Vimirni funkciyi pevnij klas funkcij zadanih na mnozhinah z miroyu Shiroko vikoristovuyutsya v teoriyi miri i teoriyi jmovirnostej Zmist 1 Viznachennya 2 Zamitka 3 Dijsnoznachni vimirni funkciyi 4 Pov yazani viznachennya 5 Prikladi 6 Vlastivosti vimirnih funkcij 7 DzherelaViznachennya RedaguvatiNehaj X F displaystyle X mathcal F nbsp i Y G displaystyle Y mathcal G nbsp dvi mnozhini z viznachenimi algebrami pidmnozhin Todi funkciya f X Y displaystyle f X to Y nbsp nazivayetsya F G displaystyle mathcal F mathcal G nbsp vimirnoyu abo prosto vimirnoyu yaksho povnij proobraz dovilnoyi mnozhini iz G displaystyle mathcal G nbsp nalezhit F displaystyle mathcal F nbsp tobto B G f 1 B F displaystyle forall B in mathcal G f 1 B in mathcal F nbsp de f 1 B displaystyle f 1 B nbsp povnij proobraz mnozhini B displaystyle B nbsp Zamitka RedaguvatiYaksho X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp topologichni prostori i algebri F displaystyle mathcal F nbsp i G displaystyle mathcal G nbsp yavno ne vkazani to vvazhayetsya sho ce borelivski s algebri vidpovidnih prostoriv Dijsnoznachni vimirni funkciyi RedaguvatiNehaj zadana funkciya f X F R B R displaystyle f X mathcal F to mathbb R mathcal B mathbb R nbsp Todi spravedlivi taki viznachennya Funkciya f displaystyle f nbsp vimirna yaksho c R x X f x c F displaystyle forall c in mathbb R x in X mid f x leq c in mathcal F nbsp Funkciya f displaystyle f nbsp vimirna yaksho a b R displaystyle forall a b in mathbb R nbsp takih sho a b displaystyle a leq b nbsp mayemo x X f x a b F displaystyle x in X mid f x in a b in mathcal F nbsp de a b displaystyle a b nbsp poznachaye dovilnij interval vidkritij napivvidkritij chi zamknutij Yaksho f X F R B R displaystyle f X mathcal F to mathbb R cup infty mathcal B mathbb R cup infty nbsp ye nevid yemnoyu dijsnoznachnoyu funkciyeyu to vona ye vimirnoyu todi j lishe todi koli vona ye potochkovoyu graniceyu deyakoyi potochkovo nespadnoyi poslidovnosti f n displaystyle f n nbsp nevid yemnih prostih vimirnih funkcij Pov yazani viznachennya RedaguvatiNehaj X F R B R displaystyle X mathcal F mathbb R mathcal B mathbb R nbsp i Y G R B R displaystyle Y mathcal G mathbb R mathcal B mathbb R nbsp dvi kopiyi dijsnoyi pryamoyi razom z borelivskoyu s algebroyu Todi vimirna funkciya f R B R R B R displaystyle f mathbb R mathcal B mathbb R to mathbb R mathcal B mathbb R nbsp nazivayetsya borelivskoyu Vimirna funkciya f W F Y G displaystyle f Omega mathcal F to Y mathcal G nbsp de W displaystyle Omega nbsp mnozhina elementarnih podij a F displaystyle mathcal F nbsp s algebra vipadkovih podij nazivayetsya vipadkovim elementom Prikladi RedaguvatiNehaj f R R displaystyle f mathbb R to mathbb R nbsp neperervna funkciya Todi vona vimirna vidnosno borelivskoyi s algebri na chislovij pryamij Nehaj f X F R B R displaystyle f X mathcal F to mathbb R mathcal B mathbb R nbsp i f x 1 A x x X displaystyle f x mathbf 1 A x x in X nbsp indikator mnozhini A F displaystyle A not in mathcal F nbsp Tod funkciya f displaystyle f nbsp ne ye vimirnoyu Vlastivosti vimirnih funkcij RedaguvatiSuma i dobutok vimirnih funkcij ye vimirnimi funkciyami Supremum zlichennoyi mnozhini dijsnoznachnih vimirnih funkcij ye vimirnoyu funkciyeyu Potochkova granicya poslidovnosti vimirnih funkcij ye vimirnoyu funkciyeyu Dzherela RedaguvatiKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Vimirna funkciya amp oldid 37149181
