www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівняння Шредінгера основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки яке визначає закон еволюції квантової сис

Рівняння Шредінгера

Рівняння Шредінгера — основне рівняння руху нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.

де  — хвильова функція,  — гамільтоніан. Уперше це рівняння було опубліковане Ервіном Шредінгером у 1926 році.

Для вільної частинки у координатному зображенні рівняння Шредінгера має вигляд

де — оператор Лапласа, а m — маса частинки, тобто є хвильовим рівнянням, розв'язками якого є хвилі із квадратичним законом дисперсії:

Отже, рівняння Шредінгера описує хвилі де Бройля, але водночас для частинки в зовнішньому потенціалі рівняння має розв'язки, локалізовані в просторі. Спектр таких розв'язків дискретний. Зокрема, рівняння Шредінгера розв'язується точно для частинки в кулонівському потенціалі, тобто відтворює енергетичний спектр атома водню.

Завдяки цій можливості опису різноманітних систем рівняння Шредінгера широко використовується для дослідження широкого спектра задач квантової фізики та квантової хімії.

Властивості Редагувати

Внаслідок квантового принципу суперпозиції станів рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким, тобто, якщо дві хвильові функції та задовольняють рівнянню Шредінгрера, то суперпозиція

з довільними комплексними коефіцієнтами a і b теж йому задовільняє.

Рівняння Шредінгера не інваріантне щодо перетворень Лоренца, тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з магнітним полем (яке є чисто релятивістським явищем) у загальному випадку не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера, а потрібно враховувати релятивістські поправки, зокрема спін (дивіться рівняння Паулі).

Комплексно спряжене рівняння

збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на −t, а хвильову функцію на . Цей факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.

У граничному випадку рівняння Шредінгера зводиться до рівняння Гамільтона-Якобі класичної механіки, що означає сумісність квантового опису фізичної системи з класичним (дивіться Квазікласичне наближення).

Детермінізм Редагувати

Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера з початковими умовами

де  — певне початкове значення хвильової функції.

Ця умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом. Якщо в класичній механіці для визначення еволюції фізичної системи за законами Ньютона потрібно знати початкові положення і швидкості частинок, то в квантовій механіці принципово неможливо точно визначити одночасно координати та швидкості; натомість необхідно знати початкову хвильову функцію, яка містить набагато більше інформації.

Підготувати квантовомеханічну систему у стані з відомою початковою хвильовою функцією для реального експерименту буває складно. У випадку, коли це ускладнено, застосовується матриця густини.

Формальний розв'язок Редагувати

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера

Тут є не числом, а оператором, який називають оператором еволюції.

Стаціонарне рівняння Шредінгера Редагувати

Три розв’язки рівняння Шредінгера для гармонійного осцилятора. Перші два є стаціонарними— амплітуда ймовірностей знаходження частинки є незмінною, хоча сама функція змінюється з часом.

Якщо гамільтоніан квантової системи не залежить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера

де E — певне дійсне число, яке інтерпретують, як енергію. Це рівняння є рівнянням на власні значення. Розв'язуючи його знаходять енергетичний спектр квантової системи, тобто такі значення E, при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власний вектор .

Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:

де  — комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.

У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з електромагнітною хвилею, перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.

Методи розв'язку Редагувати

Рівняння Шредінгера розв'язується аналітично для невеликого числа задач, більшість з яких модельні. Важливими фізичними системами, для яких існують точні розв'язки є задача про вільну частинку і задача двох тіл з кулонівським потенціалом взаємодії, окремими випадками якої є задача про енергетичний спектр атома водню та про задача про резерфордівське розсіяння. Модельні задачі допомагають зрозуміти важливі квантові ефекти, такі, наприклад, як тунелювання. Для складніших фізичних систем розроблено різноманітні методи наближеного розв'язування, зокрема, теорія збурень, варіаційний метод тощо.

Більшість методів наближеного розв'язування, як аналітичних, так і чисельних, стосуються стаціонарного рівняння Шредінгера. Часове рівняння Шредінгера набуває значення тоді, коли в фізичній системі є взаємодія, яка залежить від часу, наприклад, коли система перебуває в змінному електромагнітному полі. Тоді система не може довільно довго зберігати свою енергію, у ній відбуваються переходи з поглинанням енергії від поля, або передачею енергії полю. Імовірності таких процесів дозволяє визначити часова теорія збурень.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rivnyannya Shredingera osnovne rivnyannya ruhu nerelyativistskoyi kvantovoyi mehaniki yake viznachaye zakon evolyuciyi kvantovoyi sistemi z chasom i ℏ d d t ps t H ps t displaystyle i hbar d over dt left psi t right rangle hat H left psi t right rangle de ps t displaystyle left psi t right rangle hvilova funkciya H displaystyle hat H gamiltonian Upershe ce rivnyannya bulo opublikovane Ervinom Shredingerom u 1926 roci Dlya vilnoyi chastinki u koordinatnomu zobrazhenni rivnyannya Shredingera maye viglyad i ℏ d ps r t d t ℏ 2 2 m D ps r t displaystyle i hbar d psi mathbf r t over dt frac hbar 2 2m Delta psi mathbf r t de D displaystyle Delta operator Laplasa a m masa chastinki tobto ye hvilovim rivnyannyam rozv yazkami yakogo ye hvili iz kvadratichnim zakonom dispersiyi ℏ w ℏ 2 k 2 2 m displaystyle hbar omega frac hbar 2 mathbf k 2 2m Otzhe rivnyannya Shredingera opisuye hvili de Brojlya ale vodnochas dlya chastinki v zovnishnomu potenciali rivnyannya maye rozv yazki lokalizovani v prostori Spektr takih rozv yazkiv diskretnij Zokrema rivnyannya Shredingera rozv yazuyetsya tochno dlya chastinki v kulonivskomu potenciali tobto vidtvoryuye energetichnij spektr atoma vodnyu Zavdyaki cij mozhlivosti opisu riznomanitnih sistem rivnyannya Shredingera shiroko vikoristovuyetsya dlya doslidzhennya shirokogo spektra zadach kvantovoyi fiziki ta kvantovoyi himiyi Zmist 1 Vlastivosti 2 Determinizm 3 Formalnij rozv yazok 4 Stacionarne rivnyannya Shredingera 5 Metodi rozv yazku 6 Div takozh 7 LiteraturaVlastivosti RedaguvatiVnaslidok kvantovogo principu superpoziciyi staniv rivnyannya sho opisuye evolyuciyu sistemi maye buti linijnim Rivnyannya Shredingera ye same takim tobto yaksho dvi hvilovi funkciyi f t displaystyle varphi t rangle nbsp ta x t displaystyle chi t rangle nbsp zadovolnyayut rivnyannyu Shredingrera to superpoziciya ps t a f t b x t displaystyle psi t rangle a varphi t rangle b chi t rangle nbsp z dovilnimi kompleksnimi koeficiyentami a i b tezh jomu zadovilnyaye Rivnyannya Shredingera ne invariantne shodo peretvoren Lorenca tobto spravedlive lishe dlya chastinok shvidkist yakih nabagato mensha za shvidkist svitla Zagalnishe rivnyannya Diraka perehodit u rivnyannya Shredingera pri malih shvidkostyah Tomu pri vzayemodiyi z magnitnim polem yake ye chisto relyativistskim yavishem u zagalnomu vipadku ne mozhna vikoristovuvati zvichajne rivnyannya Shredingera a potribno vrahovuvati relyativistski popravki zokrema spin divitsya rivnyannya Pauli Kompleksno spryazhene rivnyannya i ℏ ps t H ps displaystyle i hbar frac partial left psi right rangle partial t hat H left psi right rangle nbsp zbigayetsya z rivnyannyam Shredingera yaksho zaminiti t na t a hvilovu funkciyu ps displaystyle left psi right rangle nbsp na ps displaystyle left psi right rangle nbsp Cej fakt vidobrazhaye zvorotnist procesiv u kvantovij mehanici U granichnomu vipadku ℏ 0 displaystyle hbar rightarrow 0 nbsp rivnyannya Shredingera zvoditsya do rivnyannya Gamiltona Yakobi klasichnoyi mehaniki sho oznachaye sumisnist kvantovogo opisu fizichnoyi sistemi z klasichnim divitsya Kvaziklasichne nablizhennya Determinizm RedaguvatiDlya viznachennya hvilovoyi funkciyi bud yakoyi nerelyativistskoyi kvantovomehanichnoyi sistemi neobhidno rozv yazati rivnyannya Shredingera z pochatkovimi umovami ps 0 ps 0 displaystyle left psi 0 right rangle left psi 0 right rangle nbsp de ps 0 displaystyle left psi 0 right rangle nbsp pevne pochatkove znachennya hvilovoyi funkciyi Cya umova analogichna postanovci osnovnoyi zadachi klasichnoyi mehaniki znannya pochatkovih umov i rivnyannya ruhu povnistyu viznachaye povedinku sistemi v nastupni momenti chasu Cej princip nazivayutsya kvantovim determinizmom Yaksho v klasichnij mehanici dlya viznachennya evolyuciyi fizichnoyi sistemi za zakonami Nyutona potribno znati pochatkovi polozhennya i shvidkosti chastinok to v kvantovij mehanici principovo nemozhlivo tochno viznachiti odnochasno koordinati ta shvidkosti natomist neobhidno znati pochatkovu hvilovu funkciyu yaka mistit nabagato bilshe informaciyi Pidgotuvati kvantovomehanichnu sistemu u stani z vidomoyu pochatkovoyu hvilovoyu funkciyeyu dlya realnogo eksperimentu buvaye skladno U vipadku koli ce uskladneno zastosovuyetsya matricya gustini Formalnij rozv yazok RedaguvatiFormalnij rozv yazok rivnyannya Shredingera ps t exp i ℏ H t ps 0 displaystyle left psi t right rangle exp left frac i hbar hat H t right left psi 0 right rangle nbsp Tut exp i ℏ H t displaystyle exp left frac i hbar hat H t right nbsp ye ne chislom a operatorom yakij nazivayut operatorom evolyuciyi Stacionarne rivnyannya Shredingera RedaguvatiDokladnishe Stacionarne rivnyannya Shredingera ta Odnovimirne stacionarne rivnyannya Shredingera nbsp Tri rozv yazki rivnyannya Shredingera dlya garmonijnogo oscilyatora Pershi dva ye stacionarnimi amplituda jmovirnostej znahodzhennya chastinki ye nezminnoyu hocha sama funkciya zminyuyetsya z chasom Yaksho gamiltonian kvantovoyi sistemi ne zalezhit vid chasu rivnyannya Shredingera mozhna rozv yazati vidnosno chasu metodom rozdilennya zminnih i otrimati tak zvane stacionarne rivnyannya Shredingera H ps E ps displaystyle hat H left psi right rangle E left psi right rangle nbsp de E pevne dijsne chislo yake interpretuyut yak energiyu Ce rivnyannya ye rivnyannyam na vlasni znachennya Rozv yazuyuchi jogo znahodyat energetichnij spektr kvantovoyi sistemi tobto taki znachennya E pri yakih rozv yazok isnuye Kozhnomu vlasnomu znachennyu E n displaystyle E n nbsp stacionarnogo rivnyannya Shredingera vidpovidaye vlasnij vektor ps n displaystyle psi n rangle nbsp Zagalnij rozv yazok chasovogo rivnyannya Shredingera todi zapisuyetsya u viglyadi ps t n a n e i ℏ E n t ps n displaystyle left psi t right rangle sum n a n e frac i hbar E n t left psi n right rangle nbsp de a n displaystyle a n nbsp kompleksni koeficiyenti yaki mozhna viznachiti z pochatkovih umov U razi koli gamiltonian kvantovoyi sistemi zalezhit vid chasu napriklad pri vzayemodiyi sistemi z elektromagnitnoyu hvileyu perehid do stacionarnogo rivnyannya Shredingera nemozhlivij V takij kvantovij sistemi energiya ne zberigayetsya sistema mozhe poglinati energiyu hvili abo viddavati yiyi hvili Metodi rozv yazku RedaguvatiRivnyannya Shredingera rozv yazuyetsya analitichno dlya nevelikogo chisla zadach bilshist z yakih modelni Vazhlivimi fizichnimi sistemami dlya yakih isnuyut tochni rozv yazki ye zadacha pro vilnu chastinku i zadacha dvoh til z kulonivskim potencialom vzayemodiyi okremimi vipadkami yakoyi ye zadacha pro energetichnij spektr atoma vodnyu ta pro zadacha pro rezerfordivske rozsiyannya Modelni zadachi dopomagayut zrozumiti vazhlivi kvantovi efekti taki napriklad yak tunelyuvannya Dlya skladnishih fizichnih sistem rozrobleno riznomanitni metodi nablizhenogo rozv yazuvannya zokrema teoriya zburen variacijnij metod tosho Bilshist metodiv nablizhenogo rozv yazuvannya yak analitichnih tak i chiselnih stosuyutsya stacionarnogo rivnyannya Shredingera Chasove rivnyannya Shredingera nabuvaye znachennya todi koli v fizichnij sistemi ye vzayemodiya yaka zalezhit vid chasu napriklad koli sistema perebuvaye v zminnomu elektromagnitnomu poli Todi sistema ne mozhe dovilno dovgo zberigati svoyu energiyu u nij vidbuvayutsya perehodi z poglinannyam energiyi vid polya abo peredacheyu energiyi polyu Imovirnosti takih procesiv dozvolyaye viznachiti chasova teoriya zburen Div takozh RedaguvatiRivnyannya Klejna Gordona Rivnyannya Diraka Rivnyannya Shredingera Nyutona Grupa ShredingeraLiteratura RedaguvatiVakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Fedorchenko A M Kvantova mehanika termodinamika i statistichna fizika Teoretichna fizika K Visha shkola 1993 T 2 415 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnyannya Shredingera amp oldid 40095604