www.wikidata.uk-ua.nina.az

Принцип невизначеності є фундаментальною засадою квантової механіки яка стверджує що принципово неможливо одночасно вимі

Принцип невизначеності

Принцип невизначеності є фундаментальною засадою квантової механіки, яка стверджує, що принципово неможливо одночасно виміряти з довільною точністю пари величин, які описують квантовий об'єкт, такі як, наприклад, координати й імпульс. Це твердження справедливе не лише щодо вимірювання, а й щодо теоретичної побудови квантового стану системи. Тобто, неможливо побудувати такий квантовий стан, в якому система одночасно характеризувалася б точними значеннями координати та імпульсу.

Принцип невизначеності сформулював у 1927-му німецький фізик Вернер Гейзенберґ. Це стало важливим етапом у з'ясуванні закономірностей атомних явищ і побудови квантової механіки.

Квантовомеханічний принцип невизначеності аналогічний твердженню з оптики про те, що монохроматичний пучок світла не можна сфокусувати точніше, ніж до розмірів порядку довжини хвилі. У квантовій механіці частинки, такі як електрони, протони чи нейтрони, теж мають хвильові властивості, тобто справедливий корпускулярно-хвильовий дуалізм. Через це електрон, протон чи будь-яку іншу частинку або фізичну систему, неможливо сфокусувати в просторі до розмірів менших за половину довжини хвилі.

Історія Редагувати

Вернер Гейзенберг сформулював принцип невизначеності під час роботи над математичним базисом квантової механіки в інституті Нільса Бора в Копенгагені.

У 1925 році Гейзенберг почав працювати над розробкою матричної механіки, що дозволила замінити стару квантову теорію на більш сучасну квантову механіку. Однак ця теорія розмазується дивним чином: її рівняння руху включають лише ймовірності знаходження частинок у тому чи іншому місці.

У березні 1926 року Гейзенберг помітив, що з некомутативності у його моделі випливає принцип невизначеності. Це стало гарною фізичною інтерпретацію некомутативності, і лягло в основу копенгагенської інтерпретації квантової механіки. Гейзенберг також показав, що ці ж ідеї ведуть до принципу доповнюваності, що був запропонований раніше Бором.

У своїй роботі 1927 року, «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik», Гейзенберг сформулював свій принцип як існування деякого мінімального збудження, що змінює імпульс частинки при кожному вимірюванні її місцезнаходження. Проте явного виразу, що пов'язував би Δx і Δp у цій роботі не було дано, натомість були показані окремі оцінки для кожного з них окремо. Відома форма співвідношення, Δx·Δp ≥ h, була сформульована на лекції, яку Гейзенберг проводив у Чикаго. Сучасна форма, , де σx σp — стандартні відхилення при вимірюванні місцезнаходження і імпульсу, була доведена у 1927 році Е. Кеннардом.

У 1929 році Говард Робертсон узагальнив рівняння Гейзенберга для довільної пари спостережуваних квантових величин:

У 1935 році вийшла стаття Альберта Ейнштейна, Бориса Подольського та Натана Розена, в якій вони формулювали свій відомий парадокс, що мав би довести, що або принцип невизначеності виконується не завжди, або ж квантова механіка порушує принцип причинності. Суть парадоксу можна описати наступним чином: нехай частинка, імпульс якої виміряний з високою точністю, розпадається на дві. Тоді, вимірявши імпульс однієї з частинок-продуктів розпаду, за законом збереження імпульсу, ми будемо знати і імпульс другої, не подіявши на неї ніяким чином. Вимірявши після цього координату другої частинки, ми будемо мати опис її стану з високою точністю. Проте, експерименти показали, що принцип невизначеності виконується і в таких ситуаціях, а розв'язок парадоксу полягає в нелокальності квантової механіки.

Формулювання Редагувати

Співвідношення невизначеностей стверджує, що неможливо одночасно виміряти з довільно високою точністю координату і імпульс частинки. Аналогічна нерівність також пов'язує час і енергію, і будь-які фізичні величини, оператори яких не комутують.

Співвідношення невизначеності можна виразити через стандартні відхилення:

де кутові дужки означають усереднення, а та  — математичні сподівання відповідних величин.

Широко розповсюдженою є спрощена формула:

У загальному випадку твердження про невизначеність значень фізичних величин та виглядає так:

де  — середньоквадратичне відхилення від середнього фізичної величини ,  — середньоквадратичне відхилення від середнього фізичної величини , а  — середнє значення комутатора операторів цих фізичних величин.

З цього видно, що якщо комутатор дорівнює нулю, то дану пару фізичних величин можна виміряти одночасно й точно, і, навпаки, якщо комутатор не дорівнює нулю, то фізичні величини пов'язані принципом невизначеності й одночасно визначені бути не можуть.

У граничному випадку, коли стала Планка прямує до нуля квантова механіка переходить у класичну механіку Ньютона, в якій незалежне визначення фізичних величин можливе, оскільки невизначеність стає меншою за експериментальну похибку.

Спрощене пояснення Редагувати

Явище, подібне до принципу невизначеності, можна знайти і у класичній механіці. Якщо ми спробуємо виміряти швидкість деякого об'єкту, для цього нам потрібно буде виміряти його положення в два моменти часу, і потім поділити різницю між цими положеннями на різницю між моментами часу. Таким чином, ми дізнаємось швидкість, але про положення об'єкту ми будемо знати лише, що воно лежить між позицією, яку займав об'єкт при першому вимірі, і позицією, яку він займав при другому. Проте, в класичній фізиці ми можемо збільшувати точність вимірів як завгодно сильно, зменшуючи таким чином похибку.

Згідно квантової теорії, будь-яка частинка має хвильові властивості, а саме, ймовірність знайти її в деякій точці простору-часу описується хвильовою функцією, а імпульс частинки пов'язаний з частотою цієї функції. Проте, для збільшення точності виміру частоти, ми маємо розглядати більше періодів функції, що призводить до збільшення похибки виміру координати. Ця ситуація є подібною до такої, що виникає при спробі одночасно виміряти частоту звукового сигналу і момент часу, коли він виник. Фізичні величини, похибки вимірювання яких пов'язані таким чином, пов'язані через перетворення Фур'є, а саме, вони переходять одна в одну за допомогою цього перетворення. Вони називаються канонічно спряженими величинами. Такими парами канонічно спряжених величин є координата і імпульс, енергія і час та деякі інші.

З математичної точки зору можна сказати, що, співвідношення невизначеностей пов'язано з тим, що спектр хвильового представлення частинки (що породжується Фур'є-перетворенням функції) розтягується, при стисканні самої хвильової функції, і навпаки. Через це і величини, що пов'язані через перетворення Фур'є поводять себе таким чином.

З фізичної точки зору можна сказати, що принцип невизначеності пов'язаний з ефектом спостерігача — спостереження, що проводиться над системою, впливає на стан цієї системи. Наприклад, визначити положення частинки можна, пропустивши її через тонку щілину. Але, оскільки частинка має хвильові властивості, вона буде дифрагувати на щілині, і її імпульс зміниться. Іншим способом дізнатися положення частинки є освітити її, і спостерігати за відбитими фотонами. Але при цьому, оскільки кванти світла також несуть в собі деякий імпульс, вони передадуть його частинці. При чому, чим менша довжина хвилі світла, тим точніше можна встановити місцеположення частинки, але тим більший імпульс він несе.

В реальності, не тільки ці способи, а й будь-який інший, буде мати той самий ефект: чим більш точно він дозволить визначити координату, тим більшу непередбачувану зміну він внесе в імпульс частинки, і навпаки.

Варто зазначити, що принцип невизначеності не забороняє як завгодно точні виміри будь-якого з цих двох параметрів, а вказує лише на неможливість одночасного виміру обох.

Математичне пояснення Редагувати

Рівняння вільної частинки Редагувати

Нехай частинка рухається вільно, тобто, на неї не діють жодні сили. Тоді у рівнянні Шредінгера

U буде тотожно рівним нулю. Рівняння набуває вигляду

Його розв'язком для частинки з деяким відомим значенням імпульсу p буде

Згідно з цим рівнянням, імовірність знайти її в будь-якій точці простору однакова, тобто у частинки нескінченно велика невизначеність за координатою.

Хвильовий пакет Редагувати

Побудуємо таку хвильову функцію, щоб частинка, що їй відповідає, мала відмінні від нуля значення координати і імпульсу лише у деякій обмеженій області. Така функція називається хвильовим пакетом, і її в будь-якому разі можна виразити як суму плоских хвиль (розглянемо випадок одномірної системи)

Якщо інтервал Δp достатньо малий, ми можемо вважати, що

Тоді рівняння для хвильової функції перетворюється на

Легко показати, що інтеграл від експоненти в останній функції дорівнює , тоді хвильова функція буде дорівнювати:

Просторовий розподіл ймовірності пропорційний квадрату хвильової функції, тобто

Графік функції зображений праворуч. Як видно, він має суттєве відмінне від нуля значення лише на проміжку від -π до π. Діапазон координат, яким відповідають ці значення можна отримати з рівнянь і .

Таким чином, , з чого, враховуючи додаткові максимуми функції , ми можемо вивести кінцеву формулу:

що показує принципову неможливість одночасного встановлення імпульсу і координати частинки, а отже, і відсутність у квантовій механіці траєкторій: ми не можемо точно описати у просторі лінію, за якою рухалася частинка, що є принциповою відмінністю квантового руху від класичного.

Інші пари канонічно спряжених величин Редагувати

Енергія та час є канонічно спряженими величинами, і для цих величин теж записується співвідношення невизначеностей у вигляді:

Однак, час у квантовій механіці є не оператором, а параметром, тому співвідношення невизначеності для нього не є наслідком загального правила та вимагає окремої інтерпретації.

Мандельштам і Тамм вивели співвідношення для невизначеності часу й енергії у формі:

де  — самоспряжений оператор. Вираз справа від має розмірність часу, але це не похибка вимірювання часу, а час життя стану квантової системи відносно спостережуваної величини B. Точному значенню енергії відповідає квантовий стан, в якому система перебуває нескінченно довго, якщо ж система перебуває в деякому стані скінченний час, то вона не має точно визначеної енергії.

Багато інших пар операторів є некомутуючими, а отже не можуть бути виміряні одночасно:

  • Ортогональні компоненти моменту імпульсу , де Jn — проєкція моменту імпульсу вздовж осі xn
  • Кількість фотонів і фаза,
  • Момент імпульсу і азимутальний кут,

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Heisenberg, W. (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. Zeitschrift für Physik 43 (3–4): 172–198. Bibcode:1927ZPhy…43..172H. doi:10.1007/BF01397280. 
  2. Heisenberg, W. (1930). Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (нім.). Leipzig: Hirzel.  English translation The Physical Principles of Quantum Theory. Chicago: University of Chicago Press, 1930.(англ.)
  3. A historical derivation of Heisenberg's uncertainty relation is flawed [ 18 січня 2017 у Wayback Machine.](англ.)
  4. ВЫВОД СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ КВАНТОВЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ [ 2 лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  5. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? [ 26 березня 2015 у Wayback Machine.](англ.)
  6. ПАРАДОКС ЭЙНШТЕЙНА — ПОДОЛЬСКОГО — РОЗЕНА [ 1 грудня 2016 у Wayback Machine.](рос.)
  7. Квантовая неопределенность [ 11 лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  8. Преобразование Фурье в действии: точное определение частоты сигнала и выделение нот [ 11 лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  9. Простыми словами о преобразовании Фурье [ 11 лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  10. Принцип неопределенности Гейзенберга [ 6 грудня 2016 у Wayback Machine.](рос.)
  11. Курс теоретической физики, 1991, с. 31.
  12. Курс теоретической физики, 1991, с. 35.
  13. Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм «Соотношение неопределённости энергия-время в нерелятивистской квантовой механике», Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9, 122—128 (1945).
  14. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА [ 11 лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  15. Основы квантовой механики [ 11 лютого 2017 у Wayback Machine.](рос.)
  16. Quantum Correlations in Optical Angle — Orbital Angular Momentum Variables [ 26 березня 2015 у Wayback Machine.](англ.)

Джерела Редагувати

  • Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К. : Знання, 2009. — 559 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.
  • В.В.Мултановский, А.С.Василевский. Физические основы квантовой механики // Курс теоретической физики. — М. : Просвещение, 1991. — 320 с. — ISBN 5-09-001832-4.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Princip neviznachenosti ye fundamentalnoyu zasadoyu kvantovoyi mehaniki yaka stverdzhuye sho principovo nemozhlivo odnochasno vimiryati z dovilnoyu tochnistyu pari velichin yaki opisuyut kvantovij ob yekt taki yak napriklad koordinati j impuls Ce tverdzhennya spravedlive ne lishe shodo vimiryuvannya a j shodo teoretichnoyi pobudovi kvantovogo stanu sistemi Tobto nemozhlivo pobuduvati takij kvantovij stan v yakomu sistema odnochasno harakterizuvalasya b tochnimi znachennyami koordinati ta impulsu Princip neviznachenosti sformulyuvav u 1927 mu nimeckij fizik Verner Gejzenberg 1 Ce stalo vazhlivim etapom u z yasuvanni zakonomirnostej atomnih yavish i pobudovi kvantovoyi mehaniki Kvantovomehanichnij princip neviznachenosti analogichnij tverdzhennyu z optiki pro te sho monohromatichnij puchok svitla ne mozhna sfokusuvati tochnishe nizh do rozmiriv poryadku dovzhini hvili U kvantovij mehanici chastinki taki yak elektroni protoni chi nejtroni tezh mayut hvilovi vlastivosti tobto spravedlivij korpuskulyarno hvilovij dualizm Cherez ce elektron proton chi bud yaku inshu chastinku abo fizichnu sistemu nemozhlivo sfokusuvati v prostori do rozmiriv menshih za polovinu dovzhini hvili Zmist 1 Istoriya 2 Formulyuvannya 3 Sproshene poyasnennya 4 Matematichne poyasnennya 4 1 Rivnyannya vilnoyi chastinki 4 2 Hvilovij paket 5 Inshi pari kanonichno spryazhenih velichin 6 Div takozh 7 Primitki 8 Dzherela 9 PosilannyaIstoriya RedaguvatiVerner Gejzenberg sformulyuvav princip neviznachenosti pid chas roboti nad matematichnim bazisom kvantovoyi mehaniki v instituti Nilsa Bora v Kopengageni U 1925 roci Gejzenberg pochav pracyuvati nad rozrobkoyu matrichnoyi mehaniki sho dozvolila zaminiti staru kvantovu teoriyu na bilsh suchasnu kvantovu mehaniku Odnak cya teoriya rozmazuyetsya divnim chinom yiyi rivnyannya ruhu vklyuchayut lishe jmovirnosti znahodzhennya chastinok u tomu chi inshomu misci U berezni 1926 roku Gejzenberg pomitiv sho z nekomutativnosti u jogo modeli viplivaye princip neviznachenosti Ce stalo garnoyu fizichnoyu interpretaciyu nekomutativnosti i lyaglo v osnovu kopengagenskoyi interpretaciyi kvantovoyi mehaniki Gejzenberg takozh pokazav sho ci zh ideyi vedut do principu dopovnyuvanosti sho buv zaproponovanij ranishe Borom U svoyij roboti 1927 roku Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik Gejzenberg sformulyuvav svij princip yak isnuvannya deyakogo minimalnogo zbudzhennya sho zminyuye impuls chastinki pri kozhnomu vimiryuvanni yiyi misceznahodzhennya Prote yavnogo virazu sho pov yazuvav bi Dx i Dp u cij roboti ne bulo dano natomist buli pokazani okremi ocinki dlya kozhnogo z nih okremo Vidoma forma spivvidnoshennya Dx Dp h bula sformulovana na lekciyi yaku Gejzenberg provodiv u Chikago 2 Suchasna forma s x s p ℏ 2 displaystyle sigma x sigma p geq frac hbar 2 nbsp de sx sp standartni vidhilennya pri vimiryuvanni misceznahodzhennya i impulsu bula dovedena u 1927 roci E Kennardom 3 U 1929 roci Govard Robertson uzagalniv rivnyannya Gejzenberga dlya dovilnoyi pari sposterezhuvanih kvantovih velichin D X D Y 1 2 X Y Y X displaystyle Delta X cdot Delta Y geq frac 1 2 langle XY YX rangle nbsp 4 U 1935 roci vijshla stattya Alberta Ejnshtejna Borisa Podolskogo ta Natana Rozena v yakij voni formulyuvali svij vidomij paradoks sho mav bi dovesti sho abo princip neviznachenosti vikonuyetsya ne zavzhdi abo zh kvantova mehanika porushuye princip prichinnosti 5 Sut paradoksu mozhna opisati nastupnim chinom nehaj chastinka impuls yakoyi vimiryanij z visokoyu tochnistyu rozpadayetsya na dvi Todi vimiryavshi impuls odniyeyi z chastinok produktiv rozpadu za zakonom zberezhennya impulsu mi budemo znati i impuls drugoyi ne podiyavshi na neyi niyakim chinom Vimiryavshi pislya cogo koordinatu drugoyi chastinki mi budemo mati opis yiyi stanu z visokoyu tochnistyu Prote eksperimenti pokazali sho princip neviznachenosti vikonuyetsya i v takih situaciyah a rozv yazok paradoksu polyagaye v nelokalnosti kvantovoyi mehaniki 6 Formulyuvannya RedaguvatiSpivvidnoshennya neviznachenostej stverdzhuye sho nemozhlivo odnochasno vimiryati z dovilno visokoyu tochnistyu koordinatu i impuls chastinki Analogichna nerivnist takozh pov yazuye chas i energiyu i bud yaki fizichni velichini operatori yakih ne komutuyut Spivvidnoshennya neviznachenosti mozhna viraziti cherez standartni vidhilennya x x 0 2 p p x 0 2 ℏ 2 4 displaystyle langle x x 0 2 rangle langle p p x0 2 rangle geq frac hbar 2 4 nbsp de kutovi duzhki oznachayut userednennya a x 0 displaystyle x 0 nbsp ta p x 0 displaystyle p x0 nbsp matematichni spodivannya vidpovidnih velichin Shiroko rozpovsyudzhenoyu ye sproshena formula D x D p x ℏ 2 displaystyle Delta x cdot Delta p x geq frac hbar 2 nbsp U zagalnomu vipadku tverdzhennya pro neviznachenist znachen fizichnih velichin A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp viglyadaye tak d A d B 1 2 A B displaystyle delta A cdot delta B geq frac 1 2 left langle hat A hat B rangle right nbsp de d A displaystyle delta A nbsp serednokvadratichne vidhilennya vid serednogo fizichnoyi velichini A displaystyle A nbsp d B displaystyle delta B nbsp serednokvadratichne vidhilennya vid serednogo fizichnoyi velichini B displaystyle B nbsp a A B displaystyle langle hat A hat B rangle nbsp serednye znachennya komutatora operatoriv cih fizichnih velichin Z cogo vidno sho yaksho komutator dorivnyuye nulyu to danu paru fizichnih velichin mozhna vimiryati odnochasno j tochno i navpaki yaksho komutator ne dorivnyuye nulyu to fizichni velichini pov yazani principom neviznachenosti j odnochasno viznacheni buti ne mozhut U granichnomu vipadku koli stala Planka pryamuye do nulya kvantova mehanika perehodit u klasichnu mehaniku Nyutona v yakij nezalezhne viznachennya fizichnih velichin mozhlive oskilki neviznachenist staye menshoyu za eksperimentalnu pohibku Sproshene poyasnennya RedaguvatiYavishe podibne do principu neviznachenosti mozhna znajti i u klasichnij mehanici Yaksho mi sprobuyemo vimiryati shvidkist deyakogo ob yektu dlya cogo nam potribno bude vimiryati jogo polozhennya v dva momenti chasu i potim podiliti riznicyu mizh cimi polozhennyami na riznicyu mizh momentami chasu Takim chinom mi diznayemos shvidkist ale pro polozhennya ob yektu mi budemo znati lishe sho vono lezhit mizh poziciyeyu yaku zajmav ob yekt pri pershomu vimiri i poziciyeyu yaku vin zajmav pri drugomu Prote v klasichnij fizici mi mozhemo zbilshuvati tochnist vimiriv yak zavgodno silno zmenshuyuchi takim chinom pohibku 7 Zgidno kvantovoyi teoriyi bud yaka chastinka maye hvilovi vlastivosti a same jmovirnist znajti yiyi v deyakij tochci prostoru chasu opisuyetsya hvilovoyu funkciyeyu a impuls chastinki pov yazanij z chastotoyu ciyeyi funkciyi Prote dlya zbilshennya tochnosti vimiru chastoti mi mayemo rozglyadati bilshe periodiv funkciyi sho prizvodit do zbilshennya pohibki vimiru koordinati Cya situaciya ye podibnoyu do takoyi sho vinikaye pri sprobi odnochasno vimiryati chastotu zvukovogo signalu i moment chasu koli vin vinik 8 Fizichni velichini pohibki vimiryuvannya yakih pov yazani takim chinom pov yazani cherez peretvorennya Fur ye a same voni perehodyat odna v odnu za dopomogoyu cogo peretvorennya Voni nazivayutsya kanonichno spryazhenimi velichinami Takimi parami kanonichno spryazhenih velichin ye koordinata i impuls energiya i chas ta deyaki inshi Z matematichnoyi tochki zoru mozhna skazati sho spivvidnoshennya neviznachenostej pov yazano z tim sho spektr hvilovogo predstavlennya chastinki sho porodzhuyetsya Fur ye peretvorennyam funkciyi roztyaguyetsya pri stiskanni samoyi hvilovoyi funkciyi i navpaki Cherez ce i velichini sho pov yazani cherez peretvorennya Fur ye povodyat sebe takim chinom 9 Z fizichnoyi tochki zoru mozhna skazati sho princip neviznachenosti pov yazanij z efektom sposterigacha sposterezhennya sho provoditsya nad sistemoyu vplivaye na stan ciyeyi sistemi Napriklad viznachiti polozhennya chastinki mozhna propustivshi yiyi cherez tonku shilinu Ale oskilki chastinka maye hvilovi vlastivosti vona bude difraguvati na shilini i yiyi impuls zminitsya Inshim sposobom diznatisya polozhennya chastinki ye osvititi yiyi i sposterigati za vidbitimi fotonami Ale pri comu oskilki kvanti svitla takozh nesut v sobi deyakij impuls voni peredadut jogo chastinci Pri chomu chim mensha dovzhina hvili svitla tim tochnishe mozhna vstanoviti miscepolozhennya chastinki ale tim bilshij impuls vin nese V realnosti ne tilki ci sposobi a j bud yakij inshij bude mati toj samij efekt chim bilsh tochno vin dozvolit viznachiti koordinatu tim bilshu neperedbachuvanu zminu vin vnese v impuls chastinki i navpaki Varto zaznachiti sho princip neviznachenosti ne zaboronyaye yak zavgodno tochni vimiri bud yakogo z cih dvoh parametriv a vkazuye lishe na nemozhlivist odnochasnogo vimiru oboh 10 Matematichne poyasnennya RedaguvatiRivnyannya vilnoyi chastinki Redaguvati Dokladnishe Vilna chastinkaNehaj chastinka ruhayetsya vilno tobto na neyi ne diyut zhodni sili Todi u rivnyanni Shredingera i ℏ d ps r t d t ℏ 2 2 m D ps r t U x y z t ps displaystyle i hbar d psi mathbf r t over dt frac hbar 2 2m Delta psi mathbf r t U x y z t psi nbsp U bude totozhno rivnim nulyu Rivnyannya nabuvaye viglyadu D ps k 2 ps 0 displaystyle Delta psi k 2 psi 0 nbsp de k 2 2 m E ℏ 2 displaystyle k 2 frac 2mE hbar 2 nbsp Jogo rozv yazkom dlya chastinki z deyakim vidomim znachennyam impulsu p bude ps x y z t C e i ℏ p r E t displaystyle psi x y z t Ce frac i hbar vec p vec r Et nbsp Zgidno z cim rivnyannyam imovirnist znajti yiyi v bud yakij tochci prostoru odnakova tobto u chastinki neskinchenno velika neviznachenist za koordinatoyu 11 Hvilovij paket Redaguvati Dokladnishe Hvilovij paketPobuduyemo taku hvilovu funkciyu shob chastinka sho yij vidpovidaye mala vidminni vid nulya znachennya koordinati i impulsu lishe u deyakij obmezhenij oblasti Taka funkciya nazivayetsya hvilovim paketom i yiyi v bud yakomu razi mozhna viraziti yak sumu ploskih hvil rozglyanemo vipadok odnomirnoyi sistemi ps x t p 0 D p p 0 D p C p e i ℏ p x E p t d p displaystyle psi x t int limits p 0 Delta p p 0 Delta p C p e frac i hbar px E p t dp nbsp Yaksho interval Dp dostatno malij mi mozhemo vvazhati sho C p C p 0 C 0 displaystyle C p approx C p 0 C 0 nbsp a E p E p 0 d E d p 0 p p 0 E 0 v 0 h displaystyle E p approx E p 0 frac dE dp 0 p p 0 E 0 v 0 eta nbsp de h p p0 a v 0 d E d p 0 displaystyle v 0 frac dE dp 0 nbsp Todi rivnyannya dlya hvilovoyi funkciyi peretvoryuyetsya na ps x t C 0 e i ℏ p 0 x E 0 t D p D p e i ℏ x v 0 t h d h displaystyle psi x t approx C 0 e frac i hbar p 0 x E 0 t int limits Delta p Delta p e frac i hbar x v 0 t eta d eta nbsp Legko pokazati sho integral vid eksponenti v ostannij funkciyi dorivnyuye 2 ℏ x v 0 t s i n D p ℏ x v 0 t displaystyle frac 2 hbar x v 0 t sin frac Delta p hbar x v 0 t nbsp todi hvilova funkciya bude dorivnyuvati nbsp ps 2 C 0 D p s i n D p ℏ x v 0 t D p ℏ x v 0 t e i ℏ p 0 x E 0 t displaystyle psi approx 2C 0 Delta p frac sin frac Delta p hbar x v 0 t frac Delta p hbar x v 0 t e frac i hbar p 0 x E 0 t nbsp Prostorovij rozpodil jmovirnosti proporcijnij kvadratu hvilovoyi funkciyi tobto w 4 C 0 2 D p 2 s i n 2 a a 2 displaystyle omega approx 4C 0 2 Delta p 2 frac sin 2 alpha alpha 2 nbsp de a D p ℏ x v 0 t displaystyle alpha frac Delta p hbar x v 0 t nbsp Grafik funkciyi s i n 2 x x 2 displaystyle frac sin 2 x x 2 nbsp zobrazhenij pravoruch Yak vidno vin maye suttyeve vidminne vid nulya znachennya lishe na promizhku vid p do p Diapazon koordinat yakim vidpovidayut ci znachennya mozhna otrimati z rivnyan D p ℏ x 2 v 0 t p displaystyle frac Delta p hbar x 2 v 0 t pi nbsp i D p ℏ x 1 v 0 t p displaystyle frac Delta p hbar x 1 v 0 t pi nbsp Takim chinom D x x 2 x 1 2 p ℏ D p displaystyle Delta x x 2 x 1 frac 2 pi hbar Delta p nbsp z chogo vrahovuyuchi dodatkovi maksimumi funkciyi s i n 2 x x 2 displaystyle frac sin 2 x x 2 nbsp mi mozhemo vivesti kincevu formulu D x D p 2 p ℏ displaystyle Delta x Delta p geq 2 pi hbar nbsp sho pokazuye principovu nemozhlivist odnochasnogo vstanovlennya impulsu i koordinati chastinki a otzhe i vidsutnist u kvantovij mehanici trayektorij mi ne mozhemo tochno opisati u prostori liniyu za yakoyu ruhalasya chastinka sho ye principovoyu vidminnistyu kvantovogo ruhu vid klasichnogo 12 Inshi pari kanonichno spryazhenih velichin RedaguvatiEnergiya ta chas ye kanonichno spryazhenimi velichinami i dlya cih velichin tezh zapisuyetsya spivvidnoshennya neviznachenostej u viglyadi D E D t 1 2 ℏ displaystyle Delta E Delta t geq frac 1 2 hbar nbsp Odnak chas u kvantovij mehanici ye ne operatorom a parametrom tomu spivvidnoshennya neviznachenosti dlya nogo ne ye naslidkom zagalnogo pravila ta vimagaye okremoyi interpretaciyi Mandelshtam i Tamm viveli spivvidnoshennya dlya neviznachenosti chasu j energiyi 13 u formi D E D B B d t ℏ 2 displaystyle Delta E frac Delta B left frac langle hat B rangle dt right geq frac hbar 2 nbsp de B displaystyle hat B nbsp samospryazhenij operator Viraz sprava vid D E displaystyle Delta E nbsp maye rozmirnist chasu ale ce ne pohibka vimiryuvannya chasu a chas zhittya stanu kvantovoyi sistemi vidnosno sposterezhuvanoyi velichini B Tochnomu znachennyu energiyi vidpovidaye kvantovij stan v yakomu sistema perebuvaye neskinchenno dovgo yaksho zh sistema perebuvaye v deyakomu stani skinchennij chas to vona ne maye tochno viznachenoyi energiyi Bagato inshih par operatoriv ye nekomutuyuchimi a otzhe ne mozhut buti vimiryani odnochasno Ortogonalni komponenti momentu impulsu D J i D J j ℏ 2 J k displaystyle Delta J i Delta J j geq frac hbar 2 langle J k rangle nbsp 14 de Jn proyekciya momentu impulsu vzdovzh osi xn Kilkist fotoniv i faza D N D F 1 displaystyle Delta N Delta Phi geq 1 nbsp 15 Moment impulsu i azimutalnij kut D l 2 D ϕ 2 1 4 displaystyle Delta l 2 Delta phi 2 geq 1 4 nbsp 16 Div takozh RedaguvatiParadoks Ejnshtejna Podolskogo RozenaPrimitki Redaguvati Heisenberg W 1927 Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik Zeitschrift fur Physik 43 3 4 172 198 Bibcode 1927ZPhy 43 172H doi 10 1007 BF01397280 Heisenberg W 1930 Physikalische Prinzipien der Quantentheorie nim Leipzig Hirzel English translation The Physical Principles of Quantum Theory Chicago University of Chicago Press 1930 angl A historical derivation of Heisenberg s uncertainty relation is flawed Arhivovano 18 sichnya 2017 u Wayback Machine angl VYVOD SOOTNOShENIYa NEOPREDELENNOSTEJ DLYa KVANTOVYH GAMILTONOVYH SISTEM Arhivovano 2 lyutogo 2017 u Wayback Machine ros Can Quantum Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete Arhivovano 26 bereznya 2015 u Wayback Machine angl PARADOKS EJNShTEJNA PODOLSKOGO ROZENA Arhivovano 1 grudnya 2016 u Wayback Machine ros Kvantovaya neopredelennost Arhivovano 11 lyutogo 2017 u Wayback Machine ros Preobrazovanie Fure v dejstvii tochnoe opredelenie chastoty signala i vydelenie not Arhivovano 11 lyutogo 2017 u Wayback Machine ros Prostymi slovami o preobrazovanii Fure Arhivovano 11 lyutogo 2017 u Wayback Machine ros Princip neopredelennosti Gejzenberga Arhivovano 6 grudnya 2016 u Wayback Machine ros Kurs teoreticheskoj fiziki 1991 s 31 Kurs teoreticheskoj fiziki 1991 s 35 L I Mandelshtam I E Tamm Sootnoshenie neopredelyonnosti energiya vremya v nerelyativistskoj kvantovoj mehanike Izv Akad Nauk SSSR ser fiz 9 122 128 1945 YaDERNAYa FIZIKA Arhivovano 11 lyutogo 2017 u Wayback Machine ros Osnovy kvantovoj mehaniki Arhivovano 11 lyutogo 2017 u Wayback Machine ros Quantum Correlations in Optical Angle Orbital Angular Momentum Variables Arhivovano 26 bereznya 2015 u Wayback Machine angl Dzherela RedaguvatiBilij M U Ohrimenko B A Atomna fizika K Znannya 2009 559 s Fedorchenko A M Kvantova mehanika termodinamika i statistichna fizika Teoretichna fizika K Visha shkola 1993 T 2 415 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Landau L D Lifshic E M Kvantovaya mehanika Nerelyativistskaya teoriya Teoreticheskaya fizika M Fizmatlit 2008 T 3 800 s V V Multanovskij A S Vasilevskij Fizicheskie osnovy kvantovoj mehaniki Kurs teoreticheskoj fiziki M Prosveshenie 1991 320 s ISBN 5 09 001832 4 Posilannya RedaguvatiPrincip pevnosti Arhivovano 14 travnya 2011 u Wayback Machine angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Princip neviznachenosti amp oldid 39852515