Функція Лагранжа фізичної системи — функція узагальнених координат , що використовується у фізиці для побудови через певний варіаційний принцип рівнянь руху, які описують еволюцію фізичної системи. Наприклад рівняння руху класичної механіки в цьому підході отримуються з принципу найменшої дії, що записується як
де дія — функціонал, який визначається через функцію Лагранжа як
а — узагальнені координати (наприклад, координати частинок або польові змінні), означає множину параметрів системи, у випадку класичної механіки — незалежні просторові координати і час, а більш широко — також електричні або інші фізичні параметри.
Функцію Лангранжа називають також лагранжіаном, однак такий вжиток має жаргонний відтінок, оскільки зазвичай суфікс -іан застосовується до квантових аналогів класичних функцій — наприклад, функція Гамільтона — гамільтоніан, функція Лагранжа — лагранжіан. Лагранжіаном також часто називають густину функції Лагранжа (див. нижче).
Рівняння, отримані з прирівнювання до нуля функціональної похідної функціонала по всіх напрямках, ідентичні до звичайних рівнянь Ейлера-Лагранжа. Динамічні системи, рівняння для яких можуть бути отримані з принципу найменшої дії для зручно вибраної функції Лагранжа, відомі як динамічні системи Лагранжа.
Існує багато прикладів динамічних систем Лагранжа, починаючи з класичної версії Стандартної моделі в фізиці елементарних частинок і закінчуючи рівняннями Ньютона в класичній механіці. Також до цієї області відносяться чисто математичні проблеми, такі як задача знаходження геодезичних рівнянь і проблема Плато[en].
Поняття назване на честь Жозефа Луї Лагранжа.
Приклад з класичної механіки Редагувати
Поняття функції Лагранжа початково було введене для переформулювання класичної механіки у вигляді, відомому як механіка Лагранжа. В цьому контексті функція Лагранжа зазвичай береться у вигляді різниці кінетичної і потенціальної енергії механічної системи.
Для матеріальної точки у тривимірному просторі функція Лагранжа може бути записана у вигляді
де похідна по часу позначається крапкою над диференційованою величиною, — радіус-вектор частинки, m — її маса і V — потенціальна енергія. Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа буде:
де — градієнт.
Цей підхід еквівалентний до рівнянь Ньютона. Сила виражається через потенціал як :.
Тоді рівняння
яке є аналогічним до рівняння Ньютона для тіла з постійною масою. Прості обчислення ведуть до виразу
що є записом другого закону Ньютона в узагальненій формі.
Для тривимірної системи зі сферичними координатами r, θ, φ з функцією Лагранжа
можна отримати наступні рівняння Ейлера-Лагранжа:
Функція Лагранжа швидкої частинки Редагувати
Для релятивістської частинки функція Лагранжа збігається зі швидкістю зростання довжини її світової лінії в просторі Мінковського або власного часу з точністю до сталого множника:
де v — звичайна тривимірна швидкість частинки, c — швидкість світла, m — маса частинки.
За допомогою цієї функції Лагранжа можна отримати рівняння класичної динаміки релятивістських частинок.
Теорія поля Редагувати
В теорії поля розрізняють функцію Лагранжа , через яку дія виражається як інтеграл тільки по часу
і густину функції Лагранжа , яку потрібно інтегрувати по всьому чотиривимірному простору-часу:
Тоді функція Лагранжа — це інтеграл по просторових змінних від густини функції Лагранжа.
І те, й інше часто називають лагранжіаном, останнім часом переважно саме густину функції Лагранжа . Це корисно в релятивістських теоріях, оскільки густина функції Лагранжа визначена локально.
Квантові теорії поля у фізиці елементарних частинок, такі як квантова електродинаміка, зазвичай описуються в термінах . Ця форма зручна, оскільки легко переводиться в правила, що використовуються для оцінки діаграм Фейнмана.
Електромагнітний лагранжіан Редагувати
Електростатика Редагувати
Електростатика (фізика статичних — тобто повільнозмінних) електричних полів, які можна (приблизно або точно) описати скалярним потенціалом і зарядженої речовини, що досить повільно рухається і, таким чином, підкоряється Ньютонівській механіці, може бути в цілому описана практично в рамках класичної механіки.
В класичній механіці лагранжіан це
де T — кінетична енергія і V — потенціальна енергія.
Для зарядженої частинки масою m і зарядом q, що знаходиться в електричному (електростатичному) полі зі скалярним потенціалом φ, кінетична енергія задається виразом
Енергія взаємодії поля з зарядженою речовиною має вигляд
або
(І той і інший вигляд корисно виписати окремо, хоча, звичайно, вони зводяться один до одного, якщо використовувати дельта-функцію). Енергія поля входить в член кінетичної енергії разом з кінетичною енергією частинок, записуючись як:
де — «силова константа», що входить в кінцевому варіанті в закон Кулона.
Таким чином, лагранжіан електростатики, що включає в себе і кінетичну енергію (повільного) руху заряджених частинок, має такий вигляд:
(кожен його член виписаний нижче).
- Звичайно, цей лагранжіан може бути при необхідності доповнений іншими членами, що описують неелектричні сили, наприклад, енергією пружності і т.ін.
Проваріювавши дію з описаним в цьому параграфі лагранжіаном, легко отримати рівняння поля для електростатики (рівняння Пуассона):
і рівняння руху частинки в електростатичному полі (що в цілому збігається з отриманим в прикладі для класичної частинки на початку статті):
Електродинаміка Редагувати
Тривимірне формулювання Редагувати
У випадку електродинаміки доводиться користуватися вже не класичною потенціальною енергією, а узагальненою (залежною також від швидкостей) потенціальною енергією (енергією взаємодії):
або
де c — швидкість світла, v — швидкість частинки, j — вектор густини струму.
Енергія електромагнітного поля також повинна включати порівняно з випадком електростатики ще й енергію магнітного поля:
де E і H слідує вважати вираженими через електричний потенціал ф і векторний потенціал А:
Тоді електромагнітний лагранжіан запишеться у вигляді
або
Тут як лагранжіан речовини можна використовувати наближений вираз для повільних частинок, як описано в параграфі про електростатику, а можна використовувати (так як для електродинаміки, необмеженої повільними рухами, це актуально) релятивістський лагранжіан для швидких частинок
Як і у випадку електростатики, при необхідності до цього лагранжіану можуть бути дописані додаткові члени, що описують неелектромагнітні сили, інші поля і т.д, що, загалом, виходить за рамки задачі опису електромагнітного лагранжіану. Строго кажучи, виписування кінетичної енергії речовини також виходить за ці рамки, однак ми його виписали, щоб опис зберігав цілісність.
При варіюванні дії з цим лагранжіаном по ф і по (незалежно по кожному, використовуючи другу форму запису лагранжіану), виходять рівняння Максвела, а при варіюванні по координатах заряджених частинок — використовуючи першу форму запису — рівняння руху заряджених частинок в полі, що зводиться до:
де p — (тривимірний) імпульс частинки, — сила Лоренца (включаючи електричний член).
Однак простіше і швидше таке виведення виходить в чотиривимірному формулюванні (див. далі).
Чотиривимірне формулювання Редагувати
В чотиривимірному формулюванні густина лагранжіану електромагнітного поля, його взаємодії з зарядженою речовиною і самої речовини виглядає так (використовуючи систему одиниць c=1):
Другий член (що описує взаємодію) можна переписати так, що відповідна дія буде:
(Член — звичайна густина лагранжіану швидкої — в загальному випадку — частинки; явно її можна не виписувати, оскільки для класичної теорії вона не потрібна, так як для неї потрібен лагранжіан такої частинки, виписаний як завжди — див. вище — а не його густина).
Тут c — швидкість світла, — тензор електромагнітного поля (в лагранжіан входить його згортка — квадрат), — 4-потенціал, — чотиривимірна густина струму, — 4-переміщення; мається на увазі нотація Ейнштейна сумування по повторюваному індексу.
Варіюванням по легко отримуються рівняння Максвела в чотиривимірній формі:
а варіюванням по — рівняння руху для частинки:
де — 4-імпульс, — 4-швидкість.
Лагранжіан квантової теорії поля Редагувати
Лагранжіан квантової теорії поля в принципі збігається з класичним, за винятком випадків, коли для деякої частини польових змінних важко ввести класичні аналоги або їх коректно інтерпретувати; хоча, і тоді зазвичай можна, хоча б чисто формально, отримати те, що називається класичним рівнянням руху, використавши замість тієї або іншої процедури квантування поля з даним лагранжіаном наближення стаціонарної фази (стаціонарної дії) — тобто знайшовши класичне наближення опису системи.
Таким чином, лагранжіани, виписані нижче, не є у визначеному сенсі специфічними тільки для квантової теорії відповідних полів; тим не менше вони в квантовій теорії поля використовуються, будучи в деякому відношенні її основою.
Лагранжіан квантової електродинаміки Редагувати
Густина лагранжіану для КЕД
де ψ — біспінор, — його діраковське спряження, — 4-тензор електромагнітного поля, D — калібрувальна коваріантна похідна, і — позначення Фейнмана для .
Лагранжіан Дірака Редагувати
Густина лагранжіану для діраковського поля
Лагранжіан квантової хромодинаміки Редагувати
Густина лагранжіану для квантової хромодинаміки [1] [ 9 липня 2011 у Wayback Machine.]
де — калібрувальна коваріантна похідна КХД, и — тензор напруженості глюонного поля.
Примітки Редагувати
- а в деяких теоріях і більш багатовимірному
- В цьому пункті йде мова про чисто класичну (не квантову) електродинаміку, особливо це стосується зарядженої речовини, з якою взаємодіє електромагнітне поле — тобто і члена взаємодії, і лагранжіана власне речовини (а лагранжіан вільного електромагнітного поля в цілому той самий для класичної і квантової теорії).
- Тут зазвичай мається на увазі скаляр звичайного тривимірного простору, а не інваріант перетворень Лоренца.
- Це визначається знаком, який повинен вийти в результаті в рівняннях руху і тим, що з певних міркувань енергію поля хочеться мати додатньою. Все це може бути більш-менш строго обґрунтовано, але тут ми обмежимось щойно наведеними простими міркуваннями.
- Для отримання рівняння поля зручніше використовувати лагранжіан взаємодії, виражений через , для отримання рівняння руху частинки в полі — через положення точкової частинки (через ).
- Питання про знаки, як це було зроблено вище для електростатичного поля, не будемо тут детально обговорювати, хоча достатньо строге обґрунтування й існує, обмежимось знову зауваженням, що саме такі знаки дають потрібні знаки в готових рівняннях.
Посилання Редагувати
- Christoph Schiller (2005), , Motion Mountain
- David Tong Classical Dynamics [ 14 квітня 2021 у Wayback Machine.] (Cambridge lecture notes)