www.wikidata.uk-ua.nina.az

Основна теорема про лишки результат в комплексному аналізі що має важливе застосування для обчислення криволінійних інте

Основна теорема про лишки

Основна теорема про лишки — результат в комплексному аналізі, що має важливе застосування для обчислення криволінійних інтегралів голоморфних функцій, а також для обчислення деяких дійсних інтегралів і суми рядів певного типу. Є узагальненням інтегральної формули Коші і інтегральної теореми Коші.

Випадок жорданової кривої γ у області U і особливих точок an.

Твердження Редагувати

Нехай U — відкрита, однозв'язна підмножина комплексної площини , z1,...,zn множина особливих точок у U і f — функція що є голоморфною у множині U - {z1,...,zn}. Якщо γ — деяка замкнута спрямлювана крива у U, якій не належать zk. Тоді  :

В даній рівності, Res(f,zk) позначає лишок функції f в точці zk, а індекс контуру γ відносно точки zk.

Дане число може бути визначене за формулою:

Замітка. У найпоширенішому випадку крива вважається жордановою, тобто вона ніде не перетинається сама з собою. В такому випадку крива розбиває область U на дві частини внутрішню та зовнішню. Для внутрішніх особливих точок (як на малюнку) в таких випадках , для зовнішніх і їх можна не враховувати. Тоді рівність із твердження теореми перепишеться:

Доведення Редагувати

Нехай F — множина особливих точок функції f, і для , функція допускає розклад у ряд Лорана в деякому проколотому диску радіуса з центром у точці  :

Нехай ряд, визначений із сингулярної частини ряду Лорана :

Він є нормально збіжним на компактних підмножинах .

Визначимо функцію g у всій множині U як:

Дана функція є голоморфною в усій області U і тому згідно з інтегральною теоремою Коші:

згідно з визначенням функції g :

Зважаючи на нормальну збіжність можна записати :

Обчислюючи інтеграли одержуємо :

Об'єднавши дві попередні формули можна одержати:

і згадавши визначення лишка одержуємо необхідний результат:

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Література Редагувати

  • Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  • Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984), The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, ISBN 90-277-1623-4
  • Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Osnovna teorema pro lishki rezultat v kompleksnomu analizi sho maye vazhlive zastosuvannya dlya obchislennya krivolinijnih integraliv golomorfnih funkcij a takozh dlya obchislennya deyakih dijsnih integraliv i sumi ryadiv pevnogo tipu Ye uzagalnennyam integralnoyi formuli Koshi i integralnoyi teoremi Koshi Vipadok zhordanovoyi krivoyi g u oblasti U i osoblivih tochok an Zmist 1 Tverdzhennya 2 Dovedennya 3 Div takozh 4 Posilannya 5 LiteraturaTverdzhennya RedaguvatiNehaj U vidkrita odnozv yazna pidmnozhina kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C nbsp z1 zn mnozhina osoblivih tochok u U i f funkciya sho ye golomorfnoyu u mnozhini U z1 zn Yaksho g deyaka zamknuta spryamlyuvana kriva u U yakij ne nalezhat zk Todi g f z d z 2 p i k 1 n Res f z k I n d g z k displaystyle oint gamma f z text d z 2 pi i sum k 1 n operatorname Res f z k mathrm Ind gamma z k nbsp V danij rivnosti Res f zk poznachaye lishok funkciyi f v tochci zk a I n d g z k displaystyle mathrm Ind gamma z k nbsp indeks konturu g vidnosno tochki zk Dane chislo mozhe buti viznachene za formuloyu Ind g z k 1 2 p i g d z z z k displaystyle operatorname Ind gamma z k frac 1 2 pi i int gamma frac text d z z z k nbsp Zamitka U najposhirenishomu vipadku kriva vvazhayetsya zhordanovoyu tobto vona nide ne peretinayetsya sama z soboyu V takomu vipadku kriva rozbivaye oblast U na dvi chastini vnutrishnyu ta zovnishnyu Dlya vnutrishnih osoblivih tochok yak na malyunku v takih vipadkah I n d g z k 1 displaystyle mathrm Ind gamma z k 1 nbsp dlya zovnishnih I n d g z k 0 displaystyle mathrm Ind gamma z k 0 nbsp i yih mozhna ne vrahovuvati Todi rivnist iz tverdzhennya teoremi perepishetsya g f z d z 2 p i k 1 n Res f z k displaystyle oint gamma f z text d z 2 pi i sum k 1 n operatorname Res f z k nbsp de suma beretsya po vsih vnutrishnih osoblivih tochkah Dovedennya RedaguvatiNehaj F mnozhina osoblivih tochok funkciyi f i dlya z 0 F displaystyle z 0 in F nbsp funkciya dopuskaye rozklad u ryad Lorana v deyakomu prokolotomu disku D z 0 r z 0 displaystyle D z 0 r backslash z 0 nbsp radiusa r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp z centrom u tochci z 0 displaystyle z 0 nbsp f z n Z b z 0 n z z 0 n displaystyle f z sum n in mathbb Z b z 0 n z z 0 n nbsp Nehaj h z 0 displaystyle h z 0 nbsp ryad viznachenij iz singulyarnoyi chastini ryadu Lorana h z 0 z 1 b z 0 n z z 0 n displaystyle h z 0 z sum infty 1 b z 0 n z z 0 n nbsp Vin ye normalno zbizhnim na kompaktnih pidmnozhinah U z 0 displaystyle U z 0 nbsp Viznachimo funkciyu g u vsij mnozhini U yak g z f z z i F h z i z displaystyle g z f z sum z i in F h z i z nbsp Dana funkciya ye golomorfnoyu v usij oblasti U i tomu zgidno z integralnoyu teoremoyu Koshi g g z d z 0 displaystyle oint gamma g z dz 0 nbsp zgidno z viznachennyam funkciyi g g f z d z z i F g h z i z d z displaystyle oint gamma f z dz sum z i in F oint gamma h z i z dz nbsp Zvazhayuchi na normalnu zbizhnist h z i displaystyle h z i nbsp mozhna zapisati g h z i z d z 1 b z i n g z z i n d z displaystyle oint gamma h z i z dz sum infty 1 b z i n oint gamma z z i n dz nbsp Obchislyuyuchi integrali oderzhuyemo g z z i n d z 2 i p I n d g z i n 1 0 n 1 displaystyle oint gamma z z i n dz begin cases 2i pi mathrm Ind gamma z i amp n 1 0 amp n neq 1 end cases nbsp Ob yednavshi dvi poperedni formuli mozhna oderzhati g f z d z 2 i p z i F b z i 1 I n d g z i displaystyle oint gamma f z dz 2i pi sum z i in F b z i 1 mathrm Ind gamma z i nbsp i zgadavshi viznachennya lishka oderzhuyemo neobhidnij rezultat g f z d z 2 i p z i F R e s f z i I n d g z i displaystyle oint gamma f z dz 2i pi sum z i in F mathrm Res f z i mathrm Ind gamma z i nbsp Div takozh RedaguvatiLishok Integralna formula Koshi Integralna teorema Koshi Princip argumentuPosilannya RedaguvatiResidue theorem na sajti MathWorld Residue Theorem Module by John H Mathews Prikladi zastosuvannyaLiteratura RedaguvatiDedonne Zh Osnovy sovremennogo analiza M Mir 1964 Shabat B V Vvedenie v kompleksnyj analiz M Nauka 1969 577 str Mitronivic Dragoslav Keckic Jovan 1984 The Cauchy method of residues Theory and applications D Reidel Publishing Company ISBN 90 277 1623 4 Rudin Walter Real and Complex Analysis McGraw Hill ISBN 978 0070542341 Zill Dennis G Shanahan Patrick D A first course in complex analysis with applications Jones and Bartlett Publishers Inc ISBN 0763714372 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Osnovna teorema pro lishki amp oldid 39122383