www.wikidata.uk-ua.nina.az

Функція Гріна теорія багаточастинкових систем Функція Гріна математична конструкція що використовується для опису кванто

Функція Гріна (теорія багаточастинкових систем)

Функція Гріна — математична конструкція, що використовується для опису квантових ситем багатьох частинок, зокрема в квантовій теорії поля та в статистичній фізиці. Назва функції пов'язана із функцією Гріна, що використовується в математиці, оскільки вони задовольняють схожі рівняння із точковим джерелом. Функція Гріна містить повну інформацію про квантову систему.

У теорії багатьох частинок поняття функції Гріна використовується для позначення всіх кореляційних функцій, але найчастіше означає корелятор польових операторів народження і знищення.

Двоточкова функція Гріна визначається як:

Тут G — функція Гріна,  — оператори поля в гайзенбергівському зображенні,  — основний стан квантової системи,  — оператор часового упорядкування. Часове упорядкування означає те, що всі оператори повинні бути розташовані в порядку зменшення часу. При цьому для ферміонів унаслідок комутаційних співвідношень оператор упорядкування вносить також множник (-1)p, де p — кількість перестановок, необхідна для встановлення правильного порядку часів.

Загалом функція Гріна невідома й задача її відшукання аналогічна розв'язанню рівняння Шредінгера, але формалізм функцій Гріна для багаточастинкових систем закладає зручну основу для теорії збурень і використання техніки діаграм Фейнмана.

Просторово однорідний випадок ред.

Основні означення ред.

Розглядається теорія багатьох частинок з польовим оператором (оператором знищення у координатному представленні) .

Від картини Шредінгера можна перейти до картини Гейзенберга:

де  — гамільтоніан системи, що описується великим канонічним ансамблем.

Аналогічно для операторів з уявним часом:

причому легко бачити, що такий уявночасовий оператор народження не є ермітово спряженим до оператора знищення .

У випадку дійсного часу -точкова функція Гріна означається таким чином:

де використана скорочена нотація, в якій під мається на увазі , а позначає . Крім того, оператор позначає часове впорядкування, тому польові оператори за ним впорядковуються таким чином, що їхні часові аргументи зростають зправа наліво.

Для уявного часу відповідне означення має вигляд:

де під мається на увазі . Варто відмітити, що уявночасові змінні обмежені значеннями від нуля до оберненої температури , де  — стала Больцмана.

Треба відзначити, що приймається така домовленість щодо знаків та нормування: знак функції Гріна обирається так, аби перетворення Фур'є двоточкової () термальної функції Гріна для вільних частинок мало такий вигляд:

а для запізнювальної функції Гріна:

де є мацубарівськими частотами. Крім того, дорівнює для бозонів і для ферміонів, а позначає відповідно комутатор або антикомутатор.

Фур'є-образ функції Гріна ред.

Для просторово однорідних систем, гамільтоніан яких не залежить від часу, функція Гріна залежить від різниці часів та координат:

Важливим і зручним для використання є фур'є-образ функції Гріна:

Застосування в фізиці твердого тіла ред.

Функція Гріна фермі-газу, в якому електрони не взаємодіють між собою, має вигляд:

де  — енергія електронних станів, m — маса електрона,  — зведена стала Планка, а  — нескінченно мала величина, причому для , і при . Тут  — значення хвильового вектора на сфері Фермі.

Така поведінка характерна для функції Гріна взагалі. Її полюси на комплексній площині частоти або енергії визначають спектр станів системи. У випадку ідеального фермі-газу полюси розташовані близько до дійсної осі ( — нескінченно мала). При розгляді систем частинок, що взаємодіють між собою, полюси функції Гріна лежать на певній віддалі від дійсної осі, а тому містять уявну частину, яка описує затухання збуджень.

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Ребенко О. Л. Основи сучасної теорії взаємодіючих квантованих полів. — К. : Наукова думка, 2007. — 539 с. — ISBN 978-966-00-0665-2.
  • Стасюк І. В. Функції Ґріна у квантовій статистиці твердих тіл. — Л. : ЛНУ імені Івана Франка, 2013. — 392 с. — ISBN 978-617-10-0048-3.
  • Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 444 с.
  • Блейзо Ж.-П., Рипка Ж. Квантовая теория конечных систем. — К. : Феникс, 1998. — 480 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
  • Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. — М. : Мир, 1964. — 256 с.
  • Маделунг О. Физика твердого тела: Локализованные состояния. — М. : Наука, 1985. — 184 с.
  • Райдер Л. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1987. — 511 с.
  • Садовский М. В. Диаграмматика. Лекции по избранным задачам теории конденсированного состояния. — Ижевск : РХД, 2010. — 376 с.
  • Цвелик А. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М. : Физматлит, 2004. — 320 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Funkciya Grina matematichna konstrukciya sho vikoristovuyetsya dlya opisu kvantovih sitem bagatoh chastinok zokrema v kvantovij teoriyi polya ta v statistichnij fizici Nazva funkciyi pov yazana iz funkciyeyu Grina sho vikoristovuyetsya v matematici oskilki voni zadovolnyayut shozhi rivnyannya iz tochkovim dzherelom Funkciya Grina mistit povnu informaciyu pro kvantovu sistemu U teoriyi bagatoh chastinok ponyattya funkciyi Grina vikoristovuyetsya dlya poznachennya vsih korelyacijnih funkcij ale najchastishe oznachaye korelyator polovih operatoriv narodzhennya i znishennya Dvotochkova funkciya Grina viznachayetsya yak G r 1 r 2 t 1 t 2 i 0 T ps r 1 t 1 ps r 2 t 2 0 displaystyle G mathbf r 1 mathbf r 2 t 1 t 2 i langle 0 mathcal T hat psi mathbf r 1 t 1 hat psi dagger mathbf r 2 t 2 0 rangle Tut G funkciya Grina ps r t displaystyle hat psi dagger mathbf r t operatori polya v gajzenbergivskomu zobrazhenni 0 displaystyle 0 rangle osnovnij stan kvantovoyi sistemi T displaystyle mathcal T operator chasovogo uporyadkuvannya Chasove uporyadkuvannya oznachaye te sho vsi operatori povinni buti roztashovani v poryadku zmenshennya chasu Pri comu dlya fermioniv unaslidok komutacijnih spivvidnoshen operator uporyadkuvannya vnosit takozh mnozhnik 1 p de p kilkist perestanovok neobhidna dlya vstanovlennya pravilnogo poryadku chasiv Zagalom funkciya Grina nevidoma j zadacha yiyi vidshukannya analogichna rozv yazannyu rivnyannya Shredingera ale formalizm funkcij Grina dlya bagatochastinkovih sistem zakladaye zruchnu osnovu dlya teoriyi zburen i vikoristannya tehniki diagram Fejnmana Zmist 1 Prostorovo odnoridnij vipadok 1 1 Osnovni oznachennya 2 Fur ye obraz funkciyi Grina 3 Zastosuvannya v fizici tverdogo tila 4 Div takozh 5 DzherelaProstorovo odnoridnij vipadok red Osnovni oznachennya red Rozglyadayetsya teoriya bagatoh chastinok z polovim operatorom operatorom znishennya u koordinatnomu predstavlenni ps x displaystyle psi mathbf x nbsp Vid kartini Shredingera mozhna perejti do kartini Gejzenberga ps x t e i K t ps x e i K t displaystyle psi mathbf x t mathrm e mathrm i Kt psi mathbf x mathrm e mathrm i Kt nbsp ps x t ps x t displaystyle bar psi mathbf x t psi mathbf x t dagger nbsp de K H m N displaystyle K H mu N nbsp gamiltonian sistemi sho opisuyetsya velikim kanonichnim ansamblem Analogichno dlya operatoriv z uyavnim chasom ps x t e K t ps x e K t displaystyle psi mathbf x tau mathrm e K tau psi mathbf x mathrm e K tau nbsp ps x t e K t ps x e K t displaystyle bar psi mathbf x tau mathrm e K tau psi dagger mathbf x mathrm e K tau nbsp prichomu legko bachiti sho takij uyavnochasovij operator narodzhennya ps x t displaystyle bar psi mathbf x tau nbsp ne ye ermitovo spryazhenim do operatora znishennya ps x t displaystyle psi mathbf x tau nbsp U vipadku dijsnogo chasu 2 n displaystyle 2n nbsp tochkova funkciya Grina oznachayetsya takim chinom G n 1 n 1 n i n T ps 1 ps n ps n ps 1 displaystyle G n 1 ldots n 1 ldots n mathrm i n langle T psi 1 ldots psi n bar psi n ldots bar psi 1 rangle nbsp de vikoristana skorochena notaciya v yakij pid j displaystyle j nbsp mayetsya na uvazi x j t j displaystyle mathbf x j t j nbsp a j displaystyle j nbsp poznachaye x j t j displaystyle mathbf x j t j nbsp Krim togo operator T displaystyle T nbsp poznachaye chasove vporyadkuvannya tomu polovi operatori za nim vporyadkovuyutsya takim chinom sho yihni chasovi argumenti zrostayut zprava nalivo Dlya uyavnogo chasu vidpovidne oznachennya maye viglyad G n 1 n 1 n T ps 1 ps n ps n ps 1 displaystyle mathcal G n 1 ldots n 1 ldots n langle T psi 1 ldots psi n bar psi n ldots bar psi 1 rangle nbsp de pid j displaystyle j nbsp mayetsya na uvazi x j t j displaystyle mathbf x j tau j nbsp Varto vidmititi sho uyavnochasovi zminni t j displaystyle tau j nbsp obmezheni znachennyami vid nulya do obernenoyi temperaturi b 1 k B T displaystyle beta frac 1 k B T nbsp de k B displaystyle k B nbsp stala Bolcmana Treba vidznachiti sho prijmayetsya taka domovlenist shodo znakiv ta normuvannya znak funkciyi Grina obirayetsya tak abi peretvorennya Fur ye dvotochkovoyi n 1 displaystyle n 1 nbsp termalnoyi funkciyi Grina dlya vilnih chastinok malo takij viglyad G k w n 1 i w n 3 k displaystyle mathcal G mathbf k omega n frac 1 mathrm i omega n xi mathbf k nbsp a dlya zapiznyuvalnoyi funkciyi Grina G R k w 1 w i h 3 k displaystyle G mathrm R mathbf k omega frac 1 omega mathrm i eta xi mathbf k nbsp de w n 2 n 8 z p b displaystyle omega n 2n theta zeta pi beta nbsp ye macubarivskimi chastotami Krim togo z displaystyle zeta nbsp dorivnyuye 1 displaystyle 1 nbsp dlya bozoniv i 1 displaystyle 1 nbsp dlya fermioniv a z displaystyle ldots ldots ldots ldots zeta nbsp poznachaye vidpovidno komutator abo antikomutator Fur ye obraz funkciyi Grina red Dlya prostorovo odnoridnih sistem gamiltonian yakih ne zalezhit vid chasu funkciya Grina zalezhit vid riznici chasiv ta koordinat G r 1 r 2 t 1 t 2 G r 1 r 2 t 1 t 2 G r t displaystyle G mathbf r 1 mathbf r 2 t 1 t 2 G mathbf r 1 mathbf r 2 t 1 t 2 G mathbf r t nbsp Vazhlivim i zruchnim dlya vikoristannya ye fur ye obraz funkciyi Grina G k w G r t exp i k r w t d V d t displaystyle G mathbf k omega int G mathbf r t exp i mathbf k cdot mathbf r omega t dVdt nbsp Zastosuvannya v fizici tverdogo tila red Funkciya Grina fermi gazu v yakomu elektroni ne vzayemodiyut mizh soboyu maye viglyad G k w ℏ ℏ w E k i d displaystyle G mathbf k omega frac hbar hbar omega E mathbf k i delta nbsp de E k ℏ 2 k 2 2 m displaystyle E mathbf k hbar 2 k 2 2m nbsp energiya elektronnih staniv m masa elektrona ℏ displaystyle hbar nbsp zvedena stala Planka a d displaystyle delta nbsp neskinchenno mala velichina prichomu d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp dlya k gt k F displaystyle k gt k F nbsp i d lt 0 displaystyle delta lt 0 nbsp pri k lt k F displaystyle k lt k F nbsp Tut k F displaystyle k F nbsp znachennya hvilovogo vektora na sferi Fermi Taka povedinka harakterna dlya funkciyi Grina vzagali Yiyi polyusi na kompleksnij ploshini chastoti abo energiyi viznachayut spektr staniv sistemi U vipadku idealnogo fermi gazu polyusi roztashovani blizko do dijsnoyi osi d displaystyle delta nbsp neskinchenno mala Pri rozglyadi sistem chastinok sho vzayemodiyut mizh soboyu polyusi funkciyi Grina lezhat na pevnij viddali vid dijsnoyi osi a tomu mistyat uyavnu chastinu yaka opisuye zatuhannya zbudzhen Div takozh red Rivnyannya Kalana SimanzikaDzherela red Rebenko O L Osnovi suchasnoyi teoriyi vzayemodiyuchih kvantovanih poliv K Naukova dumka 2007 539 s ISBN 978 966 00 0665 2 Stasyuk I V Funkciyi Grina u kvantovij statistici tverdih til L LNU imeni Ivana Franka 2013 392 s ISBN 978 617 10 0048 3 Abrikosov A A Gorkov L P Dzyaloshinskij I E Metody kvantovoj teorii polya v statisticheskoj fizike M GIFML 1962 444 s Blejzo Zh P Ripka Zh Kvantovaya teoriya konechnyh sistem K Feniks 1998 480 s Zi E Kvantovaya teoriya polya v dvuh slovah Izhevsk RHD 2009 632 s Kadanov L Bejm G Kvantovaya statisticheskaya mehanika M Mir 1964 256 s Madelung O Fizika tverdogo tela Lokalizovannye sostoyaniya M Nauka 1985 184 s Rajder L Kvantovaya teoriya polya M Mir 1987 511 s Sadovskij M V Diagrammatika Lekcii po izbrannym zadacham teorii kondensirovannogo sostoyaniya Izhevsk RHD 2010 376 s Cvelik A M Kvantovaya teoriya polya v fizike kondensirovannogo sostoyaniya M Fizmatlit 2004 320 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Funkciya Grina teoriya bagatochastinkovih sistem amp oldid 20424255