Для функції декількох змінних можна визначити поняття границі по одній із змінних при фіксованих значеннях інших змінних. У зв'язку з цим виникає поняття повторної границі.
Означення Редагувати
Розглянемо функцію двох змінних , визначену в деякому виколотому околі точки . Виберемо і зафіксуємо змінну . Отримаємо функцію як би однієї змінної. Розглянемо границю:
Будемо вважати, що існує. Тепер знімемо фіксацію зі змінної і розглянемо наступну границю:
Якщо ця границя існує, то говорять, що є повторною границею функції в точці .
Аналогічно ми можемо фіксувати спочатку змінну . У цьому випадку ми також отримаємо повторну границю, але, взагалі кажучи, іншу:
Це визначення можна розповсюдити і на функції декількох змінних .
Рівність повторних границь Редагувати
Нехай функція , визначена в виколотому околі точки і має в цій точці границю (звичайну). Тоді будь-яка повторна границя в точці існує і дорівнює звичайній границі цієї функції в цій же точці. У зворотний бік твердження, взагалі кажучи, невірне.
Див. також Редагувати
Джерела Редагувати
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1300+ с.(укр.)
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)