www.wikidata.uk-ua.nina.az

Міра множини спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини площі плоских фігур та n displaystyle n ви

Міра множини

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів.

Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення Редагувати

Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.

Скінчено-адитивна міра Редагувати

Нехай задано простір з виділеним класом підмножин , замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам:

  1. ;
  2. Якщо  — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із , тобто , то

.

Альтернативне визначення Редагувати

Функція множини називається мірою, якщо:

Система множин називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до множини та випливає можливість представлення множини у вигляді об'єднання , де  — попарно неперетинаючі множини з , перша з яких є задана множина .

Злічено-адитивна міра Редагувати

Нехай задано простір з виділеною σ-алгеброю . Функція називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

  1. ;
  2. (σ-адитивність) Якщо  — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з , тобто , то

Продовження міри Редагувати

Міра називається продовженням міри , якщо і для кожної виконується рівність:

При цьому, для кожної міри , заданої на деякому напівкільці існує єдине продовження , що має як область визначення кільце (тобто, мінімальне кільце над ).

Примітки Редагувати

  • Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінчена, тобто , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
  • На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.

Приклади Редагувати

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Mira mnozhini spilna nazva riznih tipiv uzagalnen ponyat evklidovoyi dovzhini ploshi ploskih figur ta n displaystyle n vimirnogo ob yemu dlya zagalnishih prostoriv Neformalno mira ce funkciya sho vidobrazhaye mnozhini na nevid yemni dijsni chisla pri comu nadmnozhini vidobrazhayutsya na bilshi chisla nizh pidmnozhini Yaksho zvorotne ne vkazane yavno to zazvichaj jdetsya pro zlichenno aditivnu miru Ponyattya miri viniklo v teoriyi funkciyi dijsnoyi zminnoyi a zvidti perejshlo do teoriyi jmovirnostej teoriyi dinamichnih sistem funkcionalnogo analizu ta bagato inshih oblastej matematiki Zmist 1 Viznachennya 1 1 Skincheno aditivna mira 1 2 Alternativne viznachennya 1 3 Zlicheno aditivna mira 1 4 Prodovzhennya miri 1 5 Primitki 2 Prikladi 3 Div takozh 4 DzherelaViznachennya RedaguvatiTeoriya miri ta integrala Lebega bula rozroblena na pochatku XX st u zv yazku z potrebami analizu ta teoriyi funkcij Abstraktnij variant teoriyi ye matematichnoyu osnovoyu ryadu teoretichnih i prikladnih rozdiliv suchasnoyi matematiki Skincheno aditivna mira Redaguvati Nehaj zadano prostir X displaystyle X nbsp z vidilenim klasom pidmnozhin F displaystyle mathcal F nbsp zamknenim shodo skinchenih peretiniv ta ob yednan Funkciya m F 0 displaystyle mu mathcal F to 0 infty nbsp nazivayetsya skincheno aditivnoyu miroyu yaksho vona zadovolnyaye nastupnim umovam m 0 displaystyle mu varnothing 0 nbsp Yaksho E n n 1 N F displaystyle E n n 1 N subset mathcal F nbsp skinchene simejstvo poparno neperetinnih mnozhin iz F displaystyle mathcal F nbsp tobto E i E j i j displaystyle E i cap E j varnothing i not j nbsp tom n 1 N E n n 1 N m E n displaystyle mu left bigcup limits n 1 N E n right sum limits n 1 N mu E n nbsp Alternativne viznachennya Redaguvati Funkciya mnozhini m A displaystyle mu A nbsp nazivayetsya miroyu yaksho oblast viznachennya s m displaystyle sigma mu nbsp funkciyi m A displaystyle mu A nbsp ye napivkilce mnozhin znachennya m A 0 displaystyle mu A geq 0 nbsp m A displaystyle mu A nbsp aditivna tobto dlya dovilnogo skinchenogo rozkladu A A 1 A 2 A n displaystyle A A 1 cup A 2 cup dots cup A n nbsp A i A j displaystyle A i cap A j varnothing nbsp bude vikonuvatis rivnist m A k 1 n m A k displaystyle mu A sum k 1 n mu A k nbsp Sistema mnozhin s displaystyle sigma nbsp nazivayetsya napivkilcem yaksho vona mistit porozhnyu mnozhinu zamknena u vidnoshenni do utvorennya peretiniv i yaksho z prinalezhnosti do s displaystyle sigma nbsp mnozhini A displaystyle A nbsp ta A 1 A displaystyle A 1 subset A nbsp viplivaye mozhlivist predstavlennya mnozhini A displaystyle A nbsp u viglyadi ob yednannya A k 1 n A k displaystyle A bigcup k 1 n A k nbsp de A k displaystyle A k nbsp poparno neperetinayuchi mnozhini z s displaystyle sigma nbsp persha z yakih ye zadana mnozhina A 1 displaystyle A 1 nbsp Zlicheno aditivna mira Redaguvati Nehaj zadano prostir X displaystyle X nbsp z vidilenoyu s algebroyu F displaystyle mathcal F nbsp Funkciya m F 0 displaystyle mu mathcal F to 0 infty nbsp nazivayetsya zlicheno aditivnoyu abo s aditivnoyu miroyu yaksho vona zadovolnyaye nastupnim vimogam m 0 displaystyle mu varnothing 0 nbsp s aditivnist Yaksho E n n 1 F displaystyle E n n 1 infty subset mathcal F nbsp zlichene simejstvo mnozhin sho poparno ne peretinayutsya z F displaystyle mathcal F nbsp tobto E i E j i j displaystyle E i cap E j varnothing i not j nbsp tom n 1 E n n 1 m E n displaystyle mu left bigcup limits n 1 infty E n right sum limits n 1 infty mu E n nbsp Prodovzhennya miri Redaguvati Mira m displaystyle mu nbsp nazivayetsya prodovzhennyam miri m displaystyle m nbsp yaksho F m F m displaystyle mathcal F m subset mathcal F mu nbsp i dlya kozhnoyi A F m displaystyle A in mathcal F m nbsp vikonuyetsya rivnist m A m A displaystyle mu A m A nbsp Pri comu dlya kozhnoyi miri m A displaystyle m A nbsp zadanoyi na deyakomu napivkilci F m displaystyle mathcal F m nbsp isnuye yedine prodovzhennya m A displaystyle m A nbsp sho maye yak oblast viznachennya kilce R F m displaystyle mathcal R mathcal F m nbsp tobto minimalne kilce nad F m displaystyle mathcal F m nbsp Primitki Redaguvati Dovilna zlicheno aditivna mira ye skincheno aditivnoyu ale ne navpaki Yaksho mira vsogo prostoru skinchena tobto m X lt displaystyle mu X lt infty nbsp to taka mira nazivayetsya skinchenoyu V protilezhnomu vipadku mira neskinchena Na pryamij ta dvovimirnij ploshini isnuye neskinchena kilkist prodovzhen miri Lebega z s algebri porodzhuvanoyi vidkritimi pidmnozhinami na mnozhinu vsih mnozhin sho zberigaye skinchenu aditivnist miri Dlya zhodnogo z netrivialnih evklidovih prostoriv ne isnuye bud yakogo zlicheno aditivnogo rozshirennya miri Lebega na mnozhinu vsih jogo pidmnozhin Prikladi RedaguvatiMira Zhordana priklad skincheno aditivnoyi miri Mira Lebega priklad neskinchenoyi miri Imovirnist priklad skinchenoyi miri Div takozh Redaguvati nbsp Portal Matematika Vektorna mira Vimirna mnozhina Zaryad teoriya miri Kompleksna mira Metrichnij prostirDzherela RedaguvatiVulih B Z 1973 Kratkij kurs teorii funkcij veshestvennoj peremennoj vvedenie v teoriyu integrala M Nauka s 352 Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mira mnozhini amp oldid 38326211