www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гамільтоніан H displaystyle hat H у квантовій теорії це оператор повної енергії системи Його спектр визначає усі можливі

Гамільтоніан

Гамільтоніан у квантовій теорії — це оператор повної енергії системи. Його спектр визначає усі можливі значення енергії квантової системи, які можна отримати при вимірюванні. Для більшості формалізмів квантової механіки (зокрема, картини Шредінгера, Гейзенберга та інші) гамільтоніан грає ключову роль, оскільки він безпосередньо пов'язаний з еволюцією квантової системи.

Назва «гамільтоніан» (як і назва «функція Гамільтона») походить від прізвища ірландського математика Вільяма Ровена Гамільтона.

Значення Редагувати

Гамільтоніан квантової системи складається з суми кінетичних енергій всіх частинок, що складають цю систему, та її потенціальної енергії. Саме в такому вигляді він входить в основне рівняння еволюції квантово-механічної системи — рівняння Шредінгера.

Спектр гамільтоніана визначає можливі значення енергій квантово-механічної системи, а його власні функції — можливі хвильові функції стаціонарних станів.

Побудова Редагувати

Одночастинковий випадок Редагувати

Гамільтоніан будується аналогічно до функції Гамільтона класичної механіки, яка є сумою кінетичної та потенціальної енергій системи:

де

До оператора кінетичної енергії входить оператор імпульсу, що виглядає так:

де  — градієнт, а  — лапласіан, що має такий вигляд у декартових координатах:

Отже, використовуючи ці оператори, можна записати гамільтоніан в розгорнутій формі, яка використовується в рівнянні Шредінгера:

Отже, для побудови гамільтоніана достатньо взяти класичну функцію Гамільтона і замінити в ній імпульси на відповідні оператори. Таке визначення гамільтоніану можна застосовувати до систем, що описуються деякою хвильовою функцією , і воно часто використовується у ввідних курсах квантової механіки при описі хвильової механіки Шредінгера.

Багаточастинковий випадок Редагувати

Попередні міркування можна поширити на випадок системи N частинок:

де

Комбінуючи отримані результати, можна записати гамільтоніан системи N частинок:

Однак труднощі виникають у проблемі багатьох тіл. Якщо потенціальна енергія залежить від просторової конфігурації системи частинок, то згідно з законом збереження енергії кінетична енергія теж залежить від її просторової конфігурації. Рух деякої окремої частинки змінюватиметься під впливом інших частинок системи. Тому в кінетичній енергії можуть з'явитися доданки, що враховують кореляції між частинками, наприклад, добуток градієнтів для двох частинок:

де M — маса частинок, які враховуються в даному доданку кінетичної енергії. Такі доданки виникають у гамільтоніанах атомів із багатьма електронами.

Для N взаємодіючих частинок, наприклад, частинок, що взаємно взаємодіють та утворюють задачу багатьох тіл, потенціальна енергія не є просто сумою окремих потенціалів. Вона є функцією всіх положень у просторі кожної частинки.

Для невзаємодіючих частинок потенціальна енергія системи є сумою потенціальних енергій кожної частинки:

Загальний вигляд гамільтоніану буде таким:

де сума береться по всіх частинках та їх потенціалах. У результаті гамільтоніан системи є сумою гамільтоніанів кожної окремої частинки. Така ситуація є ідеалізованою, на практиці частинки майже завжди знаходяться під впливом деякого потенціалу, що зумовлює наявність взаємодії між всіма частинками. Прикладом взаємодії між двома частинками, де такі міркування не спрацьовують, є електростатичні потенціали заряджених частинок, оскільки вони взаємодіють одна з одною завдяки кулонівським силам.

Рівняння Шредінгера Редагувати

Гамільтоніан породжує еволюцію квантової системи в часі. Якщо  — стан системи в момент часу , то для нього можна записати рівняння:

Це рівняння носить назву рівняння Шредінгера, яке за формою нагадує рівняння Гамільтона — Якобі та може бути зведено до нього за допомогою квазікласичного наближення (це одна з причин, чому також носить назву «гамільтоніан»). Якщо стан системи заданий в деякий початковий момент часу (наприклад, ), то його можна визначити й у будь-який інший момент часу, розв'язуючи відповідне рівняння Шредінгера. Зокрема, якщо гамільтоніан явно не залежить від часу, то:

Експоненціальний оператор , що діє у правій частині рівняння на хвильову функцію, є унітарним і має назву оператора еволюції. Як правило, він визначається за допомогою розкладу експоненціальної функції у ряд Тейлора за степенями H. Якщо гамільтоніан незалежний від часу, то сукупність утворює однопараметричну унітарну групу, що обумовлює існування принципу детальної рівноваги.

Формалізм Дірака Редагувати

В більш загальному діраківському формалізмі гамільтоніан зазвичай інтерпретується як оператор у гільбертовому просторі. Власні вектори оператора , які позначаються , складають ортонормований базис гільбертового простору. Спектр дозволених енергетичних рівнів визначається набором власних значень, що позначається і є розв'язком рівняння:

Оскільки гамільтоніан є ермітовим оператором, то енергія є завжди дійсною.

Із строго математичної точки зору зазначені вище припущення треба використовувати з обережністю. Наприклад, оператори в гільбертовому просторі з нескінченною кількістю вимірів необов'язково мають власні значення (набір власних значень може не збігатися зі спектром оператора). Однак для виконання обчислень, що необхідні для розв'язку більшості практичних задач квантової механіки, достатньо спиратися на фізичні формулювання.

Часткові випадки Редагувати

Вільна частинка Редагувати

Цей випадок є найпростішим. Оскільки рух вільної частинки масою m не обмежується жодними потенціалами, то до гамільтоніану входить лише кінетична енергія частинки, тому:

Якщо частинка рухається в одновимірному просторі, то:

Гармонічний осцилятор Редагувати

Для одновимірного гармонічного осцилятора потенціальна енергія виглядає так:

де  — кутова частота.

Отже, гамільтоніан запишеться таким чином:

У тривимірному випадку гамільтоніан складатиметься з трьох частин, що діють окремо на кожну з декартових координат:

Жорсткий ротор Редагувати

Для жорсткого ротора (тобто, системи частинок, що може вільно обертатися навколо будь-якої осі), що не прив'язаний до жодного потенціалу (наприклад, вільні молекули з малими обертальними ступенями вільності внаслідок, скажімо, подвійних або потрійних хімічних зв'язків), гамільтоніан прийме такий вигляд:

де , , — відповідні компоненти моменту інерції (формально, діагональні елементи тензору інерції), , ,  — оператори проєкцій повного кутового моменту на осі Ox, Oy і Oz відповідно.

Електростатичний (кулонівський) потенціал Редагувати

Кулонівська потенціальна енергія двох точкових зарядів і (тобто, заряджених частинок, що не мають просторової протяжності) у тривимірному просторі дорівнює (в Міжнародній системі величин (ISQ):

Однак, це потенціал лише для одного точкового заряду відносно іншого. При розгляді системи багатьох заряджених частинок, кожен заряд має потенціальну енергію відносно усіх інших точкових зарядів (окрім самого себе). Для N зарядів потенціальна енергія заряду відносно всіх інших дорівнює:

де  — електростатичний потенціал заряду в . Просумувавши отриманий вираз за j, отримуємо вираз для повного потенціалу системи:

Таким чином, гамільтоніан матиме вигляд:

Електричний диполь в електричному полі Редагувати

Для електричного дипольного моменту , що з'єднує заряди величиною , у постійному (незалежному від часу) електричному полі потенціал має такий вигляд:

Якщо частинка стаціонарна, то трансляційна кінетична енергія диполя відсутня, тож гамільтоніан диполя — це просто потенціальна енергія:

Заряджена частинка в електромагнітному полі Редагувати

Електромагнітне поле, що характеризується скалярним потенціалом і векторним потенціалом , і в якому знаходиться заряджена частинка , змінює обидві частини гамільтоніану.

По-перше, електромагнітне поле дає внесок до кінетичної енергії, а точніше, до імпульсу за рахунок векторного потенціалу . У ISQ це записується як:

де  — оператор імпульсу. Таким чином, оператор кінетичної енергії запишеться:

Скалярний потенціал дає внесок до потенціальної енергії:

Остаточно, гамільтоніан для такого випадку:

Властивості Редагувати

Гамільтоніан — ермітів оператор, і внаслідок цього його власні значення дійсні, тобто енергія квантомеханічного стану — дійсна величина.

Спектр гамільтоніану може бути дискретним чи неперервним.

Відповідно, власні функції гамільтоніана можуть спадати на нескінченості, утворюючи локалізовані стани або ж вести себе як необмежена хвиля, утворюючи делокалізовані стани.

Гамільтоніан системи багатьох часток однієї природи повністю симетричний відносно координат цих часток (див. принцип нерозрізнюваності часток).


Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика. — Екатеринбург : Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 944+800 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика (в 2-х томах). — М. : Наука, 1978-1979. — 1064 с.
  • Шифф Л. Квантовая механика. — М. : ИЛ, 1957. — 476 с.
  • Глосарій термінів з хімії // Й. Опейда, О. Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет. — Донецьк : Вебер, 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Gamiltonian H displaystyle hat H u kvantovij teoriyi ce operator povnoyi energiyi sistemi Jogo spektr viznachaye usi mozhlivi znachennya energiyi kvantovoyi sistemi yaki mozhna otrimati pri vimiryuvanni Dlya bilshosti formalizmiv kvantovoyi mehaniki zokrema kartini Shredingera Gejzenberga ta inshi gamiltonian graye klyuchovu rol oskilki vin bezposeredno pov yazanij z evolyuciyeyu kvantovoyi sistemi Nazva gamiltonian yak i nazva funkciya Gamiltona pohodit vid prizvisha irlandskogo matematika Vilyama Rovena Gamiltona Zmist 1 Znachennya 2 Pobudova 2 1 Odnochastinkovij vipadok 2 2 Bagatochastinkovij vipadok 3 Rivnyannya Shredingera 4 Formalizm Diraka 5 Chastkovi vipadki 5 1 Vilna chastinka 5 2 Garmonichnij oscilyator 5 3 Zhorstkij rotor 5 4 Elektrostatichnij kulonivskij potencial 5 5 Elektrichnij dipol v elektrichnomu poli 5 6 Zaryadzhena chastinka v elektromagnitnomu poli 6 Vlastivosti 7 Div takozh 8 LiteraturaZnachennya RedaguvatiGamiltonian kvantovoyi sistemi skladayetsya z sumi kinetichnih energij vsih chastinok sho skladayut cyu sistemu ta yiyi potencialnoyi energiyi Same v takomu viglyadi vin vhodit v osnovne rivnyannya evolyuciyi kvantovo mehanichnoyi sistemi rivnyannya Shredingera Spektr gamiltoniana viznachaye mozhlivi znachennya energij kvantovo mehanichnoyi sistemi a jogo vlasni funkciyi mozhlivi hvilovi funkciyi stacionarnih staniv Pobudova RedaguvatiOdnochastinkovij vipadok Redaguvati Gamiltonian buduyetsya analogichno do funkciyi Gamiltona klasichnoyi mehaniki yaka ye sumoyu kinetichnoyi ta potencialnoyi energij sistemi H T V displaystyle hat H hat T hat V nbsp de T p p 2 m p 2 2 m displaystyle hat T frac hat mathbf p cdot hat mathbf p 2m frac hat p 2 2m nbsp operator kinetichnoyi energiyi V V q t displaystyle hat V V mathbf q t nbsp operator potencialnoyi energiyi Do operatora kinetichnoyi energiyi vhodit operator impulsu sho viglyadaye tak p i ℏ displaystyle hat mathbf p i hbar nabla nbsp p 2 ℏ 2 2 displaystyle hat p 2 hbar 2 nabla 2 nbsp de displaystyle nabla nbsp gradiyent a 2 displaystyle nabla 2 nabla cdot nabla nbsp laplasian sho maye takij viglyad u dekartovih koordinatah 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 displaystyle nabla 2 frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial y 2 frac partial 2 partial z 2 nbsp Otzhe vikoristovuyuchi ci operatori mozhna zapisati gamiltonian v rozgornutij formi yaka vikoristovuyetsya v rivnyanni Shredingera H ℏ 2 2 m 2 V q t displaystyle hat H frac hbar 2 2m nabla 2 V mathbf q t nbsp Otzhe dlya pobudovi gamiltoniana dostatno vzyati klasichnu funkciyu Gamiltona H p q displaystyle mathcal H mathbf p mathbf q nbsp i zaminiti v nij impulsi na vidpovidni operatori Take viznachennya gamiltonianu mozhna zastosovuvati do sistem sho opisuyutsya deyakoyu hvilovoyu funkciyeyu ps q t displaystyle psi mathbf q t nbsp i vono chasto vikoristovuyetsya u vvidnih kursah kvantovoyi mehaniki pri opisi hvilovoyi mehaniki Shredingera Bagatochastinkovij vipadok Redaguvati Poperedni mirkuvannya mozhna poshiriti na vipadok sistemi N chastinok H n 1 N T n V displaystyle hat H sum limits n 1 N hat T n hat V nbsp de V V q 1 q 2 q N t displaystyle hat V V mathbf q 1 mathbf q 2 mathbf q N t nbsp operator potencialnoyi energiyi yaka teper ye funkciyeyu chasu ta prostorovoyi konfiguraciyi sistemi prostorova konfiguraciya ye naborom polozhen u prostori v deyakij moment chasu T n p n p n 2 m n ℏ 2 2 m n n 2 displaystyle hat T n frac hat mathbf p n cdot hat mathbf p n 2m n frac hbar 2 2m n nabla n 2 nbsp operator kinetichnoyi energiyi n yi chastinki n displaystyle nabla n nbsp gradiyent sho diye na n tu chastinku a n 2 displaystyle nabla n 2 nbsp laplasian n 2 2 x n 2 2 y n 2 2 z n 2 displaystyle nabla n 2 frac partial 2 partial x n 2 frac partial 2 partial y n 2 frac partial 2 partial z n 2 nbsp Kombinuyuchi otrimani rezultati mozhna zapisati gamiltonian sistemi N chastinok H ℏ 2 2 n 1 N n 2 m n V q 1 q 2 q N t displaystyle hat H frac hbar 2 2 sum limits n 1 N frac nabla n 2 m n V mathbf q 1 mathbf q 2 mathbf q N t nbsp Odnak trudnoshi vinikayut u problemi bagatoh til Yaksho potencialna energiya zalezhit vid prostorovoyi konfiguraciyi sistemi chastinok to zgidno z zakonom zberezhennya energiyi kinetichna energiya tezh zalezhit vid yiyi prostorovoyi konfiguraciyi Ruh deyakoyi okremoyi chastinki zminyuvatimetsya pid vplivom inshih chastinok sistemi Tomu v kinetichnij energiyi mozhut z yavitisya dodanki sho vrahovuyut korelyaciyi mizh chastinkami napriklad dobutok gradiyentiv dlya dvoh chastinok ℏ 2 2 M i j displaystyle frac hbar 2 2M nabla i cdot nabla j nbsp de M masa chastinok yaki vrahovuyutsya v danomu dodanku kinetichnoyi energiyi Taki dodanki vinikayut u gamiltonianah atomiv iz bagatma elektronami Dlya N vzayemodiyuchih chastinok napriklad chastinok sho vzayemno vzayemodiyut ta utvoryuyut zadachu bagatoh til potencialna energiya ne ye prosto sumoyu okremih potencialiv Vona ye funkciyeyu vsih polozhen u prostori kozhnoyi chastinki Dlya nevzayemodiyuchih chastinok potencialna energiya sistemi ye sumoyu potencialnih energij kozhnoyi chastinki V n 1 N V q n t V q 1 t V q 2 t V q N t displaystyle hat V sum limits n 1 N V mathbf q n t V mathbf q 1 t V mathbf q 2 t V mathbf q N t nbsp Zagalnij viglyad gamiltonianu bude takim H ℏ 2 2 n 1 N n 2 m n n 1 N V q n t n 1 N ℏ 2 2 m n n 2 V q n t n 1 N H n displaystyle hat H frac hbar 2 2 sum limits n 1 N frac nabla n 2 m n sum limits n 1 N V mathbf q n t sum limits n 1 N Bigl frac hbar 2 2m n nabla n 2 V mathbf q n t Bigr sum limits n 1 N hat H n nbsp de suma beretsya po vsih chastinkah ta yih potencialah U rezultati gamiltonian sistemi ye sumoyu gamiltonianiv kozhnoyi okremoyi chastinki Taka situaciya ye idealizovanoyu na praktici chastinki majzhe zavzhdi znahodyatsya pid vplivom deyakogo potencialu sho zumovlyuye nayavnist vzayemodiyi mizh vsima chastinkami Prikladom vzayemodiyi mizh dvoma chastinkami de taki mirkuvannya ne spracovuyut ye elektrostatichni potenciali zaryadzhenih chastinok oskilki voni vzayemodiyut odna z odnoyu zavdyaki kulonivskim silam Rivnyannya Shredingera RedaguvatiDokladnishe Rivnyannya ShredingeraGamiltonian porodzhuye evolyuciyu kvantovoyi sistemi v chasi Yaksho ps t displaystyle psi t rangle nbsp stan sistemi v moment chasu t displaystyle t nbsp to dlya nogo mozhna zapisati rivnyannya H ps t i ℏ t ps t displaystyle hat H psi t rangle i hbar frac partial partial t psi t rangle nbsp Ce rivnyannya nosit nazvu rivnyannya Shredingera yake za formoyu nagaduye rivnyannya Gamiltona Yakobi ta mozhe buti zvedeno do nogo za dopomogoyu kvaziklasichnogo nablizhennya ce odna z prichin chomu H displaystyle hat H nbsp takozh nosit nazvu gamiltonian Yaksho stan sistemi zadanij v deyakij pochatkovij moment chasu napriklad t 0 displaystyle t 0 nbsp to jogo mozhna viznachiti j u bud yakij inshij moment chasu rozv yazuyuchi vidpovidne rivnyannya Shredingera Zokrema yaksho gamiltonian yavno ne zalezhit vid chasu to ps t e i H t ℏ ps 0 displaystyle psi t rangle e frac i hat H t hbar psi 0 rangle nbsp Eksponencialnij operator U t e i H t ℏ displaystyle hat U t e frac i hat H t hbar nbsp sho diye u pravij chastini rivnyannya na hvilovu funkciyu ye unitarnim i maye nazvu operatora evolyuciyi Yak pravilo vin viznachayetsya za dopomogoyu rozkladu eksponencialnoyi funkciyi u ryad Tejlora za stepenyami H Yaksho gamiltonian nezalezhnij vid chasu to sukupnist U t displaystyle hat U t nbsp utvoryuye odnoparametrichnu unitarnu grupu sho obumovlyuye isnuvannya principu detalnoyi rivnovagi Formalizm Diraka RedaguvatiDokladnishe Notaciya bra ketV bilsh zagalnomu dirakivskomu formalizmi gamiltonian zazvichaj interpretuyetsya yak operator u gilbertovomu prostori Vlasni vektori operatora H displaystyle hat H nbsp yaki poznachayutsya n displaystyle n rangle nbsp skladayut ortonormovanij bazis gilbertovogo prostoru Spektr dozvolenih energetichnih rivniv viznachayetsya naborom vlasnih znachen sho poznachayetsya E n displaystyle E n nbsp i ye rozv yazkom rivnyannya H n E n n displaystyle hat H n rangle E n n rangle nbsp Oskilki gamiltonian ye ermitovim operatorom to energiya ye zavzhdi dijsnoyu Iz strogo matematichnoyi tochki zoru zaznacheni vishe pripushennya treba vikoristovuvati z oberezhnistyu Napriklad operatori v gilbertovomu prostori z neskinchennoyu kilkistyu vimiriv neobov yazkovo mayut vlasni znachennya nabir vlasnih znachen mozhe ne zbigatisya zi spektrom operatora Odnak dlya vikonannya obchislen sho neobhidni dlya rozv yazku bilshosti praktichnih zadach kvantovoyi mehaniki dostatno spiratisya na fizichni formulyuvannya Chastkovi vipadki RedaguvatiVilna chastinka Redaguvati Cej vipadok ye najprostishim Oskilki ruh vilnoyi chastinki masoyu m ne obmezhuyetsya zhodnimi potencialami to do gamiltonianu vhodit lishe kinetichna energiya chastinki tomu H ℏ 2 2 m 2 displaystyle hat H frac hbar 2 2m nabla 2 nbsp Yaksho chastinka ruhayetsya v odnovimirnomu prostori to H ℏ 2 2 m d 2 d x 2 displaystyle hat H frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 nbsp Garmonichnij oscilyator Redaguvati Dlya odnovimirnogo garmonichnogo oscilyatora potencialna energiya viglyadaye tak V k x 2 2 m w 2 2 x 2 displaystyle hat V frac kx 2 2 frac m omega 2 2 x 2 nbsp de w k m displaystyle omega sqrt frac k m nbsp kutova chastota Otzhe gamiltonian zapishetsya takim chinom H ℏ 2 2 m d 2 d x 2 m w 2 2 x 2 displaystyle hat H frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 frac m omega 2 2 x 2 nbsp U trivimirnomu vipadku gamiltonian skladatimetsya z troh chastin sho diyut okremo na kozhnu z dekartovih koordinat H H x H y H z ℏ 2 2 m 2 x 2 m w 2 2 x 2 ℏ 2 2 m 2 y 2 m w 2 2 y 2 ℏ 2 2 m 2 z 2 m w 2 2 z 2 ℏ 2 2 m 2 m w 2 2 r 2 displaystyle begin aligned hat H amp hat H x hat H y hat H z amp Bigl frac hbar 2 2m frac partial 2 partial x 2 frac m omega 2 2 x 2 Bigr Bigl frac hbar 2 2m frac partial 2 partial y 2 frac m omega 2 2 y 2 Bigr Bigl frac hbar 2 2m frac partial 2 partial z 2 frac m omega 2 2 z 2 Bigr amp frac hbar 2 2m nabla 2 frac m omega 2 2 r 2 end aligned nbsp Zhorstkij rotor Redaguvati Dlya zhorstkogo rotora tobto sistemi chastinok sho mozhe vilno obertatisya navkolo bud yakoyi osi sho ne priv yazanij do zhodnogo potencialu napriklad vilni molekuli z malimi obertalnimi stupenyami vilnosti vnaslidok skazhimo podvijnih abo potrijnih himichnih zv yazkiv gamiltonian prijme takij viglyad H ℏ 2 2 I x x J x 2 ℏ 2 2 I y y J y 2 ℏ 2 2 I z z J z 2 displaystyle hat H frac hbar 2 2I xx hat J x 2 frac hbar 2 2I yy hat J y 2 frac hbar 2 2I zz hat J z 2 nbsp de I x x displaystyle I xx nbsp I y y displaystyle I yy nbsp I z z displaystyle I zz nbsp vidpovidni komponenti momentu inerciyi formalno diagonalni elementi tenzoru inerciyi J x displaystyle hat J x nbsp J y displaystyle hat J y nbsp J z displaystyle hat J z nbsp operatori proyekcij povnogo kutovogo momentu na osi Ox Oy i Oz vidpovidno Elektrostatichnij kulonivskij potencial Redaguvati Kulonivska potencialna energiya dvoh tochkovih zaryadiv q 1 displaystyle q 1 nbsp i q 2 displaystyle q 2 nbsp tobto zaryadzhenih chastinok sho ne mayut prostorovoyi protyazhnosti u trivimirnomu prostori dorivnyuye v Mizhnarodnij sistemi velichin ISQ V q 1 q 2 4 p e 0 r displaystyle V frac q 1 q 2 4 pi varepsilon 0 mathbf r nbsp Odnak ce potencial lishe dlya odnogo tochkovogo zaryadu vidnosno inshogo Pri rozglyadi sistemi bagatoh zaryadzhenih chastinok kozhen zaryad maye potencialnu energiyu vidnosno usih inshih tochkovih zaryadiv okrim samogo sebe Dlya N zaryadiv potencialna energiya zaryadu q j displaystyle q j nbsp vidnosno vsih inshih dorivnyuye V j 1 2 i j q i f r i 1 8 p e 0 i j q i q j r i r j displaystyle V j frac 1 2 sum limits i neq j q i varphi mathbf r i frac 1 8 pi varepsilon 0 sum limits i neq j frac q i q j mathbf r i mathbf r j nbsp de f r i displaystyle varphi mathbf r i nbsp elektrostatichnij potencial zaryadu q j displaystyle q j nbsp v r i displaystyle mathbf r i nbsp Prosumuvavshi otrimanij viraz za j otrimuyemo viraz dlya povnogo potencialu sistemi V 1 8 p e 0 j 1 N i j q i q j r i r j displaystyle V frac 1 8 pi varepsilon 0 sum limits j 1 N sum limits i neq j frac q i q j mathbf r i mathbf r j nbsp Takim chinom gamiltonian matime viglyad H ℏ 2 2 j 1 N 1 m j j 2 1 8 p e 0 j 1 N i j q i q j r i r j j 1 N ℏ 2 2 m j j 2 1 8 p e 0 i j q i q j r i r j displaystyle hat H frac hbar 2 2 sum j 1 N frac 1 m j nabla j 2 frac 1 8 pi varepsilon 0 sum j 1 N sum i neq j frac q i q j mathbf r i mathbf r j sum j 1 N left frac hbar 2 2m j nabla j 2 frac 1 8 pi varepsilon 0 sum i neq j frac q i q j mathbf r i mathbf r j right nbsp Elektrichnij dipol v elektrichnomu poli Redaguvati Dlya elektrichnogo dipolnogo momentu d displaystyle mathbf d nbsp sho z yednuye zaryadi velichinoyu q displaystyle q nbsp u postijnomu nezalezhnomu vid chasu elektrichnomu poli E displaystyle mathbf E nbsp potencial maye takij viglyad V d E displaystyle V mathbf hat d cdot mathbf E nbsp Yaksho chastinka stacionarna to translyacijna kinetichna energiya dipolya vidsutnya tozh gamiltonian dipolya ce prosto potencialna energiya H d E q E r displaystyle hat H mathbf hat d cdot mathbf E q mathbf E cdot mathbf hat r nbsp Zaryadzhena chastinka v elektromagnitnomu poli Redaguvati Elektromagnitne pole sho harakterizuyetsya skalyarnim potencialom f displaystyle varphi nbsp i vektornim potencialom A displaystyle mathbf A nbsp i v yakomu znahoditsya zaryadzhena chastinka q displaystyle q nbsp zminyuye obidvi chastini gamiltonianu Po pershe elektromagnitne pole daye vnesok do kinetichnoyi energiyi a tochnishe do impulsu p displaystyle mathbf p nbsp za rahunok vektornogo potencialu A displaystyle mathbf A nbsp U ISQ ce zapisuyetsya yak p p q A displaystyle mathbf p mathbf p q mathbf A nbsp de p i ℏ displaystyle mathbf p i hbar nabla nbsp operator impulsu Takim chinom operator kinetichnoyi energiyi zapishetsya T 1 2 m i ℏ q A 2 displaystyle hat T frac 1 2m i hbar nabla q mathbf A 2 nbsp Skalyarnij potencial f displaystyle varphi nbsp daye vnesok do potencialnoyi energiyi V q f displaystyle hat V q varphi nbsp Ostatochno gamiltonian dlya takogo vipadku H 1 2 m i ℏ q A 2 q f displaystyle hat H frac 1 2m i hbar nabla q mathbf A 2 q varphi nbsp Vlastivosti RedaguvatiGamiltonian ermitiv operator i vnaslidok cogo jogo vlasni znachennya dijsni tobto energiya kvantomehanichnogo stanu dijsna velichina Spektr gamiltonianu mozhe buti diskretnim chi neperervnim Vidpovidno vlasni funkciyi gamiltoniana mozhut spadati na neskinchenosti utvoryuyuchi lokalizovani stani abo zh vesti sebe yak neobmezhena hvilya utvoryuyuchi delokalizovani stani Gamiltonian sistemi bagatoh chastok odniyeyi prirodi povnistyu simetrichnij vidnosno koordinat cih chastok div princip nerozriznyuvanosti chastok nbsp Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Div takozh RedaguvatiRivnyannya Shredingera Funkciya GamiltonaLiteratura RedaguvatiVakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Koen Tannudzhi K Diu B Laloe F Kvantovaya mehanika Ekaterinburg Izd vo Uralskogo un ta 2000 944 800 s Landau L D Lifshic E M Kvantovaya mehanika Nerelyativistskaya teoriya Teoreticheskaya fizika M Fizmatlit 2008 T 3 800 s Messia A Kvantovaya mehanika v 2 h tomah M Nauka 1978 1979 1064 s Shiff L Kvantovaya mehanika M IL 1957 476 s Glosarij terminiv z himiyi J Opejda O Shvajka In t fiziko organichnoyi himiyi ta vuglehimiyi im L M Litvinenka NAN Ukrayini Doneckij nacionalnij universitet Doneck Veber 2008 758 s ISBN 978 966 335 206 0 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Gamiltonian amp oldid 36257632