www.wikidata.uk-ua.nina.az

Закон збереження імпульсу один із фундаментальних законів фізики який стверджує що у замкненій системі сумарний імпульс

Закон збереження імпульсу

Закон збереження імпульсу — один із фундаментальних законів фізики, який стверджує, що у замкненій системі сумарний імпульс усіх тіл зберігається. Він звучить так:

Замкненою системою називають систему тіл, на які не діють зовнішні сили або вони зрівноважені.

У класичній механіці закон збереження імпульсу зазвичай виводиться як наслідок законів Ньютона. Із законів Ньютона можна показати, що під час руху системи в порожньому просторі імпульс зберігається в часі, а за наявності зовнішнього впливу швидкість зміни імпульсу визначається сумою прикладених сил.

Як і будь-який із фундаментальних законів збереження, закон збереження імпульсу пов'язаний, згідно з теоремою Нетер, з однією з фундаментальних симетрій, — однорідністю простору.

Закон збереження імпульсу вперше сформулював Р. Декарт.

Доведення

Розглянемо систему із N тіл, які взаємодіють між собою. Силу, яка діє на i-те тіло з боку j-ого тіла позначимо . Рівняння руху для кожного із N тіл записуються у вигляді:

де  — імпульс i-ого тіла.

Просумувавши усі рівняння, й враховуючи те, що за третім законом Ньютона

отримуємо:

звідки

Тобто сумарний імпульс системи з N частинок є сталою величиною — інтегралом руху. При N = 1 отримуємо вираз для випадку однієї частинки. Таким чином, випливає висновок:

Закон збереження імпульсу виконується не тільки для систем, на які не діють зовнішні сили, він справедливий і в тих випадках, коли сума всіх зовнішніх сил, які діють на систему, дорівнює нулю. Тобто відсутність зовнішніх сил, які діють на систему, достатня, але не необхідна для виконання закону збереження імпульсу.

Якщо проєкція суми зовнішніх сил на будь-який напрямок або координатну вісь дорівнює нулю, то в цьому випадку кажуть про закон збереження проєкції імпульсу на цей напрямок або координатну вісь.

Зв'язок з однорідністю простору

Симетрія у фізиці
Перетворення Відповідна
інваріантність 		Відповідний
закон
збереження
⭥Трансляції часу Однорідність
часу 		…енергії
⊠ C, P, CP і T-симетрії Ізотропність
часу 		…парності
⭤ Трансляції простору Однорідність
простору 		…імпульсу
↺ Обертання простору Ізотропність
простору 		…моменту
імпульсу
⇆ Група Лоренца (бусти) Відносність
Лоренц-коваріантність 		…руху
центра мас
~ Калібрувальне
перетворення 		Калібрувальна
інваріантність 		…заряду

Згідно з теоремою Нетер кожному закону збереження ставиться у відповідність якась симетрія рівнянь, що описують систему. Зокрема, закон збереження імпульсу еквівалентний однорідності простору, тобто незалежності всіх законів, які описують систему, від положення системи в просторі. Найпростіше виведення цього твердження ґрунтується на застосуванні лагранжевого підходу до опису системи.

Виведення із закону збереження енергії

Розглянемо систему декількох частинок, які зіштовхуються пружно (без перетворення частини механічної енергії в інші форми), з масами і швидкостями до зіткнень і після зіткнень. Закон збереження енергії має вигляд

Перейдемо в систему відліку, яка рівномірно і прямолінійно рухається зі швидкістю . Швидкості частинок з точки зору цієї системи відліку будуть до зіткнень і після зіткнень. Закон збереження енергії з точки зору цієї системи має вигляд

Отже, , звідки випливає . Оскільки швидкість довільна, то остання рівність буде справедливою тільки в разі виконання закону збереження імпульсу

Виведення з формалізму Лагранжа

Розглянемо функцію Лагранжа вільного тіла залежну від узагальнених координат узагальнених швидкостей і часу . Тут крапка над позначає диференціювання за часом, Виберемо для розгляду прямокутну декартову систему координат, тоді для кожної -тої частки. Використовуючи однорідність простору, ми можемо дати всім радіус-векторам частинок однаковий приріст, який не впливатиме на рівняння руху: де У разі сталості швидкості функція Лагранжа зміниться так:

де підсумовування йде за всіма частинками системи. Оскільки приріст не впливає на рівняння руху, варіація функції Лагранжа має бути рівною нулю: З урахуванням того, що вектор  — довільний, остання вимога виконується при:

Скористаємося рівнянням Лагранжа

Це означає, що сума, яка стоїть під знаком диференціала, — стала величина для даної системи. Сама сума і є сумарним імпульсом системи:

Враховуючи, що лагранжіан вільної частинки має вигляд: легко бачити, що останній вираз збігається з виразом у ньютоновому формалізмі:

Для релятивістської вільної частинки лагранжіан має дещо іншу форму: що призводить до релятивістського визначення імпульсу

Нині не існує будь-яких експериментальних фактів, що свідчать про невиконання закону збереження імпульсу.

Закон збереження імпульсу в квантовій механіці

Закон збереження імпульсу в ізольованих системах виконується і в квантовій механіці. У тих явищах, де проявляються корпускулярні властивості частинок, їхній імпульс, як і в класичній механіці, дорівнює , а якщо проявляються хвильові властивості частинок, їхній імпульс дорівнює , де  — довжина хвилі. У квантовій механіці закон збереження імпульсу є наслідком симетрії відносно зсувів за координатами.

Закон збереження імпульсу в теорії відносності

Закон збереження імпульсу виконується і в теорії відносності. Відмінність від класичної механіки полягає лише в тому, що в теорії відносності залежність імпульсу від швидкості має вигляд

У загальній теорії відносності, аналогічно ситуації з закон збереження енергії, при переході до викривленого простору-часу закон збереження імпульсу, що виражається просторовими компонентами співвідношення для тензора енергії-імпульсу

де крапка з комою виражає коваріантну похідну, призводить лише до величин, що зберігаються локально. Це пов'язано з відсутністю глобальної однорідності простору в просторі-часі загального вигляду.

Можна придумати такі визначення імпульсу гравітаційного поля, що глобальний закон збереження імпульсу буде виконуватися за руху в часі системи тіл і полів, але всі такі визначення містять елемент довільності, оскільки згаданий імпульс гравітаційного поля не може бути тензорною величиною за довільних перетворень координат.

Примітки

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — 4-е изд., испр. — М. : «Наука», 1988. — Т. I. Механика. — С. 26. — ISBN 5-02-013850-9.
  2. Готт, 1972, с. 222.
  3. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 282. — ISBN 5-06-003117-9.
  4. Кузнецов, 1958, с. 135.
  5. Перкинс Д.[en]. Введение в физику высоких энергий. — М. : Мир, 1975. — С. 94.
  6. ↑ Широков, 1972, с. 276.
  7. Фейнман, 2004, с. 194.
  8. Ферми, 1968, с. 183.
  9. Фейнман, 2004, с. 193.

Література

  • Федорченко А.М. Теоретична механіка. — Київ : Вища школа, 1976. — 516 с.
  • Кузнецов Б. Г. Принципы классической физики. — М. : АН СССР, 1958. — 321 с.
  • Фейнман Р. Ф. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
  • Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М. : Наука, 1972. — 670 с.
  • Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М. : Высшая школа, 1972. — 416 с.
  • Ферми Э. Квантовая механика. — М. : Мир, 1968. — 367 с.

Посилання

  • Досвід з кулями з демонстрації закону збереження імпульсу [ 9 січня 2022 у Wayback Machine.] (відео)
Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Zakon zberezhennya impulsu odin iz fundamentalnih zakoniv fiziki yakij stverdzhuye sho u zamknenij sistemi sumarnij impuls usih til zberigayetsya Vin zvuchit tak u zamknenij sistemi geometrichna suma impulsiv povnij impuls sistemi zalishayetsya staloyu za bud yakih vzayemodij til ciyeyi sistemi mizh soboyu Zamknenoyu sistemoyu nazivayut sistemu til na yaki ne diyut zovnishni sili abo voni zrivnovazheni U klasichnij mehanici zakon zberezhennya impulsu zazvichaj vivoditsya yak naslidok zakoniv Nyutona Iz zakoniv Nyutona mozhna pokazati sho pid chas ruhu sistemi v porozhnomu prostori impuls zberigayetsya v chasi a za nayavnosti zovnishnogo vplivu shvidkist zmini impulsu viznachayetsya sumoyu prikladenih sil Yak i bud yakij iz fundamentalnih zakoniv zberezhennya zakon zberezhennya impulsu pov yazanij zgidno z teoremoyu Neter z odniyeyu z fundamentalnih simetrij odnoridnistyu prostoru 1 Zakon zberezhennya impulsu vpershe sformulyuvav R Dekart 2 Zmist 1 Dovedennya 2 Zv yazok z odnoridnistyu prostoru 2 1 Vivedennya iz zakonu zberezhennya energiyi 2 2 Vivedennya z formalizmu Lagranzha 3 Zakon zberezhennya impulsu v kvantovij mehanici 4 Zakon zberezhennya impulsu v teoriyi vidnosnosti 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaDovedennya RedaguvatiRozglyanemo sistemu iz N til yaki vzayemodiyut mizh soboyu Silu yaka diye na i te tilo z boku j ogo tila poznachimo F i j displaystyle mathbf F ij Rivnyannya ruhu dlya kozhnogo iz N til zapisuyutsya u viglyadi d p i d t j F i j displaystyle frac d mathbf p i dt sum j mathbf F ij de p i displaystyle mathbf p i impuls i ogo tila Prosumuvavshi usi rivnyannya j vrahovuyuchi te sho za tretim zakonom Nyutona F i j F j i displaystyle mathbf F ij mathbf F ji otrimuyemo d d t i p i 0 displaystyle frac d dt sum i mathbf p i 0 zvidki i p i const displaystyle sum i mathbf p i text const Tobto sumarnij impuls sistemi z N chastinok ye staloyu velichinoyu integralom ruhu Pri N 1 otrimuyemo viraz dlya vipadku odniyeyi chastinki Takim chinom viplivaye visnovok 3 yaksho vektorna suma vsih zovnishnih sil yaki diyut na sistemu dorivnyuye nulyu impuls sistemi zberigayetsya tobto ne zminyuyetsya z chasom Zakon zberezhennya impulsu vikonuyetsya ne tilki dlya sistem na yaki ne diyut zovnishni sili vin spravedlivij i v tih vipadkah koli suma vsih zovnishnih sil yaki diyut na sistemu dorivnyuye nulyu Tobto vidsutnist zovnishnih sil yaki diyut na sistemu dostatnya ale ne neobhidna dlya vikonannya zakonu zberezhennya impulsu Yaksho proyekciya sumi zovnishnih sil na bud yakij napryamok abo koordinatnu vis dorivnyuye nulyu to v comu vipadku kazhut pro zakon zberezhennya proyekciyi impulsu na cej napryamok abo koordinatnu vis Zv yazok z odnoridnistyu prostoru RedaguvatiSimetriya u fiziciPeretvorennya Vidpovidnainvariantnist Vidpovidnijzakonzberezhennya Translyaciyi chasu Odnoridnistchasu energiyi C P CP i T simetriyi Izotropnistchasu parnosti Translyaciyi prostoru Odnoridnistprostoru impulsu Obertannya prostoru Izotropnistprostoru momentuimpulsu Grupa Lorenca busti VidnosnistLorenc kovariantnist ruhucentra mas Kalibruvalneperetvorennya Kalibruvalnainvariantnist zaryaduZgidno z teoremoyu Neter kozhnomu zakonu zberezhennya stavitsya u vidpovidnist yakas simetriya rivnyan sho opisuyut sistemu Zokrema zakon zberezhennya impulsu ekvivalentnij odnoridnosti prostoru tobto nezalezhnosti vsih zakoniv yaki opisuyut sistemu vid polozhennya sistemi v prostori Najprostishe vivedennya cogo tverdzhennya gruntuyetsya na zastosuvanni lagranzhevogo pidhodu do opisu sistemi Vivedennya iz zakonu zberezhennya energiyi Redaguvati Rozglyanemo sistemu dekilkoh chastinok yaki zishtovhuyutsya pruzhno bez peretvorennya chastini mehanichnoyi energiyi v inshi formi z masami m i displaystyle m i i shvidkostyami u i displaystyle u i do zitknen i U i displaystyle U i pislya zitknen Zakon zberezhennya energiyi maye viglyad 1 2 i m i u i 2 1 2 i m i U i 2 displaystyle frac 1 2 sum i m i u i 2 frac 1 2 sum i m i U i 2 Perejdemo v sistemu vidliku yaka rivnomirno i pryamolinijno ruhayetsya zi shvidkistyu v displaystyle v Shvidkosti chastinok z tochki zoru ciyeyi sistemi vidliku budut u i v displaystyle u i v do zitknen i U i v displaystyle U i v pislya zitknen Zakon zberezhennya energiyi z tochki zoru ciyeyi sistemi maye viglyad 1 2 i m i u i v 2 1 2 i m i U i v 2 displaystyle frac 1 2 sum i m i u i v 2 frac 1 2 sum i m i U i v 2 abo1 2 i m i u i 2 2 v u i v 2 1 2 i m i U i 2 2 v U i v 2 displaystyle frac 1 2 sum i m i u i 2 2vu i v 2 frac 1 2 sum i m i U i 2 2vU i v 2 Otzhe i m i v u i i m i v U i displaystyle sum i m i vu i sum i m i vU i zvidki viplivaye v i m i u i v i m i U i displaystyle v sum i m i u i v sum i m i U i Oskilki shvidkist v displaystyle v dovilna to ostannya rivnist bude spravedlivoyu tilki v razi vikonannya zakonu zberezhennya impulsu i m i u i i m i U i displaystyle sum i m i u i sum i m i U i 4 Vivedennya z formalizmu Lagranzha Redaguvati Rozglyanemo funkciyu Lagranzha vilnogo tila L L q i q i t displaystyle mathcal L equiv mathcal L q i dot q i t zalezhnu vid uzagalnenih koordinat q i displaystyle q i uzagalnenih shvidkostej q i displaystyle dot q i i chasu t displaystyle t Tut krapka nad q displaystyle q poznachaye diferenciyuvannya za chasom q i q i t displaystyle dot q i equiv frac partial q i partial t Viberemo dlya rozglyadu pryamokutnu dekartovu sistemu koordinat todi q i r a q i v a displaystyle q i vec r a dot q i vec v a dlya kozhnoyi a displaystyle a toyi chastki Vikoristovuyuchi odnoridnist prostoru mi mozhemo dati vsim radius vektoram chastinok odnakovij pririst yakij ne vplivatime na rivnyannya ruhu r a r a 3 displaystyle vec r a to vec r a vec xi de 3 c o n s t displaystyle vec xi equiv overrightarrow mathrm const U razi stalosti shvidkosti funkciya Lagranzha zminitsya tak d L a L r a d r a 3 a L r a displaystyle delta mathcal L sum a frac partial mathcal L partial vec r a delta vec r a vec xi sum a frac partial mathcal L partial vec r a de pidsumovuvannya jde za vsima chastinkami sistemi Oskilki pririst ne vplivaye na rivnyannya ruhu variaciya funkciyi Lagranzha maye buti rivnoyu nulyu d L 0 displaystyle delta mathcal L 0 Z urahuvannyam togo sho vektor 3 displaystyle vec xi dovilnij ostannya vimoga vikonuyetsya pri a L r a 0 displaystyle sum a frac partial mathcal L partial vec r a 0 Skoristayemosya rivnyannyam Lagranzha d d t L q i L q i 0 displaystyle frac d dt frac partial mathcal L partial dot q i frac partial mathcal L partial q i 0 a L r a a d d t L v a d d t a L v a 0 displaystyle sum a frac partial mathcal L partial vec r a sum a frac d dt frac partial mathcal L partial vec v a frac d dt sum a frac partial mathcal L partial vec v a 0 Ce oznachaye sho suma yaka stoyit pid znakom diferenciala stala velichina dlya danoyi sistemi Sama suma i ye sumarnim impulsom sistemi P a L v a c o n s t displaystyle vec P sum a frac partial mathcal L partial vec v a overrightarrow mathrm const Vrahovuyuchi sho lagranzhian vilnoyi chastinki maye viglyad L m v 2 2 displaystyle mathcal L frac mv 2 2 legko bachiti sho ostannij viraz zbigayetsya z virazom u nyutonovomu formalizmi P a m a v a c o n s t displaystyle vec P sum a m a vec v a overrightarrow mathrm const Dlya relyativistskoyi vilnoyi chastinki lagranzhian maye desho inshu formu L m c 2 1 v 2 c 2 displaystyle mathcal L mc 2 sqrt 1 frac v 2 c 2 sho prizvodit do relyativistskogo viznachennya impulsu P a m a v a 1 v 2 c 2 c o n s t displaystyle vec P sum a frac m a vec v a sqrt 1 frac v 2 c 2 overrightarrow mathrm const Nini ne isnuye bud yakih eksperimentalnih faktiv sho svidchat pro nevikonannya zakonu zberezhennya impulsu Zakon zberezhennya impulsu v kvantovij mehanici RedaguvatiZakon zberezhennya impulsu v izolovanih sistemah vikonuyetsya i v kvantovij mehanici 5 6 U tih yavishah de proyavlyayutsya korpuskulyarni vlastivosti chastinok yihnij impuls yak i v klasichnij mehanici dorivnyuye p m v displaystyle p mv a yaksho proyavlyayutsya hvilovi vlastivosti chastinok yihnij impuls dorivnyuye p ℏ l displaystyle p frac hbar lambda de l displaystyle lambda dovzhina hvili 7 U kvantovij mehanici zakon zberezhennya impulsu ye naslidkom simetriyi vidnosno zsuviv za koordinatami 8 Zakon zberezhennya impulsu v teoriyi vidnosnosti RedaguvatiZakon zberezhennya impulsu vikonuyetsya i v teoriyi vidnosnosti Vidminnist vid klasichnoyi mehaniki polyagaye lishe v tomu sho v teoriyi vidnosnosti zalezhnist impulsu vid shvidkosti maye viglyad p m v 1 v 2 c 2 displaystyle p frac mv sqrt 1 frac v 2 c 2 9 6 U zagalnij teoriyi vidnosnosti analogichno situaciyi z zakon zberezhennya energiyi pri perehodi do vikrivlenogo prostoru chasu zakon zberezhennya impulsu sho virazhayetsya prostorovimi komponentami spivvidnoshennya dlya tenzora energiyi impulsu T n m m 0 displaystyle T nu mu mu 0 de krapka z komoyu virazhaye kovariantnu pohidnu prizvodit lishe do velichin sho zberigayutsya lokalno Ce pov yazano z vidsutnistyu globalnoyi odnoridnosti prostoru v prostori chasi zagalnogo viglyadu Mozhna pridumati taki viznachennya impulsu gravitacijnogo polya sho globalnij zakon zberezhennya impulsu bude vikonuvatisya za ruhu v chasi sistemi til i poliv ale vsi taki viznachennya mistyat element dovilnosti oskilki zgadanij impuls gravitacijnogo polya ne mozhe buti tenzornoyu velichinoyu za dovilnih peretvoren koordinat Primitki Redaguvati Landau L D Lifshic E M Teoreticheskaya fizika 4 e izd ispr M Nauka 1988 T I Mehanika S 26 ISBN 5 02 013850 9 Gott 1972 s 222 Targ S M Kratkij kurs teoreticheskoj mehaniki M Vysshaya shkola 1995 S 282 ISBN 5 06 003117 9 Kuznecov 1958 s 135 Perkins D en Vvedenie v fiziku vysokih energij M Mir 1975 S 94 a b Shirokov 1972 s 276 Fejnman 2004 s 194 Fermi 1968 s 183 Fejnman 2004 s 193 Literatura RedaguvatiFedorchenko A M Teoretichna mehanika Kiyiv Visha shkola 1976 516 s Kuznecov B G Principy klassicheskoj fiziki M AN SSSR 1958 321 s Fejnman R F Fejnmanovskie lekcii po fizike Vyp 1 Sovremennaya nauka o prirode Zakony mehaniki M Editorial URSS 2004 440 s ISBN 5 354 00699 6 Shirokov Yu M Yudin N P Yadernaya fizika M Nauka 1972 670 s Gott V S Filosofskie voprosy sovremennoj fiziki M Vysshaya shkola 1972 416 s Fermi E Kvantovaya mehanika M Mir 1968 367 s Posilannya RedaguvatiDosvid z kulyami z demonstraciyi zakonu zberezhennya impulsu Arhivovano 9 sichnya 2022 u Wayback Machine video Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Zakon zberezhennya impulsu amp oldid 36241187