Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:
де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.
Властивості Редагувати
- Функція Діріхле є розривною в кожній точці своєї області визначення.
- Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом, проте є інтегровною за Лебегом.
- Функція Діріхле належить до другого класу Бера. Тобто, її не можна представити як границю послідовності неперервних функцій, але можна задати як границю границь послідовності неперервних функцій. Наприклад:
Інтеграли від функції Діріхле Редагувати
Інтеграл Рімана Редагувати
Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна
а верхня сума рівна
що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.
Інтеграл Лебега Редагувати
Функція Діріхле є простою, тобто набуває скінченної кількості значень, тому маємо рівність для інтеграла в області
де позначає міру Лебега.
Оскільки як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1100+ с.(укр.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)