www.wikidata.uk-ua.nina.az

Інтеграл Даніелла Одне з основних ускладнень у використанні традиційного інтеграла Лебега полягає в тому що його застосу

Інтеграл Даніелла

Одне з основних ускладнень у використанні традиційного інтеграла Лебега полягає в тому, що його застосування вимагає попередньої розробки відповідної теорії міри.

Існує інший підхід, викладений Даніеллем в 1918 році в його статті «Загальний вид інтеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), що не має цього недоліку і що має значні переваги при узагальненні на простори вищих розмірностей і подальших узагальненнях (наприклад, у формі інтеграла Стілтьєса).

Визначення Редагувати

Основна ідея полягає в аксіоматизуванні поняття інтеграла. Розглянемо сімейство обмежених дійснозначних функцій (названих елементарними функціями), визначених на множині , що задовольняє таким аксіомам:

1. — лінійний простір із звичайними операціями додавання і скалярного множення.

2. : якщо функція належить , то її модуль також належить

Крім того, на просторі елементарних функцій визначається позитивно визначений неперервний лінійний функціонал , названий елементарний інтеграл.

  1. Лінійність: якщо h і k обидва належать H, і , — довільні дійсні числа, тоді .
  2. Невід'ємність: якщо , тоді .
  3. Неперервність: якщо незростаюча послідовність (тобто ) функцій з , які збігаються до нуля для всіх в , тоді .

У цих термінах можна визначити множину міри нуль. Множина , що є підмножиною , має міру нуль, якщо для будь-якого існує неспадна послідовність невід'ємних елементарних функцій така, що і на .

Якщо деяка умова виконується на скрізь, окрім, можливо, підмножини міри нуль, то говорять, що воно виконується майже всюди.

Розглянемо множину , що складається зі всіх функцій, що є межею неспадних послідовностей елементарних функцій майже всюди, причому множина інтегралів обмежена. Інтеграл функції за визначенням дорівнює:

Можна показати, що це визначення коректне, тобто воно не залежить від вибору послідовності .

Властивості Редагувати

За допомогою цієї конструкції можуть бути доведені майже всі теореми теорії інтеграла Лебега, наприклад теорема Лебега про домінантну збіжність, теорема Тонеллі — Фубіні, лема Фату і теорема Ріса — Фішера. Його властивості такі ж, як і у звичайного інтеграла Лебега.

Міри, що вводяться на основі інтеграла Деніелла Редагувати

Завдяки природній відповідності між множинами і функціями, можливо побудувати теорію міри на основі інтеграла Деніелла. Якщо взяти характеристичну функцію χ(x) деякої множини, то її інтеграл може бути взятий за міру цієї множини. Можна показати, що це визначення еквівалентне класичному визначенню міри по Лебегу.

Переваги перед класичними визначеннями Редагувати

Така побудова узагальненого інтеграла має деякі переваги перед методом Лебега, особливо у функціональному аналізі. Конструкції Лебега і Деніелла еквівалентні, якщо розглядати як елементарні ступінчасті функції, проте при узагальненні поняття інтеграла на складніші об'єкти (наприклад, лінійні функціонали) виникають істотні труднощі в побудові інтеграла за Лебегом. За Деніеллем інтеграл будується простіше.

Дивись також Редагувати

Література Редагувати

  • Daniell, Percy John, 1918, "A general form of integral, " Annals of Mathematics 19:: 279-94.
  • ------, 1919, "Integrals in an infinite number of dimensions, " Annals of Mathematics 20: 281-88.
  • ------, 1919, "Functions of limited variation in an infinite number of dimensions, " Annals of Mathematics 21: 30-38.
  • ------, 1920, "Further properties of the general integral, " Annals of Mathematics 21: 203-20.
  • ------, 1921, "Integral products and probability, " American Journal of Mathematics 43: 143-62.
  • Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
  • Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л — Интеграл, мера и производная, М., 1967
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Odne z osnovnih uskladnen u vikoristanni tradicijnogo integrala Lebega polyagaye v tomu sho jogo zastosuvannya vimagaye poperednoyi rozrobki vidpovidnoyi teoriyi miri Isnuye inshij pidhid vikladenij Daniellem v 1918 roci v jogo statti Zagalnij vid integrala Annals of Mathematics 19 279 sho ne maye cogo nedoliku i sho maye znachni perevagi pri uzagalnenni na prostori vishih rozmirnostej i podalshih uzagalnennyah napriklad u formi integrala Stiltyesa Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 3 Miri sho vvodyatsya na osnovi integrala Deniella 4 Perevagi pered klasichnimi viznachennyami 5 Divis takozh 6 LiteraturaViznachennya RedaguvatiOsnovna ideya polyagaye v aksiomatizuvanni ponyattya integrala Rozglyanemo simejstvo H displaystyle H nbsp obmezhenih dijsnoznachnih funkcij nazvanih elementarnimi funkciyami viznachenih na mnozhini X displaystyle X nbsp sho zadovolnyaye takim aksiomam 1 H displaystyle H nbsp linijnij prostir iz zvichajnimi operaciyami dodavannya i skalyarnogo mnozhennya 2 h x H h x H displaystyle h x in H Rightarrow h x in H nbsp yaksho funkciya nalezhit H displaystyle H nbsp to yiyi modul takozh nalezhit H displaystyle H nbsp Krim togo na prostori elementarnih funkcij viznachayetsya pozitivno viznachenij neperervnij linijnij funkcional I displaystyle I nbsp nazvanij elementarnij integral Linijnist yaksho h i k obidva nalezhat H i a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp dovilni dijsni chisla todi I a h b k a I h b I k displaystyle I alpha h beta k alpha Ih beta Ik nbsp Nevid yemnist yaksho h x 0 displaystyle h x geq 0 nbsp todi I h 0 displaystyle Ih geq 0 nbsp Neperervnist yaksho h n x displaystyle h n x nbsp nezrostayucha poslidovnist tobto h 1 h k displaystyle h 1 geq cdots geq h k geq cdots nbsp funkcij z H displaystyle H nbsp yaki zbigayutsya do nulya dlya vsih x displaystyle x nbsp v X displaystyle X nbsp todi I h n 0 displaystyle Ih n to 0 nbsp U cih terminah mozhna viznachiti mnozhinu miri nul Mnozhina Z displaystyle Z nbsp sho ye pidmnozhinoyu X displaystyle X nbsp maye miru nul yaksho dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp isnuye nespadna poslidovnist nevid yemnih elementarnih funkcij h p x H displaystyle h p x in H nbsp taka sho I h p lt e displaystyle Ih p lt varepsilon nbsp i sup p h p x 1 displaystyle sup p h p x geq 1 nbsp na Z displaystyle Z nbsp Yaksho deyaka umova vikonuyetsya na X displaystyle X nbsp skriz okrim mozhlivo pidmnozhini miri nul to govoryat sho vono vikonuyetsya majzhe vsyudi Rozglyanemo mnozhinu L displaystyle L nbsp sho skladayetsya zi vsih funkcij sho ye mezheyu nespadnih poslidovnostej h n displaystyle lbrace h n rbrace nbsp elementarnih funkcij majzhe vsyudi prichomu mnozhina integraliv I h n displaystyle Ih n nbsp obmezhena Integral funkciyi f L displaystyle f in L nbsp za viznachennyam dorivnyuye I f lim n I h n displaystyle If lim n to infty Ih n nbsp Mozhna pokazati sho ce viznachennya korektne tobto vono ne zalezhit vid viboru poslidovnosti h n displaystyle lbrace h n rbrace nbsp Vlastivosti RedaguvatiZa dopomogoyu ciyeyi konstrukciyi mozhut buti dovedeni majzhe vsi teoremi teoriyi integrala Lebega napriklad teorema Lebega pro dominantnu zbizhnist teorema Tonelli Fubini lema Fatu i teorema Risa Fishera Jogo vlastivosti taki zh yak i u zvichajnogo integrala Lebega Miri sho vvodyatsya na osnovi integrala Deniella RedaguvatiZavdyaki prirodnij vidpovidnosti mizh mnozhinami i funkciyami mozhlivo pobuduvati teoriyu miri na osnovi integrala Deniella Yaksho vzyati harakteristichnu funkciyu x x deyakoyi mnozhini to yiyi integral mozhe buti vzyatij za miru ciyeyi mnozhini Mozhna pokazati sho ce viznachennya ekvivalentne klasichnomu viznachennyu miri po Lebegu Perevagi pered klasichnimi viznachennyami RedaguvatiTaka pobudova uzagalnenogo integrala maye deyaki perevagi pered metodom Lebega osoblivo u funkcionalnomu analizi Konstrukciyi Lebega i Deniella ekvivalentni yaksho rozglyadati yak elementarni stupinchasti funkciyi prote pri uzagalnenni ponyattya integrala na skladnishi ob yekti napriklad linijni funkcionali vinikayut istotni trudnoshi v pobudovi integrala za Lebegom Za Deniellem integral buduyetsya prostishe Divis takozh RedaguvatiIntegral Rimana Integral Lebega Integral Stiltyesa Integral BohneraLiteratura RedaguvatiDaniell Percy John 1918 A general form of integral Annals of Mathematics 19 279 94 1919 Integrals in an infinite number of dimensions Annals of Mathematics 20 281 88 1919 Functions of limited variation in an infinite number of dimensions Annals of Mathematics 21 30 38 1920 Further properties of the general integral Annals of Mathematics 21 203 20 1921 Integral products and probability American Journal of Mathematics 43 143 62 Royden H L 1988 Real Analysis 3rd ed Prentice Hall Shilov G E Gurevich B L Integral mera i proizvodnaya M 1967 Shilov G E and Gurevich B L 1978 Integral Measure and Derivative A Unified Approach Richard A Silverman trans Dover Publications ISBN 0 486 63519 8 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Integral Daniella amp oldid 40287934