Збіжність майже всюди

Збіжність майже всюди — один з видів збіжності функцій у вимірних просторах або випадкових величин.

Визначення

Термінологія теорії міри

Нехай — вимірний простір і . Кажуть, що збігається майже всюди (позначають - майже всюди), якщо

Термінологія теорії ймовірностей

Якщо — це ймовірнісний простір та - випадкові величини, такі що:

то кажуть що послідовність збігається майже напевно до .

Спрощений запис:

Еквівалентне означення:

Для загальних випадкових величин у метричних просторах означення аналогічне:

Властивості

• Із поточкової збіжності випливає збіжність майже всюди.
• Із збіжності майже всюди випливає збіжність за мірою, і, таким чином, слабку збіжність (збіжність за розподілом).
• Не існує топології на множині випадкових величин (або вимірних функцій у просторі з мірою), яка б породжувала збіжність майже всюди.
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність дає умови для слідування збіжності у середньому із збіжності майже всюди.

Джерела

• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)