www.wikidata.uk-ua.nina.az

Механіка Гамільтона Гамільто нова меха ніка одне з формулювань законів механіки загалом аналогічне законам Ньютона але з

Механіка Гамільтона

Гамільто́нова меха́ніка — одне з формулювань законів механіки, загалом аналогічне законам Ньютона, але зручне для узагальнень, використання в статистичній фізиці й для переходу до квантової механіки.

Функція Гамільтона Редагувати

Функція Гамільтона визначається через узагальнені координати і узагальнені імпульси виходячи з функції Лагранжа наступним чином:

Узагальнені імпульси вводяться як

Функція Гамільтона визначається формулою

Після цього всі узагальнені швидкості в виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона Редагувати

Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Практичні використання Редагувати

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі Редагувати

Загалом сила Лоренца не є потенціальною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частинки в наступній формі (гаусова система одиниць):

де — заряд частинки, — електростатичний потенціал, — векторний потенціал.

В релятивістському випадку:

Функція Гамільтона в теорії відносності Редагувати

Функцію Гамільтона у релятивістському випадку можна отримати шляхом стандартної процедури, знаючи функцію Лагранжа (див. "Механіку" Ландау):

Як видно, її вираз повністю збігається із виразом для потенціальної енергії релятивістської частки, і не залежить у явній формі від імпульса. Знаючи релятивістський імпульс, цей вираз можна переписати у вигляді квадратичної форми:

з якої і отримуємо загальновизнаний вираз для функції Гамільтона:

Цей вираз для функції Гамільтона широко використовується в класичній та квантовій механіці.

Використання у квантовій механіці Редагувати

У квантовій механіці оператор енергії будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів на оператори імпульсу , де -- зведена стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування.

Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки — рівняння Шредінгера.

Механічний осцилятор Редагувати

У випадку класичного механічного осцилятора (без тертя) функція Гамільтона має такий вигляд:

де коефіцієнт жорсткості, а маса тіла.

Перше диференційне рівняння Гамільтона буде:

Друге диференційне рівняння Гамільтона має вигляд:

Звідси можна отримати рівняння руху:

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

де амплітуда коливань, циклічна частота, а період.

Електричний осцилятор Редагувати

Для класичного контуру функція Гамільтона має вигляд:

де "магнітний імпульс" (фактично - магнітний потік).

Можна також привести значення "дії" на проміжку одного періоду коливань:

де амплітудне значення заряду, циклічна частота, а період коливань.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 2. — 536 с.
  • тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М. : Наука, 1974. — 224 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Gamilto nova meha nika odne z formulyuvan zakoniv mehaniki zagalom analogichne zakonam Nyutona ale zruchne dlya uzagalnen vikoristannya v statistichnij fizici j dlya perehodu do kvantovoyi mehaniki Zmist 1 Funkciya Gamiltona 2 Kanonichni rivnyannya Gamiltona 3 Praktichni vikoristannya 3 1 Funkciya Gamiltona dlya zaryadu v elektromagnitnomu poli 3 2 Funkciya Gamiltona v teoriyi vidnosnosti 3 3 Vikoristannya u kvantovij mehanici 3 4 Mehanichnij oscilyator 3 5 Elektrichnij oscilyator 4 Div takozh 5 DzherelaFunkciya Gamiltona RedaguvatiDokladnishe Funkciya GamiltonaFunkciya Gamiltona H q i p i t displaystyle mathcal H q i p i t nbsp viznachayetsya cherez uzagalneni koordinati q i displaystyle q i nbsp i uzagalneni impulsi p i displaystyle p i nbsp vihodyachi z funkciyi Lagranzha L q i q i t displaystyle mathcal L q i dot q i t nbsp nastupnim chinom Uzagalneni impulsi vvodyatsya yak p i L q i displaystyle p i frac partial mathcal L partial dot q i nbsp Funkciya Gamiltona viznachayetsya formuloyu H i q i L q i L displaystyle mathcal H sum i dot q i frac partial mathcal L partial dot q i mathcal L nbsp Pislya cogo vsi uzagalneni shvidkosti q i displaystyle dot q i nbsp v H displaystyle mathcal H nbsp virazhayutsya cherez uzagalneni impulsi j koordinati Za svoyeyu suttyu funkciya Gamiltona ye energiyeyu sistemi virazhenoyu cherez koordinati j impulsi U vipadku stacionarnih zv yazkiv i potencijnih zovnishnih sil H T V displaystyle mathcal H T V nbsp tobto funkciya Gamiltona ye sumoyu potencijnoyi i kinetichnoyi energij ale pri comu kinetichna energiya povinna buti virazhena cherez impulsi a ne cherez shvidkosti Kanonichni rivnyannya Gamiltona RedaguvatiRivnyannya evolyuciyi dinamichnoyi sistemi zapisuyutsya v Gamiltonovij mehanici u viglyadi p i H q i displaystyle dot p i frac partial mathcal H partial q i nbsp q i H p i displaystyle dot q i frac partial mathcal H partial p i nbsp Ci rivnyannya nazivayutsya kanonichnimi rivnyannyami Gamiltona Voni povnistyu viznachayut evolyuciyu sistemi z chasom u tomu sensi sho znayuchi znachennya uzagalnenih koordinat i shvidkostej v pevnij pochatkovij moment chasu mozhna viznachiti yihni znachennya v bud yakij nastupnij moment chasu rozv yazuyuchi danu sistemu rivnyan Praktichni vikoristannya RedaguvatiFunkciya Gamiltona dlya zaryadu v elektromagnitnomu poli Redaguvati Zagalom sila Lorenca ne ye potencialnoyu siloyu oskilki zalezhit vid shvidkosti ruhu zaryadu Prote yiyi mozhna vklyuchiti v Gamiltonovu mehaniku zapisavshi funkciyu Gamiltona zaryadzhenoyi chastinki v nastupnij formi gausova sistema odinic H p e A c 2 2 m e f displaystyle mathcal H frac mathbf p e mathbf A c 2 2m e varphi nbsp de e displaystyle e nbsp zaryad chastinki f displaystyle varphi nbsp elektrostatichnij potencial A displaystyle mathbf A nbsp vektornij potencial V relyativistskomu vipadku H c m 2 c 2 p e A c 2 e f displaystyle mathcal H c sqrt m 2 c 2 mathbf p e mathbf A c 2 e varphi nbsp Funkciya Gamiltona v teoriyi vidnosnosti Redaguvati Funkciyu Gamiltona u relyativistskomu vipadku mozhna otrimati shlyahom standartnoyi proceduri znayuchi funkciyu Lagranzha L displaystyle mathcal L nbsp div Mehaniku Landau H v L v L m c 2 1 v 2 c 2 displaystyle mathcal H mathbf v frac partial L partial mathbf v mathcal L frac mc 2 sqrt 1 frac v 2 c 2 nbsp Yak vidno yiyi viraz povnistyu zbigayetsya iz virazom dlya potencialnoyi energiyi relyativistskoyi chastki i ne zalezhit u yavnij formi vid impulsa Znayuchi relyativistskij impuls cej viraz mozhna perepisati u viglyadi kvadratichnoyi formi H 2 c 2 p 2 m 2 c 2 displaystyle mathcal H 2 c 2 p 2 m 2 c 2 nbsp z yakoyi i otrimuyemo zagalnoviznanij viraz dlya funkciyi Gamiltona H c p 2 m c 2 displaystyle mathcal H c sqrt p 2 mc 2 nbsp Cej viraz dlya funkciyi Gamiltona shiroko vikoristovuyetsya v klasichnij ta kvantovij mehanici Vikoristannya u kvantovij mehanici Redaguvati U kvantovij mehanici operator energiyi H displaystyle hat H nbsp buduyetsya iz klasichnoyi funkciyi Gamiltona zaminoyu uzagalnenih impulsiv p i displaystyle p i nbsp na operatori impulsu i ℏ q i displaystyle i hbar frac partial partial q i nbsp de ℏ displaystyle hbar nbsp zvedena stala Planka Takij operator nazivayetsya gamiltonianom a procedura perehodu vid funkciyi Gamiltona do gamiltonianu nazivayetsya proceduroyu kvantuvannya Gamiltonian ye golovnim operatorom u kvantovij mehanici oskilki vhodit v golovne rivnyannya kvantovoyi mehaniki rivnyannya Shredingera Mehanichnij oscilyator Redaguvati U vipadku klasichnogo mehanichnogo oscilyatora bez tertya funkciya Gamiltona maye takij viglyad H x p t p 2 2 m k x 2 2 m x 2 2 k x 2 2 displaystyle mathcal H x p t frac p 2 2m frac kx 2 2 frac m dot x 2 2 frac kx 2 2 nbsp de k displaystyle k nbsp koeficiyent zhorstkosti a m displaystyle m nbsp masa tila Pershe diferencijne rivnyannya Gamiltona bude d x d t H p p m displaystyle frac dx dt frac partial mathcal H partial p frac p m nbsp Druge diferencijne rivnyannya Gamiltona maye viglyad d p d t H x k x displaystyle frac dp dt frac partial mathcal H partial x kx nbsp Zvidsi mozhna otrimati rivnyannya ruhu m x k x 0 displaystyle m ddot x kx 0 nbsp Mozhna takozh privesti znachennya diyi na promizhku odnogo periodu kolivan S 0 T H x p t d t 1 2 m a 2 w 2 T displaystyle S int 0 T mathcal H x p t dt frac 1 2 ma 2 omega 2 T nbsp de a displaystyle a nbsp amplituda kolivan w k m displaystyle omega sqrt k m nbsp ciklichna chastota a T 2 p w displaystyle T 2 pi omega nbsp period Elektrichnij oscilyator Redaguvati Dlya klasichnogo L C displaystyle LC nbsp konturu funkciya Gamiltona maye viglyad H q p M t p M 2 2 L q 2 2 C displaystyle mathcal H q p M t frac p M 2 2L frac q 2 2C nbsp de p M L q displaystyle p M L dot q nbsp magnitnij impuls faktichno magnitnij potik Mozhna takozh privesti znachennya diyi na promizhku odnogo periodu kolivan S 0 T H x p M t d t 1 2 L q 0 2 w 2 T displaystyle S int 0 T mathcal H x p M t dt frac 1 2 Lq 0 2 omega 2 T nbsp de q 0 displaystyle q 0 nbsp amplitudne znachennya zaryadu w 1 L C displaystyle omega sqrt 1 LC nbsp ciklichna chastota a T 2 p w displaystyle T 2 pi omega nbsp period kolivan Div takozh RedaguvatiMehanika Lagranzha Rivnyannya Gamiltona Yakobi Duzhki PuassonaDzherela RedaguvatiYezhov S M Makarec M V Romanenko O V Klasichna mehanika K VPC Kiyivskij universitet 2008 480 s Fedorchenko A M Teoretichna mehanika K Visha shkola 1975 516 s Landau L D Lifshic E M Mehanika Teoreticheskaya fizika M Fizmatlit 2007 T 1 224 s Landau L D Lifshic E M Teoriya polya Teoreticheskaya fizika M Fizmatlit 2006 T 2 536 s ter Haar D Osnovy gamiltonovoj mehaniki M Nauka 1974 224 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Mehanika Gamiltona amp oldid 38785271