Множина називається вимірною щодо міри μ, якщо вона належить до σ-алгебри на якій визначена μ. Для підмножин евклідового простору, якщо міра не вказана, то вважається, що μ це міра Лебега.[джерело?]
В сенсі Лебега Редагувати
Множина називається вимірною (в сенсі Лебега), якщо для довільного знайдеться така елементарна множина , що:
де:
- — зовнішня міра множини. Якщо функція розглядається лише на вимірних множинах, то вона називається мірою Лебега.
- — симетрична різниця множин.
Іншими словами, якщо множина вимірна, то її можливо «як завгодно точно наблизити» елементарними множинами.
Властивості Редагувати
- Сукупність вимірних множин замкнена відносно операцій взяття скінчених або злічених сум та перетинів (тобто, являє собою σ-алгебру).
- Функція μ σ-адитивна на .
- Доповнення вимірної множини також вимірна множина.
- Сума та перетин скінченої кількості вимірних множин також вимірні множини.
- Різниця та симетрична різниця двох вимірних множин також вимірна множина.
- Довільна множина зовнішня міра якого дорівнює 0, є вимірним.
Невимірні множини Редагувати
Не всі підмножини Евклідового простору вимірні в сенсі Лебега; прикладами невимірних множин є множина Віталі та невимірні множини, визначені в парадоксі Гаусдорфа, парадоксі Банаха-Тарського.
Див. також Редагувати
Література Редагувати
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
| Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. (жовтень 2015) |
| Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |