www.wikidata.uk-ua.nina.az

Росток математика У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна Росток значення Росток об єкта на топологічному п

Росток (математика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Росток (значення).

Росток об'єкта на топологічному просторі висловлює локальні властивості об'єкта. У певному сенсі можна сказати, що це новий об'єкт, який переймає лише локальні властивості об'єкта, що його породив (найчастіше в ролі таких об'єктів виступають відображення). Очевидно, що різні функції можуть задавати один і той же росток. У такому випадку всі локальні властивості (неперервність, диференційовність і т. д.) у таких функцій збігаються і достатньо розглядати властивості не самих функцій, а лише їх ростків.

Формальне визначення ред.

Росток відображень ред.

Нехай є задана точка топологічного простору і два відображення в деяку множину . Тоді кажуть, що і належать одному й тому ж ростку в точці , якщо є такий окіл точки , для якого обмеження функцій і на збігаються. Тобто,

(Тобто ).

Очевидно, що відношення належності до одного ростка в точці є відношенням еквівалентності. Це відношення записується як . Зазвичай його позначають

Залежно від класу регулярності функцій можна розглядати і відповідні класи регулярності ростків — ростки неперервних функцій, ростки диференційовних функцій, ростки аналітичних функцій, ростки постійних функцій. Також поняття ростка поширюється на векторні поля, диференціальні форми і інші подібні об'єкти.

Росток множин ред.

Аналогічно дві підмножини визначають один і той же росток в , якщо існує окіл точки , такий що:

Росток, що задається множиною , позначають . Відношення належності до одного ростка позначається як .

Дві множини належать одному ростку множин тоді і тільки тоді коли їх характеристичні функції належать одному ростку функцій:

Властивості ред.

Якщо f і g належать одному ростку в точці x, тоді всі локальні властивості в них однакові, зокрема неперервність, диференційовність, аналітичність і т. д., Тому можна визначати неперервні чи диференційовні ростки в точці.

Якщо множина Y є векторним простором, тоді можна визначати суму ростків і множення на скаляр: для визначення [f]x + [g]x, спершу треба взяти представники ростка f і g, визначені в околах U і V, тоді [f]x + [g]x є ростком в точці x відображення f + g (де f + g визначене на ). Подібно a[f]x є ростком відображення af для деякого скаляра a.

Якщо на множині Y визначено множення то аналогічно до попереднього можна визначити множення ростків. Зокрема для дійснозначних чи комплекснозначних функцій можна визначити алгебру ростків в деякій точці.

Приклади класів ростків функцій ред.

Якщо і мають додаткову структуру, можна визначити окремі важливі класи ростків функцій.

  • Якщо обидва є топологічними просторами, підмножина
неперервних функцій визначає ростки неперервних функцій.
  • Якщо і є гладкими многовидами, підмножини
-раз неперервно диференційовних функцій, підмножина
гладких функцій і підмножина
аналітичних функцій визначають ростки k-раз диференційовних, гладких, і аналітичних функцій.
  • Якщо мають комплексну структуру (наприклад є підмножинами комплексних векторних просторів), між ними можна визначити голоморфні функцій і відповідно ростки голоморфних функцій.
  • Якщо на задані алгебраїчні структури, між ними можна визначити регулярні і раціональні функції і відповідно ростки регулярних функцій' і ростки раціональних функцій.

Див. також ред.

Література ред.

  • Nicolas Bourbaki (1989). General Topology. Chapters 1-4 (вид. paperback). Springer-Verlag. ISBN 3-540-64241-2. 
  • Raghavan Narasimhan (1973). Analysis on Real and Complex Manifolds (вид. 2nd). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8. 
  • Robert C. Gunning, Hugo Rossi (1965). Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice-Hall. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Rostok znachennya Rostok ob yekta na topologichnomu prostori vislovlyuye lokalni vlastivosti ob yekta U pevnomu sensi mozhna skazati sho ce novij ob yekt yakij perejmaye lishe lokalni vlastivosti ob yekta sho jogo porodiv najchastishe v roli takih ob yektiv vistupayut vidobrazhennya Ochevidno sho rizni funkciyi mozhut zadavati odin i toj zhe rostok U takomu vipadku vsi lokalni vlastivosti neperervnist diferencijovnist i t d u takih funkcij zbigayutsya i dostatno rozglyadati vlastivosti ne samih funkcij a lishe yih rostkiv Zmist 1 Formalne viznachennya 1 1 Rostok vidobrazhen 1 2 Rostok mnozhin 2 Vlastivosti 3 Prikladi klasiv rostkiv funkcij 4 Div takozh 5 LiteraturaFormalne viznachennya red Rostok vidobrazhen red Nehaj ye zadana tochka x displaystyle x nbsp topologichnogo prostoru X displaystyle X nbsp i dva vidobrazhennya f g X Y displaystyle f g X to Y nbsp v deyaku mnozhinu Y displaystyle Y nbsp Todi kazhut sho f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp nalezhat odnomu j tomu zh rostku v tochci x displaystyle x nbsp yaksho ye takij okil U displaystyle U nbsp tochki x displaystyle x nbsp dlya yakogo obmezhennya funkcij f displaystyle f nbsp i g displaystyle g nbsp na U displaystyle U nbsp zbigayutsya Tobto f U g U displaystyle f U g U nbsp Tobto x U f x g x displaystyle forall x in U f x g x nbsp Ochevidno sho vidnoshennya nalezhnosti do odnogo rostka v tochci x displaystyle x nbsp ye vidnoshennyam ekvivalentnosti Ce vidnoshennya zapisuyetsya yak f x g displaystyle f sim x g nbsp Zazvichaj jogo poznachayut f x displaystyle f x nbsp Zalezhno vid klasu regulyarnosti funkcij mozhna rozglyadati i vidpovidni klasi regulyarnosti rostkiv rostki neperervnih funkcij rostki diferencijovnih funkcij rostki analitichnih funkcij rostki postijnih funkcij Takozh ponyattya rostka poshiryuyetsya na vektorni polya diferencialni formi i inshi podibni ob yekti Rostok mnozhin red Analogichno dvi pidmnozhini S T X displaystyle S T subset X nbsp viznachayut odin i toj zhe rostok v x displaystyle x nbsp yaksho isnuye okil U displaystyle U nbsp tochki x displaystyle x nbsp takij sho S U T U displaystyle S cap U T cap U nbsp Rostok sho zadayetsya mnozhinoyu S displaystyle S nbsp poznachayut S x displaystyle S x nbsp Vidnoshennya nalezhnosti do odnogo rostka poznachayetsya yak S x T displaystyle S sim x T nbsp Dvi mnozhini nalezhat odnomu rostku mnozhin todi i tilki todi koli yih harakteristichni funkciyi nalezhat odnomu rostku funkcij S x T 1 S x 1 T displaystyle S sim x T Longleftrightarrow mathbf 1 S sim x mathbf 1 T nbsp Vlastivosti red Yaksho f i g nalezhat odnomu rostku v tochci x todi vsi lokalni vlastivosti v nih odnakovi zokrema neperervnist diferencijovnist analitichnist i t d Tomu mozhna viznachati neperervni chi diferencijovni rostki v tochci Yaksho mnozhina Y ye vektornim prostorom todi mozhna viznachati sumu rostkiv i mnozhennya na skalyar dlya viznachennya f x g x spershu treba vzyati predstavniki rostka f i g viznacheni v okolah U i V todi f x g x ye rostkom v tochci x vidobrazhennya f g de f g viznachene na U V displaystyle scriptstyle U cap V nbsp Podibno a f x ye rostkom vidobrazhennya af dlya deyakogo skalyara a Yaksho na mnozhini Y viznacheno mnozhennya to analogichno do poperednogo mozhna viznachiti mnozhennya rostkiv Zokrema dlya dijsnoznachnih chi kompleksnoznachnih funkcij mozhna viznachiti algebru rostkiv v deyakij tochci Prikladi klasiv rostkiv funkcij red Yaksho X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp mayut dodatkovu strukturu mozhna viznachiti okremi vazhlivi klasi rostkiv funkcij Yaksho X Y displaystyle X Y nbsp obidva ye topologichnimi prostorami pidmnozhinaC 0 X Y Hom X Y displaystyle C 0 X Y subset mbox Hom X Y nbsp dd neperervnih funkcij viznachaye rostki neperervnih funkcij Yaksho X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp ye gladkimi mnogovidami pidmnozhiniC k X Y Hom X Y displaystyle C k X Y subset mbox Hom X Y nbsp dd k displaystyle k nbsp raz neperervno diferencijovnih funkcij pidmnozhinaC X Y k C k X Y Hom X Y displaystyle C infty X Y bigcap k C k X Y subset mbox Hom X Y nbsp dd gladkih funkcij i pidmnozhinaC w X Y Hom X Y displaystyle C omega X Y subset mbox Hom X Y nbsp dd analitichnih funkcij viznachayut rostki k raz diferencijovnih gladkih i analitichnih funkcij Yaksho X Y displaystyle X Y nbsp mayut kompleksnu strukturu napriklad ye pidmnozhinami kompleksnih vektornih prostoriv mizh nimi mozhna viznachiti golomorfni funkcij i vidpovidno rostki golomorfnih funkcij Yaksho na X Y displaystyle X Y nbsp zadani algebrayichni strukturi mizh nimi mozhna viznachiti regulyarni i racionalni funkciyi i vidpovidno rostki regulyarnih funkcij irostki racionalnih funkcij Div takozh red Puchok matematika Literatura red Nicolas Bourbaki 1989 General Topology Chapters 1 4 vid paperback Springer Verlag ISBN 3 540 64241 2 Raghavan Narasimhan 1973 Analysis on Real and Complex Manifolds vid 2nd North Holland Elsevier ISBN 0 7204 2501 8 Robert C Gunning Hugo Rossi 1965 Analytic Functions of Several Complex Variables Prentice Hall Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rostok matematika amp oldid 38631168