Границя функції в точці

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Границя (математика).

Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.

1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Хоча функція в нулі не визначена, проте коли наближається до нуля, її значення стає як завгодно близьким до 1. Іншими словами, границя цієї функції в нулі дорівнює 1.

Історія

Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернард Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.

У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність , сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях. У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні. Він також ввів позначення та .

Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай , причому , і  — гранична точка множини . У подальшому будемо розглядати функції . Через позначимо -окіл точки :

.

Означення за Коші

Число називається границею функції в точці , якщо

Позначення:

або

Під і можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах, а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу , а не чи . У цих позначеннях похибка обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані до граничної точки.

Означення за Гейне

Число називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .

Односторонні границі

Односторонні границі не рівні. Отже, границі при x → x₀ не існує.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).

Означення правосторонньої границі

.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

Означення лівосторонньої границі

.

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

Використовуються також наступні скорочення:

• і для правої границі;
• і для лівої границі.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці та рівні в ній, то можна показати, що . Якщо односторонні границі існують в точці , але не рівні, то границі в точці не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

Відсутність односторонніх границь

Функція без границі в точці суттєвого розриву

Функція

не має границі в точці (лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю і кожній іншій точці.

Функція Діріхле

не має границі в жодній точці дійсної прямої.

Нерівність односторонніх границь

Функція

має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).

Існування границі лише в одній точці

Обидві функції

та

мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.

Існування границі в зліченній кількості точок

Функція

має границю в будь-якій точці , де .

Границі, пов’язані з нескінченністю

Границя в нескінченності

Границя цієї функції при існує.

Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.

Границя в нескінченності за Коші

• Нехай ,  — необмежена зверху множина, . Число називається границею функції при , якщо

Позначення: або при .

• Нехай ,  — необмежена знизу множина, . Число називається границею функції при , якщо

Позначення: або при .

Границя в нескінченності за Гейне

• Нехай ,  — необмежена зверху множина, . Число називається границею функції при , якщо для довільної послідовності , яка прямує до при , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .

• Нехай ,  — необмежена знизу множина, . Число називається границею функції при , якщо для довільної послідовності , яка прямує до при , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .

Нескінченні границі

Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.

Нехай ,  — гранична точка множини і .

Кажуть, що прямує до плюс нескінченності в точці , якщо

.

Позначення: або при .

Кажуть, що прямує до мінус нескінченності в точці , якщо

.

Позначення: або при .

Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад

Так само можна поєднувати означення за Гейне.

Приклад:

Властивості

Нехай ,  — гранична точка , задані функції та існують границі , . Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості:

• Якщо і , то .

• Якщо і , то

.

• Якщо , то .

• Теорема про арифметичні дії

1. ;
2. ;
3. ;
4. Якщо додатково , то
5. якщо права частина можлива.

Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює або . У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює або , границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:

• q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ якщо q > 0
• q × ∞ = −∞ якщо q < 0
• q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞
• ∞^q = 0 якщо q < 0
• ∞^q = ∞ якщо q > 0
• q^∞ = 0 якщо 0 < q < 1
• q^∞ = ∞ якщо q > 1
• q^−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1
• q^−∞ = 0 якщо q > 1

Границя композиції функцій

У загальному від того, що

не випливає, що , де і , b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов:

• , тобто f неперервна в b;
• , тобто g не приймає значення b поблизу a.

Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:

Оскільки точка 0 є розривом, який можна усунути, то

Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя дорівнює 0. Однак

і тому

Правило Лопіталя

Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду 0/0 або ±∞/∞, і застосовується лише до таких випадків. Нехай f(x) і g(x), визначені на відкритому інтервалі I, що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:

1. або ,
2. і диференційовні на ,
3. для всіх ,
4. існує.

Тоді

Наприклад,

Основні приклади границь функцій в точці

Раціональні функції

Для цілого невід’ємного числа та констант і

Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на . Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до . Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.

Тригонометричні функції

•  — перша чудова границя

Експоненціальні функції

•  — друга чудова границя

Логарифмічні функції

Узагальнення на метричні простори

Нехай ,  — метричні простори, ,  — гранична точка множини . Елемент називається границею функції в точці , якщо

.

Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.

Елемент називається границею функції в точці , для довільної послідовності , при , що збігається до елемента , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею один і той самий елемент .

Найбільш важливими є наступні випадки:

1. ,  — дійсна функція, визначена на множині дійсних чисел;
2. ,  — дійсна функція n-змінних;
3. ,  — векторна функція n-змінних;
4.  — метричний простір, ,  — дійсна функція, яка задана на множині метричного простору.

Узагальнення на топологічні простори

Нехай  — топологічний простір,  — гаусдорфів топологічний простір, ,  — гранична точка множини . Елемент називається границею функції в точці , якщо

.

Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.

Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.

Див. також

• Границя послідовності
• Верхня і нижня границі
• Повторна границя
• Узагальнена послідовність
• Стискна теорема — обчислення границі шляхом обмеження функції між двома іншими функціями
• Нотація Ландау — нотації, що описують асимптотичну поведінку функцій
• Асимптотична рівність

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1100+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 1. — Київ : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 2. — Київ : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462.  (укр.)
• М.О.Дзедзінський. Математичний Аналіз для студентів. — Листочок.
• Поняття границі функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 207. — 594 с.
• Sutherland, W. A. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3. 

Виноски

1. Felscher, Walter (2000). Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta. American Mathematical Monthly 107 (9): 844–862. JSTOR 2695743. doi:10.2307/2695743. 
2. Grabiner, Judith V. (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus. American Mathematical Monthly 90 (3): 185–194. JSTOR 2975545. doi:10.2307/2975545. , наявна в Who Gave You the Epsilon? [ 2012-10-04 у Wayback Machine.], ISBN 978-0-88385-569-0 сс. 5–13. Також доступна на сторінці http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
3. Sinkevich, G. I. (2017). Historia epsylontyki. Antiquitates Mathematicae (Cornell University) 10. arXiv:1502.06942. doi:10.14708/am.v10i0.805. 
4. Burton, David M. (1997). The History of Mathematics: An introduction (вид. Third). New York: McGraw–Hill. с. 558–559. ISBN 978-0-07-009465-9. 
5. Miller, Jeff (1 грудня 2004). Earliest Uses of Symbols of Calculus. Процитовано 18 грудня 2008.