www.wikidata.uk-ua.nina.az

Принцип найменшої дії При нцип найме ншої ді ї у фізиці стверджує що із усіх можливих шляхів системи у конфігураційному

Принцип найменшої дії

При́нцип найме́ншої ді́ї, у фізиці — стверджує, що із усіх можливих шляхів системи у конфігураційному просторі реалізується той, який відповідає мінімальному значенню дії.

Принцип найменшої дії є універсальним фізичним законом і використовується для виведення рівнянь руху.

Формулювання Гамільтона Редагувати

У формулюванні Гамільтона, також відомому під назвою принцип Гамільтона-Остроградського, дія дорівнює

де — функція Лагранжа. Розглядаються всі можливі траєкторії, які починаються в певній точці конфігураційного простору й закінчуються в момент часу .

Формулювання Мопертюї Редагувати

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії використовують функцію Лагранжа:

де є узагальнені координати a є узагальнені імпульси.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

де означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії дає:

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

тому варіація редукованої дії буде:

де є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретиного шляху , тобто , тому узагальнений імпульс можна переписати як:

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

Оскільки швидкість переміщення по шляху є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

Таким чином, траєкторія руху системи залежить від повної енергії . Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа , тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

де i залежні від .

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:

оскільки кінетична енергія рівна постійній повній енергії мінус потенціальній енергії .


Дія дорівнює

Розглядаються траєкторії, що починаються в певній точці координаційного простору і закінчуються в іншій наперед вибраній точці координаційного простору незалежно від часу, якого вимагає подолання шляху між двома точками.

Варіація Редагувати

Для того, щоб знайти траєкторію системи у конфігураційному просторі, необхідно перебрати усі можливі траєкторії руху й вибрати той, для якого дія буде найменшою.

Робиться це таким чином.

Спочатку розглядається довільна траєкторія . Потім додається довільне мале відхилення (варіація) від цієї траєкторії , таке, щоб . Обчислюється дія для обох траєкторій і знаходиться різниця між отриманими значеннями.

Траєкторія буде реалізуватися тоді, коли ця різниця буде додатною.

Враховуючи те, що відхилення мале, функцію Лагранжа можна розкласти в ряд Тейлора, відкидаючи усі квадратичні й вищі члени.

Таким чином отримують диференційне рівняння Лагранжа (або Ейлера-Лагранжа)

справедливе тоді, коли всі сили в механічній системі потенціальні.

Ця процедура називається варіаційною процедурою. Вона є стандатним методом виведення диференційних рівнянь із інтегральних законів.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pri ncip najme nshoyi di yi u fizici stverdzhuye sho iz usih mozhlivih shlyahiv sistemi u konfiguracijnomu prostori realizuyetsya toj yakij vidpovidaye minimalnomu znachennyu diyi Princip najmenshoyi diyi ye universalnim fizichnim zakonom i vikoristovuyetsya dlya vivedennya rivnyan ruhu Zmist 1 Formulyuvannya Gamiltona 2 Formulyuvannya Mopertyuyi 3 Variaciya 4 Div takozh 5 DzherelaFormulyuvannya Gamiltona RedaguvatiU formulyuvanni Gamiltona takozh vidomomu pid nazvoyu princip Gamiltona Ostrogradskogo diya dorivnyuye S t 1 t 2 L q i q i t d t displaystyle S int t 1 t 2 mathcal L q i dot q i t dt nbsp de L displaystyle mathcal L nbsp funkciya Lagranzha Rozglyadayutsya vsi mozhlivi trayektoriyi yaki pochinayutsya v pevnij tochci konfiguracijnogo prostoru j zakinchuyutsya v moment chasu t 2 displaystyle t 2 nbsp Formulyuvannya Mopertyuyi RedaguvatiU vipadku koli funkciya Gamiltona yavno ne zalezhit vid chasu pri vikonanni zakonu zberezhennya energiyi dlya znahodzhennya energiyi E displaystyle mathcal E nbsp vikoristovuyut funkciyu Lagranzha L p q E displaystyle mathcal L mathbf p cdot dot mathbf q mathcal E nbsp de q displaystyle mathbf q nbsp ye uzagalneni koordinati a p displaystyle mathbf p nbsp ye uzagalneni impulsi Cherez funkciyu Lagranzha mozhna zapisati funkcional diyi u viglyadi S t 1 t 2 L d t t 1 t 2 p q d t E t 2 t 1 S 0 E t 2 t 1 displaystyle mathcal S int t 1 t 2 mathcal L mathrm d t int t 1 t 2 mathbf p cdot dot mathbf q mathrm d t mathcal E t 2 t 1 mathbf S 0 mathcal E t 2 t 1 nbsp de S 0 displaystyle mathbf S 0 nbsp oznachaye redukovanu skorochenu diyu Variaciya funkcionalu diyi S displaystyle mathcal S nbsp daye d S d S 0 E d t 2 d t 1 displaystyle delta mathcal S delta mathcal S 0 mathcal E delta t 2 delta t 1 nbsp Oskilki variaciya diyi pri postijnij energiyi privodit do d S E d t 2 d t 1 displaystyle delta mathcal S mathcal E delta t 2 delta t 1 nbsp tomu variaciya redukovanoyi diyi bude d S 0 d k p d q 0 displaystyle delta mathcal S 0 delta int k mathbf p cdot mathrm d mathbf q 0 nbsp de k displaystyle k nbsp ye kriva v fazovomu prostori sho spoluchaye pochatkovu ta kincevu tochki ruhu sistemi Oskilki uzagalnena koordinata v zagalnomu vipadku ye funkciya zalezhna vid konkretinogo shlyahu s displaystyle s nbsp tobto q q s displaystyle mathbf q mathbf q s nbsp tomu uzagalnenij impuls mozhna perepisati yak p p d q d t q p d q d s d s d t q displaystyle mathbf p mathbf p left frac mathrm d mathbf q mathrm d t mathbf q right mathbf p left frac mathrm d mathbf q mathrm d s frac mathrm d s mathrm d t mathbf q right nbsp Todi funkciya Gamiltona mozhe buti podana u viglyadi H q q H q d q d s d s d t E displaystyle H left mathbf q dot mathbf q right H left mathbf q frac mathrm d mathbf q mathbf d s frac mathrm d s mathrm d t right mathcal E nbsp Oskilki shvidkist peremishennya po shlyahu d s d t displaystyle frac mathrm d s mathrm d t nbsp ye povna pohidna tomu mozhlive rozdilennya diferencialiv i variacijnij princip mozhe buti zapisanij u viglyadi d F q d q d s E d s 0 displaystyle delta int mathcal F left mathbf q frac mathrm d mathbf q mathrm d s mathcal E right mathrm d s 0 nbsp Takim chinom trayektoriya ruhu sistemi q s displaystyle mathbf q s nbsp zalezhit vid povnoyi energiyi E displaystyle mathcal E nbsp Vrahovuyuchi zagalnij viraz dlya funkciyi Lagranzha L a i j q k q i q j V q k displaystyle mathcal L a ij left q k right dot q i dot q j V q k nbsp todi pidintegralna funkciya prijmaye viglyad F 2 E V a i k d q i d s d q k d s displaystyle mathcal F sqrt 2 mathcal E V a ik frac mathrm d q i mathrm d s frac mathrm d q k mathrm d s nbsp de V displaystyle V nbsp i a i k displaystyle a ik nbsp zalezhni vid q j displaystyle q j nbsp Docilno privesti bilsh naglyadnij matematichnij viraz dlya Principu Mopert yuyi u vipadku odniyeyi materialnoyi chastki S 0 d e f p d q d s 2 E t o t V q displaystyle mathcal S 0 stackrel mathrm def int mathbf p cdot d mathbf q int ds sqrt 2 sqrt E tot V mathbf q nbsp oskilki kinetichna energiya T E t o t V q displaystyle T E tot V mathbf q nbsp rivna postijnij povnij energiyi E t o t displaystyle E tot nbsp minus potencialnij energiyi V q displaystyle V mathbf q nbsp Diya dorivnyuye W q 1 q 2 j p j d q j displaystyle W int q 1 q 2 sum j p j dq j nbsp Rozglyadayutsya trayektoriyi sho pochinayutsya v pevnij tochci koordinacijnogo prostoru q 1 displaystyle q 1 nbsp i zakinchuyutsya v inshij napered vibranij tochci koordinacijnogo prostoru q 2 displaystyle q 2 nbsp nezalezhno vid chasu yakogo vimagaye podolannya shlyahu mizh dvoma tochkami Variaciya RedaguvatiDlya togo shob znajti trayektoriyu sistemi u konfiguracijnomu prostori neobhidno perebrati usi mozhlivi trayektoriyi ruhu j vibrati toj dlya yakogo diya bude najmenshoyu Robitsya ce takim chinom Spochatku rozglyadayetsya dovilna trayektoriya q i t displaystyle q i t nbsp Potim dodayetsya dovilne male vidhilennya variaciya vid ciyeyi trayektoriyi d q i t displaystyle delta q i t nbsp take shob d q i t 1 d q i t 2 0 displaystyle delta q i t 1 delta q i t 2 0 nbsp Obchislyuyetsya diya dlya oboh trayektorij i znahoditsya riznicya mizh otrimanimi znachennyami d S t 1 t 2 L q i d q i q i d q i t d t t 1 t 2 L q i q i t d t displaystyle delta S int t1 t2 mathcal L q i delta q i dot q i delta dot q i t dt int t1 t2 mathcal L q i dot q i t dt nbsp Trayektoriya bude realizuvatisya todi koli cya riznicya bude dodatnoyu Vrahovuyuchi te sho vidhilennya male funkciyu Lagranzha mozhna rozklasti v ryad Tejlora vidkidayuchi usi kvadratichni j vishi chleni Takim chinom otrimuyut diferencijne rivnyannya Lagranzha abo Ejlera Lagranzha d d t L q i L q i 0 displaystyle frac d dt frac partial mathcal L partial dot q i frac partial L partial q i 0 nbsp spravedlive todi koli vsi sili v mehanichnij sistemi potencialni Cya procedura nazivayetsya variacijnoyu proceduroyu Vona ye standatnim metodom vivedennya diferencijnih rivnyan iz integralnih zakoniv Div takozh RedaguvatiPrincip Ferma Variacijne chislennya RekombinaciyaDzherela RedaguvatiPrincip Gamiltona Ostrogradskogo v elektromehanichnih sistemah monografiya A Chaban Politehnika Chenstohovska Nac un t Lviv politehnika Lviv nac agrar un t Lviv Vid vo T Soroki 2015 463 c Bibliogr s 450 455 W R Hamilton On a General Method in Dynamics Philosophical Transaction of the Royal Society Part I 1834 p 247 308 Arhivovano 27 veresnya 2011 u Wayback Machine Part II 1835 p 95 144 Arhivovano 27 veresnya 2011 u Wayback Machine From the collection Sir William Rowan Hamilton 1805 1865 Mathematical Papers Arhivovano 27 veresnya 2011 u Wayback Machine edited by David R Wilkins School of Mathematics Trinity College Dublin 2 Ireland 2000 also reviewed as On a General Method in Dynamics Arhivovano 27 veresnya 2011 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Princip najmenshoyi diyi amp oldid 38785234