутники в цілому мають майже однакову оріентацію), і будь-які три відповідні точки цих трикутників з'єднані, то підсумковий трикутник буде подібний до цих зовнішніх трикутників.

Для чотирикутників Редагувати

Аналогом теореми Наполеона для паралелограма є перша теорема Тебо, яка узагальнюється до теореми ван Обеля для довільного чотирикутника, яка в свою чергу є частинним випадком теореми Петра-Дугласа-Неймана[en] .

Для багатокутників Редагувати

Теорема Наполеона може бути узагальнена на випадок багатокутників.

Теорема Наполеона-Барлотті  : Редагувати

Центри правильних n-кутників, побудованих над сторонами n-кутника P, утворюють правильний n-кутник тоді і тільки тоді, коли P є афінним образом правильного n-кутника.

Афінно-правильний n-кутник ‒ це багатокутник, в якому паралельні один одному ті ж сторони та діагоналі, ніби він був би правильним.

Наприклад, для чотирикутника ‒ це паралелограм, а для п'ятикутника ‒ такий п'ятикутник, у якому кожна діагональ паралельна відповідній (протилежній) стороні.

Теорему Петра–Дугласа–Неймана у застосуванні до п’ятикутника. П'ятикутник A0 дорівнює ABCDE. A1 ( = FGHIJ ) будується з кутом при вершині 72°, A2 ( = KLMNO ) з кутом при вершині 144° і A3 ( = PQRST ) з кутом при вершині 216°.

Теорема Петра -Дугласа-Неймана Редагувати

Теорема Петра-Дугласа-Неймана[en] стверджує, що:

Якщо на бічних сторонах довільного n-кутника побудувати рівнобедрені трикутники з кутами при вершинах , і цей процес повторити з n-кутником, утвореним вільними вершинами трикутників, але з іншим значенням k, і так далі, поки не будуть використані всі значення (у довільному порядку), тоді формується правильний n-кутник An-2, центроїд якого збігається з центроїдом .

Ще одна варіація Теореми Наполеона






Див. також Редагувати


.

Примітки Редагувати

  1. Weisstein, Eric W., Napoleon's Theorem, на сайті Wolfram.
  2. Grünbaum Branko, 2012.
  3. Coxeter and Greitzer, 1967, с. 60-63.
  4. ↑ Napoleon's Theorem. www.mathpages.com. Процитовано 17 липня 2023. 
  5. Alexander Bogomolny[en]. Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs (англ.). Cut-the-knot. 
  6. Weisstein, Eric W. Inner Napoleon Triangle. mathworld.wolfram.com (англ.). 
  7. Weisstein, Eric W. Outer Napoleon Triangle. mathworld.wolfram.com (англ.). 
  8. ↑ Wells, D., 1991, с. 157.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Petr-Neumann-Douglas Theorem. MathWorld (англ.). 
  10. A. Barlotti, 1952, с. 182-185.

Джерела Редагувати

  • Wells, D. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry". — London: Penguin, 1991. — С. 156-158. — ISBN 0-14-011813-6.
  • A. Barlotti. "Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo" // Boll. Un. Mat. Ital.. — 1952. — Вип. 7. — № 3. — С. 182–185.
  • Wetzel, John E. (April 1992). . The American Mathematical Monthly 99 (4): 339–351. Zbl 1264.01010. doi:10.2307/2324901. Архів оригіналу за 29 квітня 2014. 

Посилання Редагувати

Це незавершена стаття з геометрії.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Napoleona teorema v geometriyi trikutnika yaka stverdzhuye sho Zovnishnij trikutnik NapoleonaVnutrishnij trikutnik NapoleonaYaksho na kozhnij storoni dovilnogo trikutnika pobuduvati rivnostoronnij trikutnik abo vsi tri nazovni abo vsi tri vseredinu to yihni centri budut vershinami inshogo rivnostoronnogo trikutnika Pravilnij trikutnik otrimanij takim chinom nazivayetsya trikutnikom Napoleona zovnishnim chi vnutrishnim Riznicya plosh vnutrishnogo ta zovnishnogo trikutnikiv Napoleona dorivnyuye ploshi pochatkovogo trikutnika Teoremu chasto pripisuyut Napoleonu Bonapa rtu 1769 1821 hocha vona takozh zgaduvalasya u publikaciyi V Ruterforda The Ladies Diary en 1825 cherez chotiri roki pislya smerti imperatora 1 2 Zmist 1 Dovedennya 2 Trikutniki Napoleona 3 Uzagalnennya 3 1 Dlya trikutnikiv 3 2 Dlya chotirikutnikiv 3 3 Dlya bagatokutnikiv 3 3 1 Teorema Napoleona Barlotti 10 3 3 2 Teorema Petra Duglasa Nejmana 4 Div takozh 5 Primitki 6 Dzherela 7 PosilannyaDovedennya Redaguvati nbsp Teorema Napoleona dovedennyaTak yak na storonah trikutnika ABC pobudovani rivnostoronni trikutniki to yih vnutrishni kuti dorivnyuyut 60 a K B A B B M B C A L A C 3 3 displaystyle frac KB AB frac BM BC frac AL AC frac sqrt 3 3 nbsp Otzhe K B M A B Y displaystyle sphericalangle KBM sphericalangle ABY nbsp Oskilki K B A B B M B C displaystyle frac KB AB frac BM BC nbsp to B K M displaystyle triangle BKM nbsp ta B A Y displaystyle triangle BAY nbsp ye podibnimi Z podibnosti trikutnikiv mayemo K M A Y 3 3 displaystyle KM AY cdot frac sqrt 3 3 nbsp Analogichno pokazuyemo sho C L M displaystyle triangle CLM nbsp ta C A Y displaystyle triangle CAY nbsp takozh podibni i L M A Y 3 3 displaystyle LM AY cdot frac sqrt 3 3 nbsp Otzhe K M L M displaystyle KM LM nbsp Analogichno dovoditsya sho L M L K displaystyle LM LK nbsp znachit K L M displaystyle triangle KLM nbsp rivnostoronnij Isnuye bagato inshih sposobiv dovedennya ciyeyi teoremi v tomu chisli sintetichnij metod bezkoordinatnij 3 trigonometrichnij 4 sposobi z vikoristannyam simetriyi 5 ta kompleksnih chisel 4 Trikutniki Napoleona RedaguvatiNehaj a b ta c storoni pochatkovogo trikutnika a S jogo plosha Todi Plosha vnutrishnogo trikutnika Napoleona 6 Svnutr 3 24 a 2 b 2 c 2 S 2 0 displaystyle text Svnutr frac sqrt 3 24 a 2 b 2 c 2 frac S 2 geq 0 nbsp Rivnist dosyagayetsya lishe u vipadku koli pochatkovij trikutnik pravilnij Plosha zovnishnogo trikutnika Napoleona 7 Szovn 3 24 a 2 b 2 c 2 S 2 displaystyle text Szovn frac sqrt 3 24 a 2 b 2 c 2 frac S 2 nbsp Analitichno mozhna pokazati 4 sho kozhna z troh storin zovnishnogo trikutnika Napoleona maye dovzhinu Azovn a 2 b 2 c 2 6 a b c a b c a b c a b c 2 3 displaystyle text Azovn sqrt a 2 b 2 c 2 over 6 sqrt a b c a b c a b c a b c over 2 sqrt 3 nbsp Z cih rivnostej vidno sho riznicya plosh zovnishnogo ta vnutrishnogo trikutnikiv Napoleona dorivnyuye ploshi pochatkovogo trikutnika Uzagalnennya RedaguvatiDlya trikutnikiv Redaguvati nbsp Rivnostoronni trikutniki utvoryuyutsya ne lishe centrami pravilnih trikutnikiv pobudovanih zovnishnim chinom na storonah dovilnogo trikutnika Takozh rivnostoronni trikutniki utvoryuyutsya bud yakimi vidpovidnimi tochkami cih trikutnikiv 8 stor 157 nbsp Uzagalnennya na vipadok podibnih trikutnikivTeorema Napoleona maye garne uzagalnennya na vipadok podibnih trikutnikiv pobudovanih zovnishnim chinom 8 stor 157 Yaksho podibni trikutniki bud yakoyi formi pobudovani na storonah trikutnika zovnishnim chinom tak sho kozhen povernutij vidnosno poperednogo tobto trikutniki v cilomu mayut majzhe odnakovu orientaciyu i bud yaki tri vidpovidni tochki cih trikutnikiv z yednani to pidsumkovij trikutnik bude podibnij do cih zovnishnih trikutnikiv Dlya chotirikutnikiv Redaguvati Analogom teoremi Napoleona dlya paralelograma ye persha teorema Tebo yaka uzagalnyuyetsya do teoremi van Obelya dlya dovilnogo chotirikutnika yaka v svoyu chergu ye chastinnim vipadkom teoremi Petra Duglasa Nejmana en 9 Dlya bagatokutnikiv Redaguvati Teorema Napoleona mozhe buti uzagalnena na vipadok bagatokutnikiv Teorema Napoleona Barlotti 10 Redaguvati Centri pravilnih n kutnikiv pobudovanih nad storonami n kutnika P utvoryuyut pravilnij n kutnik todi i tilki todi koli P ye afinnim obrazom pravilnogo n kutnika Afinno pravilnij n kutnik ce bagatokutnik v yakomu paralelni odin odnomu ti zh storoni ta diagonali nibi vin buv bi pravilnim Napriklad dlya chotirikutnika ce paralelogram a dlya p yatikutnika takij p yatikutnik u yakomu kozhna diagonal paralelna vidpovidnij protilezhnij storoni nbsp Napoleon barlotti svg Priklad p yatikutnika nbsp Napoleon barlotti2 svg Priklad semikutnika nbsp Napoleon barlotti3 svg Priklad odinadcyatikutnika nbsp Teoremu Petra Duglasa Nejmana u zastosuvanni do p yatikutnika P yatikutnik A0 dorivnyuye ABCDE A1 FGHIJ buduyetsya z kutom pri vershini 72 A2 KLMNO z kutom pri vershini 144 i A3 PQRST z kutom pri vershini 216 Teorema Petra Duglasa Nejmana Redaguvati Teorema Petra Duglasa Nejmana en 9 stverdzhuye sho Yaksho na bichnih storonah dovilnogo n kutnika A 0 displaystyle A 0 nbsp pobuduvati rivnobedreni trikutniki z kutami pri vershinah 2 k p n displaystyle frac 2k pi n nbsp i cej proces povtoriti z n kutnikom utvorenim vilnimi vershinami trikutnikiv ale z inshim znachennyam k i tak dali poki ne budut vikoristani vsi znachennya 1 k n 2 displaystyle 1 leq k leq n 2 nbsp u dovilnomu poryadku todi formuyetsya pravilnij n kutnik An 2 centroyid yakogo zbigayetsya z centroyidom A 0 displaystyle A 0 nbsp nbsp She odna variaciya Teoremi NapoleonaDiv takozh RedaguvatiProblema Napoleona Teorema Tebo Tochki Napoleona Primitki Redaguvati Weisstein Eric W Napoleon s Theorem na sajti Wolfram Grunbaum Branko 2012 Coxeter and Greitzer 1967 s 60 63 a b v Napoleon s Theorem www mathpages com Procitovano 17 lipnya 2023 Alexander Bogomolny en Napoleon s Theorem Two Simple Proofs angl Cut the knot Weisstein Eric W Inner Napoleon Triangle mathworld wolfram com angl Weisstein Eric W Outer Napoleon Triangle mathworld wolfram com angl a b Wells D 1991 s 157 a b Weisstein Eric W Petr Neumann Douglas Theorem MathWorld angl A Barlotti 1952 s 182 185 Dzherela RedaguvatiGrunbaum Branko Is Napoleon s Theorem Really Napoleon s Theorem American Mathematical Monthly 2012 Vip 6 119 S 495 501 DOI 10 4169 119 06 495 H S M Coxeter Samuel L Greitzer Geometry Revisited Mathematical Association of America 1967 T 19 S 193 Wells D The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry London Penguin 1991 S 156 158 ISBN 0 14 011813 6 A Barlotti Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo Boll Un Mat Ital 1952 Vip 7 3 S 182 185 Wetzel John E April 1992 Converses of Napoleon s Theorem The American Mathematical Monthly 99 4 339 351 Zbl 1264 01010 doi 10 2307 2324901 Arhiv originalu za 29 kvitnya 2014 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Teorema Napoleona angl na sajti Wolfram MathWorld Alexander Bogomolny en Napoleon s Theorem Two Simple Proofs cut the knot org angl Teorema Napoleona na MathPages Teorema ta uzagalnennya Pobudova Teorema Napoleona by Jay Warendorff The Wolfram Demonstrations Project nbsp Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Napoleona amp oldid 40684893