www.wikidata.uk-ua.nina.az

Інтегральне рівняння Інтегральним є рівняння яке містить інтеграл підінтегральний вираз якого включає в себе невідому фу

Інтегральне рівняння

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію


Визначення Редагувати

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію Нехай та - відомі функції. Інтегральні рівняння мають вигляд

або

де - чисельний множник. Функція під інтегралом називається ядром інтегрального рівняння і повинна бути визначена у прямокутнику Функції та повинні бути визначені у інтервалі

Інтегральне рівняння є лінійним, якщо невідома функція входить до нього лінійно. Обидва вищенаведені рівняння є лінійними. Якщо обидві границі інтегрування сталі, то рівняння називається інтегральним рівнянням Фредгольма. Рівняння, до якого невідома функція входить лише під знаком інтегралу, визначають як інтегральне рівняння першого роду. Перше з вищенаведених рівнянь є інтегральним рівнянням першого роду. Інтегральне рівняння другого роду - це рівняння, у якому невідома функція присутня як під знаком інтегралу, так і поза ним; друге з вищенаведених рівнянь - приклад такого рівняння.

Якщо рівняння таке, що кожний член містить невідому функцію, то воно представляє собою однорідне інтегральне рівняння. Якщо у рівняння входить член, який не містить невідому функцію, то воно є неоднорідним. Друге з вищенаведених рівнянь є прикладом однорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Рішення інтегрального рівняння базується на оберненні першого лінійного інтегрального виразу з метою віднаходження або на відшуканні функції , яка входить у друге рівняння.

Важливим рівнянням серед рівнянь першого роду є інтегральне рівняння Фур'є:

Ядром цього рівняння є

Власні функції однорідного інтегрального рівняння із симетричним ядром є ортогональними. Це значить, що

де

Нехай , помножимо та віднімемо одну рівність від іншої. Після інтегрування знаходимо

Перша частина цієї рівності дорівнює нулю (якщо переставити змінні інтегрування у другій частині подвійного інтегралу із врахуванням того, що ). Оскільки , то власні функції є ортогональними.


Основні види інтегральних рівнянь Редагувати

Лінійні рівняння Редагувати

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівняння Редагувати

Рівняння Урисона Редагувати

Стала  — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння Гаммерштейна Редагувати

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

де — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна Редагувати

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

Нелінійне Рівняння Вольтерра Редагувати

де функція неперервна за всіма своїми змінними.

Література Редагувати

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
  • В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Integralnim ye rivnyannya yake mistit integral pidintegralnij viraz yakogo vklyuchaye v sebe nevidomu funkciyu f x displaystyle f x Zmist 1 Viznachennya 2 Osnovni vidi integralnih rivnyan 2 1 Linijni rivnyannya 2 2 Nelinijni rivnyannya 2 2 1 Rivnyannya Urisona 2 2 2 Rivnyannya Gammershtejna 2 2 3 Rivnyannya Lyapunova Lihtenshtejna 2 2 4 Nelinijne Rivnyannya Volterra 3 Literatura 4 PosilannyaViznachennya RedaguvatiIntegralnim ye rivnyannya yake mistit integral pidintegralnij viraz yakogo vklyuchaye v sebe nevidomu funkciyu f x displaystyle f x nbsp Nehaj F x displaystyle F x nbsp ta K x y displaystyle K x y nbsp vidomi funkciyi Integralni rivnyannya mayut viglyadF x a b K x y f y d y displaystyle F x int a b K x y f y dy nbsp abof x l a b K x y f y d y displaystyle f x lambda int a b K x y f y dy nbsp de l C R displaystyle lambda in mathbb C lor mathbb R nbsp chiselnij mnozhnik Funkciya K x y displaystyle K x y nbsp pid integralom nazivayetsya yadrom integralnogo rivnyannya i povinna buti viznachena u pryamokutniku a x b a y b displaystyle a leq x leq b a leq y leq b nbsp Funkciyi F x displaystyle F x nbsp ta f x displaystyle f x nbsp povinni buti viznacheni u intervali a x b displaystyle a leq x leq b nbsp Integralne rivnyannya ye linijnim yaksho nevidoma funkciya vhodit do nogo linijno Obidva vishenavedeni rivnyannya ye linijnimi Yaksho obidvi granici integruvannya stali to rivnyannya nazivayetsya integralnim rivnyannyam Fredgolma Rivnyannya do yakogo nevidoma funkciya vhodit lishe pid znakom integralu viznachayut yak integralne rivnyannya pershogo rodu Pershe z vishenavedenih rivnyan ye integralnim rivnyannyam pershogo rodu Integralne rivnyannya drugogo rodu ce rivnyannya u yakomu nevidoma funkciya prisutnya yak pid znakom integralu tak i poza nim druge z vishenavedenih rivnyan priklad takogo rivnyannya Yaksho rivnyannya take sho kozhnij chlen mistit nevidomu funkciyu to vono predstavlyaye soboyu odnoridne integralne rivnyannya Yaksho u rivnyannya vhodit chlen yakij ne mistit nevidomu funkciyu to vono ye neodnoridnim Druge z vishenavedenih rivnyan ye prikladom odnoridnogo rivnyannya Fredgolma drugogo rodu Rishennya integralnogo rivnyannya bazuyetsya na obernenni pershogo linijnogo integralnogo virazu z metoyu vidnahodzhennya f y displaystyle f y nbsp abo na vidshukanni funkciyi f x displaystyle f x nbsp yaka vhodit u druge rivnyannya Vazhlivim rivnyannyam sered rivnyan pershogo rodu ye integralne rivnyannya Fur ye F x 1 2 p f y exp i x y d y displaystyle F x frac 1 sqrt 2 pi int infty infty f y exp ixy dy nbsp Yadrom cogo rivnyannya ye 1 2 p exp i x y displaystyle 1 sqrt 2 pi exp ixy nbsp Vlasni funkciyi odnoridnogo integralnogo rivnyannya iz simetrichnim yadrom ye ortogonalnimi Ce znachit sho a b f n x f m x d x 0 n m displaystyle int a b f n x f m x dx 0 quad quad n neq m nbsp def n x l n a b K x y f n y d y displaystyle f n x lambda n int a b K x y f n y dy nbsp f m x l m a b K x y f m y d y displaystyle f m x lambda m int a b K x y f m y dy nbsp Nehaj l m l n displaystyle lambda m neq lambda n nbsp pomnozhimo l m f m f n x displaystyle lambda m f m cdot f n x nbsp ta l n f n f m x displaystyle lambda n f n cdot f m x nbsp vidnimemo odnu rivnist vid inshoyi Pislya integruvannya znahodimo l m l n a b f n x f m x d x l n l m a b a b K x y f n y f m x K x y f m x f n x d y d x displaystyle lambda m lambda n int a b f n x f m x dx lambda n lambda m int a b int a b K x y f n y f m x K x y f m x f n x dy dx nbsp Persha chastina ciyeyi rivnosti dorivnyuye nulyu yaksho perestaviti zminni integruvannya u drugij chastini podvijnogo integralu iz vrahuvannyam togo sho K x y K y x displaystyle K x y K y x nbsp Oskilki l m l n displaystyle lambda m neq lambda n nbsp to vlasni funkciyi ye ortogonalnimi Osnovni vidi integralnih rivnyan RedaguvatiLinijni rivnyannya Redaguvati Najprostishim tipom rivnyan ye rivnyannya Fredgolma pershogo rodu f x a b K x t f t d t displaystyle f x int a b K x t varphi t dt nbsp de f ye nevidomoyu funkciyeyu f ye deyakoyu danoyu funkciyeyu K ye vidomoyu funkciyeyu dvoh zminnih sho nazivayetsya yadrom rivnyannya Yaksho nevidoma funkciya znahoditsya yak pid znakom integrala tak i za jogo mezhami to take rivnyannya nazivayetsya rivnyanyam Fredgolma drugogo rodu f x f x l a b K x t f t d t displaystyle varphi x f x lambda int a b K x t varphi t dt nbsp De parametr l ye nevidomim i vidigraye tu zh rol sho vlasne znachennya u linijnij algebri Yaksho mezhi integruvannya sami ye zminnimi to take integralne rivnyannya nazivayetsya rivnyannyam Volterra Vidpovidno rivnyannya Volterra pershogo i drugogo rodu mayut viglyad f x a x K x t f t d t displaystyle f x int a x K x t varphi t dt nbsp f x f x l a x K x t f t d t displaystyle varphi x f x lambda int a x K x t varphi t dt nbsp V usih podanih vishe rivnyannyah yaksho funkciya f vsyudi rivna nulyu to rivnyannya nazivayetsya odnoridnim V inshomu vipadku neodnoridnim Nelinijni rivnyannya Redaguvati Rivnyannya Urisona Redaguvati f x a b K x s f s d s K x s f C a x s b M f M displaystyle varphi x int limits a b K x s varphi s ds qquad K x s varphi in C a leqslant x s leqslant b M leqslant varphi leqslant M nbsp Stala M displaystyle M nbsp deyake dodatne chislo yake ne zavzhdi napered mozhna viznachiti Rivnyannya Gammershtejna Redaguvati Rivnyannya Gammershtejna ye chastkovim vipadkom rivnyan Urisona f x a b K x s F s f s d s displaystyle varphi x int limits a b K x s F s varphi s ds nbsp de K x s displaystyle K x s nbsp yadro Fredgolma Rivnyannya Lyapunova Lihtenshtejna Redaguvati Rivnyannya Lyapunova Lihtenshtejna rivnyannya z suttyevo nelinijnimi operatorami napriklad f x f x l a b K 1 x s f s d s m a b a b K 1 1 x s z f x f z d s d z displaystyle varphi x f x lambda int limits a b K 1 x s varphi s ds mu int limits a b int limits a b K 1 1 x s z varphi x varphi z ds dz ldots nbsp Nelinijne Rivnyannya Volterra Redaguvati f x a x F x s f s d s displaystyle varphi x int limits a x F x s varphi s ds nbsp de funkciya F x s f displaystyle F x s varphi nbsp neperervna za vsima svoyimi zminnimi Literatura RedaguvatiM L Krasnov Integralnye uravneniya vvedenie v teoriyu M Nauka 1975 V S Vladimirov V V Zharinov Uravneniya matematicheskoj fiziki M Fizmatlit 2004 ISBN 5 9221 0310 5 Andrei D Polyanin and Alexander V Manzhirov Handbook of Integral Equations CRC Press Boca Raton 1998 ISBN 0 8493 2876 4 Posilannya RedaguvatiINTEGRA LNI RIVNYa NNYa Arhivovano 23 kvitnya 2016 u Wayback Machine ESU Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Integralne rivnyannya amp oldid 37084330