www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівняння Бете Солпітера назване на честь Ганса Бете та Едвіна Солпітера 1 описує зв язані стани квантовопольової системи

Рівняння Бете — Солпітера

Рівняння Бете — Солпітера (назване на честь Ганса Бете та Едвіна Солпітера) описує зв'язані стани квантовопольової системи двох тіл (частинок) у рамках релятивістськи інваріантного формалізму. Першим рівняння опублікував у 1950-му Йоїтіро Намбу, але не навів доведення.

Графічне подання рівняння Бете-Солпітера з ілюстрацією рекурсивного означення

Через загальність та застосування в численних підрозділах теоретичної фізики рівняння Бете-Солпітера має багато різних форм. Форма, що часто використовується у фізиці високих енергій, має вигляд

де Γ — амплітуда Бете-Солпетера, K — взаємодія, а S  — пропагатори двох частинок.

У квантовій теорії зв'язані стани живуть нескінченно довго (інакше їх називають резонансами), тому складові взаємодіють нескінченну кількість разів. У підсумку, за нескінченну кількість разів між двома частинками реалізуються усі можливі взаємодії, а рівняння Бете-Солпітера є інструментом для розрахунку властивостей зв'язаних станів. Розв'язок цього рівняння, амплітуда Бете-Солпітера, описує зв'язаний стан, що є предметом інтересу.

Оскільки його можна вивести, ідентифікуючи зв'язані стани з полюсами S-матриці, його можна зв'язати з квантовим описом процесів розсіяння і функцією Гріна.

Рівняння Бете-Солпітера — загальний інструмент квантової теорії поля, тож воно зустрічається у будь-якій квантовопольовій теорії. Прикладами можуть слугувати позитроній (зв'язаний стан електрон-позитронної пари), екситони (зв'язаний стан електрона і дірки) та мезони (зв'язаний стан кварка й антикварка).

Навіть для простих систем, таких як позитроній рівняння не розв'язується точно, хоча в принципі його можна сформулювати точно. Класифікацію станів можна провести без точного розв'язку. Якщо одна з частинок значно масивніша за іншу, задача значно спрощується, оскільки зводиться до рівняння Дірака для легшої частинки в зовнішньому потенціалі важчої частинки.

Вивід ред.

Вихідним пунктом виводу рівняння Бете-Солпітера є двочастинкове (чотириточкове) рівняння Дайсона

в імпульсному просторі. Тут "G" — двочастинкова функція Гріна , "S" — вільні попагатори, а "K" — ядро взаємодії, в якому містяться всі можливі взаємодії між двома частинками. Тепер важливим кроком є припущення про те, що зв'язані стани проявляються як полюси функції Гріна. Припускається, що дві частинки сходяться й утворюють зв'язаний стан із масою "M", цей зв'язаний стан розповсюджується вільно, а потім знову розпадається на дві складові. Таким чином, вводиться хвильова функція Бете-Солпітера , що є перехідною амплітудою двох складових у зв'язаний стан , а тоді утворює анзац для функції Гріна поблизу полюса у формі

де P — повний імпульс системи. Очевидно, якщо для цього імпульсу виконується , а це співвідношення між енергією та імпульсом у теорії відносності (де 4-імпульс та ), чотириточкова функція Гріна має полюс. Якщо підставити цей анзац у рівняння Дайсона і задати повний імпульс "P" так, щоб виконувалося релятивістське співвідношення між енергією та імпульсом, полюс виникає по обидва боки від знаку рівності.

Порівняння лишків дає:

Це вже рівняння Бете-Солпітера, записане через хвильову функцію Бете-Солпітера. Щоб отримати наведену вище формулу треба ввести амплітуду Бете-Солпітера "Γ"

і оримати

що й записано вище з явною залежністю від імпульсу.

Наближення веселки-східців ред.

Графічне подання рівняння Бете-Солпітера в наближенні східців

У принципі ядро K містить усі можливі незвідні двочастинкові взаємодії, що можуть статися між двома складовими. Тож, для практичних розрахунків необхідно моделювати взаємодію, вибираючи тільки підмножину взаємодій. Як і в квантовій теорії поля, взаємодія описується через обмін частинками (наприклад, фононами в квантовій електродинаміці або глюонами в квантовій хромодинаміці), найпростіша взаємодія зводиться до тільки одної такої силової частинки.

Оскільки рівняння Бете-Солпітера підсумовує взаємодію нескінченне число разів, відповідна діаграма Фейнмана має вигляд східців (веселки).

Тоді як у квантовій електродинаміці наближення східців призводить до проблем з перехресною симетрією та калібрувальною інваріантністю, а тому вимагає включення перехресних східцевих членів, у квантовій хромодинаміці це наближення доволі часто використовується феноменологічно для розрахунку мас адронів, оскільки воно зберігає порушення хіральної симетрії, а тому є важливим внеском у генерацію цих мас.

Нормування ред.

Як для будь-якого однорідного рівняння, розв'язок рівняння Бете-Солпітера визначений тільки з точністю до множника. Цей множник потрібно уточнити, накладаючи певні умови нормування. Для амплітуд Бете-Солпітера це зазвичай означає вимогу збереження ймовірності (аналогічно нормуванню квантмеханічної хвильової функції), що відповідає рівнянню

Нормування заряду та тензора енергії-імпульсу зв'язаного стану веде до того ж рівняння. У східцевому наближенні ядро взаємодії не залежить від повного імпульсу амплітуди Бете-Солпітера, а тому, у цьому випадку другий член умови нормування зникає.

Див. також ред.

Посилання ред.

  1. H. Bethe, E. Salpeter (1951). A Relativistic Equation for Bound-State Problems. Physical Review. 84 (6): 1232. Bibcode:1951PhRv...84.1232S. doi:10.1103/PhysRev.84.1232.
  2. Y. Nambu (1950). Force Potentials in Quantum Field Theory. Progress of Theoretical Physics. 5 (4): 614. doi:10.1143/PTP.5.614.
  3. M. S. Dresselhaus та ін. (2007). Exciton Photophysics of Carbon Nanotubes. Annual Review of Physical Chemistry. 58: 719. Bibcode:2007ARPC...58..719D. doi:10.1146/annurev.physchem.58.032806.104628.
  4. ↑ P. Maris and P. Tandy (2006). QCD modeling of hadron physics. Nuclear Physics B. 161: 136. arXiv:nucl-th/0511017. Bibcode:2006NuPhS.161..136M. doi:10.1016/j.nuclphysbps.2006.08.012.
  5. N. Nakanishi (1969). A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation. Progress of Theoretical Physics Supplement. 43: 1—81. Bibcode:1969PThPS..43....1N. doi:10.1143/PTPS.43.1.

Література ред.

Many modern quantum field theory textbooks and a few articles provide pedagogical accounts for the Bethe–Salpeter equation's context and uses. See:

  • W. Greiner, J. Reinhardt (2003). Quantum Electrodynamics (вид. 3rd). Springer. ISBN 978-3-540-44029-1.
  • Z.K. Silagadze (1998). «Wick–Cutkosky model: An introduction». arXiv:hep-ph/9803307. 

Still a good introduction is given by the review article of Nakanishi

For historical aspects, see

Посилання ред.

  • BerkeleyGW — метод псевдопотенціалу для плоских хвиль
  • ExC — плоскі хвилі
  • Fiesta — Gaussian all-electron method
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rivnyannya Bete Solpitera nazvane na chest Gansa Bete ta Edvina Solpitera 1 opisuye zv yazani stani kvantovopolovoyi sistemi dvoh til chastinok u ramkah relyativistski invariantnogo formalizmu Pershim rivnyannya opublikuvav u 1950 mu Joyitiro Nambu ale ne naviv dovedennya 2 Grafichne podannya rivnyannya Bete Solpitera z ilyustraciyeyu rekursivnogo oznachennya Cherez zagalnist ta zastosuvannya v chislennih pidrozdilah teoretichnoyi fiziki rivnyannya Bete Solpitera maye bagato riznih form Forma sho chasto vikoristovuyetsya u fizici visokih energij maye viglyad G P p d 4 k 2 p 4 K P p k S k P 2 G P k S k P 2 displaystyle Gamma P p int frac d 4 k 2 pi 4 K P p k S k tfrac P 2 Gamma P k S k tfrac P 2 de G amplituda Bete Solpetera K vzayemodiya a S propagatori dvoh chastinok U kvantovij teoriyi zv yazani stani zhivut neskinchenno dovgo inakshe yih nazivayut rezonansami tomu skladovi vzayemodiyut neskinchennu kilkist raziv U pidsumku za neskinchennu kilkist raziv mizh dvoma chastinkami realizuyutsya usi mozhlivi vzayemodiyi a rivnyannya Bete Solpitera ye instrumentom dlya rozrahunku vlastivostej zv yazanih staniv Rozv yazok cogo rivnyannya amplituda Bete Solpitera opisuye zv yazanij stan sho ye predmetom interesu Oskilki jogo mozhna vivesti identifikuyuchi zv yazani stani z polyusami S matrici jogo mozhna zv yazati z kvantovim opisom procesiv rozsiyannya i funkciyeyu Grina Rivnyannya Bete Solpitera zagalnij instrument kvantovoyi teoriyi polya tozh vono zustrichayetsya u bud yakij kvantovopolovij teoriyi Prikladami mozhut sluguvati pozitronij zv yazanij stan elektron pozitronnoyi pari eksitoni zv yazanij stan elektrona i dirki 3 ta mezoni zv yazanij stan kvarka j antikvarka 4 Navit dlya prostih sistem takih yak pozitronij rivnyannya ne rozv yazuyetsya tochno hocha v principi jogo mozhna sformulyuvati tochno Klasifikaciyu staniv mozhna provesti bez tochnogo rozv yazku Yaksho odna z chastinok znachno masivnisha za inshu zadacha znachno sproshuyetsya oskilki zvoditsya do rivnyannya Diraka dlya legshoyi chastinki v zovnishnomu potenciali vazhchoyi chastinki Zmist 1 Vivid 2 Nablizhennya veselki shidciv 3 Normuvannya 4 Div takozh 5 Posilannya 6 Literatura 7 PosilannyaVivid red Vihidnim punktom vivodu rivnyannya Bete Solpitera ye dvochastinkove chotiritochkove rivnyannya Dajsona G S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 G displaystyle G S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 G nbsp v impulsnomu prostori Tut G dvochastinkova funkciya Grina W ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 W displaystyle langle Omega phi 1 phi 2 phi 3 phi 4 Omega rangle nbsp S vilni popagatori a K yadro vzayemodiyi v yakomu mistyatsya vsi mozhlivi vzayemodiyi mizh dvoma chastinkami Teper vazhlivim krokom ye pripushennya pro te sho zv yazani stani proyavlyayutsya yak polyusi funkciyi Grina Pripuskayetsya sho dvi chastinki shodyatsya j utvoryuyut zv yazanij stan iz masoyu M cej zv yazanij stan rozpovsyudzhuyetsya vilno a potim znovu rozpadayetsya na dvi skladovi Takim chinom vvoditsya hvilova funkciya Bete Solpitera PS W ϕ 1 ϕ 2 ps displaystyle Psi langle Omega phi 1 phi 2 psi rangle nbsp sho ye perehidnoyu amplitudoyu dvoh skladovih ϕ i displaystyle phi i nbsp u zv yazanij stan ps displaystyle psi nbsp a todi utvoryuye anzac dlya funkciyi Grina poblizu polyusa u formi G PS PS P 2 M 2 displaystyle G approx frac Psi bar Psi P 2 M 2 nbsp de P povnij impuls sistemi Ochevidno yaksho dlya cogo impulsu vikonuyetsya P 2 M 2 displaystyle P 2 M 2 nbsp a ce spivvidnoshennya mizh energiyeyu ta impulsom u teoriyi vidnosnosti de 4 impuls P m E c p displaystyle P mu left E c vec p right nbsp ta P 2 P m P m displaystyle P 2 P mu P mu nbsp chotiritochkova funkciya Grina maye polyus Yaksho pidstaviti cej anzac u rivnyannya Dajsona i zadati povnij impuls P tak shob vikonuvalosya relyativistske spivvidnoshennya mizh energiyeyu ta impulsom polyus vinikaye po obidva boki vid znaku rivnosti PS PS P 2 M 2 S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 PS PS P 2 M 2 displaystyle frac Psi bar Psi P 2 M 2 S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 frac Psi bar Psi P 2 M 2 nbsp Porivnyannya lishkiv daye PS S 1 S 2 K 12 PS displaystyle Psi S 1 S 2 K 12 Psi nbsp Ce vzhe rivnyannya Bete Solpitera zapisane cherez hvilovu funkciyu Bete Solpitera Shob otrimati navedenu vishe formulu treba vvesti amplitudu Bete Solpitera G PS S 1 S 2 G displaystyle Psi S 1 S 2 Gamma nbsp i orimati G K 12 S 1 S 2 G displaystyle Gamma K 12 S 1 S 2 Gamma nbsp sho j zapisano vishe z yavnoyu zalezhnistyu vid impulsu Nablizhennya veselki shidciv red nbsp Grafichne podannya rivnyannya Bete Solpitera v nablizhenni shidciv U principi yadro K mistit usi mozhlivi nezvidni dvochastinkovi vzayemodiyi sho mozhut statisya mizh dvoma skladovimi Tozh dlya praktichnih rozrahunkiv neobhidno modelyuvati vzayemodiyu vibirayuchi tilki pidmnozhinu vzayemodij Yak i v kvantovij teoriyi polya vzayemodiya opisuyetsya cherez obmin chastinkami napriklad fononami v kvantovij elektrodinamici abo glyuonami v kvantovij hromodinamici najprostisha vzayemodiya zvoditsya do tilki odnoyi takoyi silovoyi chastinki Oskilki rivnyannya Bete Solpitera pidsumovuye vzayemodiyu neskinchenne chislo raziv vidpovidna diagrama Fejnmana maye viglyad shidciv veselki Todi yak u kvantovij elektrodinamici nablizhennya shidciv prizvodit do problem z perehresnoyu simetriyeyu ta kalibruvalnoyu invariantnistyu a tomu vimagaye vklyuchennya perehresnih shidcevih chleniv u kvantovij hromodinamici ce nablizhennya dovoli chasto vikoristovuyetsya fenomenologichno dlya rozrahunku mas adroniv 4 oskilki vono zberigaye porushennya hiralnoyi simetriyi a tomu ye vazhlivim vneskom u generaciyu cih mas Normuvannya red Yak dlya bud yakogo odnoridnogo rivnyannya rozv yazok rivnyannya Bete Solpitera viznachenij tilki z tochnistyu do mnozhnika Cej mnozhnik potribno utochniti nakladayuchi pevni umovi normuvannya Dlya amplitud Bete Solpitera ce zazvichaj oznachaye vimogu zberezhennya jmovirnosti analogichno normuvannyu kvantmehanichnoyi hvilovoyi funkciyi sho vidpovidaye rivnyannyu 5 2 P m G P m S 1 S 2 S 1 S 2 P m K S 1 S 2 G displaystyle 2P mu bar Gamma left frac partial partial P mu left S 1 otimes S 2 right S 1 S 2 left frac partial partial P mu K right S 1 S 2 right Gamma nbsp Normuvannya zaryadu ta tenzora energiyi impulsu zv yazanogo stanu vede do togo zh rivnyannya U shidcevomu nablizhenni yadro vzayemodiyi ne zalezhit vid povnogo impulsu amplitudi Bete Solpitera a tomu u comu vipadku drugij chlen umovi normuvannya znikaye Div takozh red ABINIT Popravka Araki Zuhera Rivnyannya Brejta Rivnyannya Lippmanna Shvingera Rivnyannya Shvingera Rivnyannya Diraka dlya dvoh til YAMBOPosilannya red H Bethe E Salpeter 1951 A Relativistic Equation for Bound State Problems Physical Review 84 6 1232 Bibcode 1951PhRv 84 1232S doi 10 1103 PhysRev 84 1232 Y Nambu 1950 Force Potentials in Quantum Field Theory Progress of Theoretical Physics 5 4 614 doi 10 1143 PTP 5 614 M S Dresselhaus ta in 2007 Exciton Photophysics of Carbon Nanotubes Annual Review of Physical Chemistry 58 719 Bibcode 2007ARPC 58 719D doi 10 1146 annurev physchem 58 032806 104628 a b P Maris and P Tandy 2006 QCD modeling of hadron physics Nuclear Physics B 161 136 arXiv nucl th 0511017 Bibcode 2006NuPhS 161 136M doi 10 1016 j nuclphysbps 2006 08 012 N Nakanishi 1969 A general survey of the theory of the Bethe Salpeter equation Progress of Theoretical Physics Supplement 43 1 81 Bibcode 1969PThPS 43 1N doi 10 1143 PTPS 43 1 Literatura red Many modern quantum field theory textbooks and a few articles provide pedagogical accounts for the Bethe Salpeter equation s context and uses See W Greiner J Reinhardt 2003 Quantum Electrodynamics vid 3rd Springer ISBN 978 3 540 44029 1 Z K Silagadze 1998 Wick Cutkosky model An introduction arXiv hep ph 9803307 Still a good introduction is given by the review article of Nakanishi N Nakanishi 1969 A general survey of the theory of the Bethe Salpeter equation Progress of Theoretical Physics Supplement 43 1 81 Bibcode 1969PThPS 43 1N doi 10 1143 PTPS 43 1 For historical aspects see E E Salpeter 2008 Bethe Salpeter equation origins Scholarpedia 3 11 7483 arXiv 0811 1050 Bibcode 2008SchpJ 3 7483S doi 10 4249 scholarpedia 7483 b cite journal b Obslugovuvannya CS1 Storinki iz nepoznachenim DOI z bezkoshtovnim dostupom posilannya Posilannya red BerkeleyGW metod psevdopotencialu dlya ploskih hvil ExC ploski hvili Fiesta Gaussian all electron method Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnyannya Bete Solpitera amp oldid 38484901