www.wikidata.uk-ua.nina.az

Момент інерції Моме нт іне рції одиниця вимірювання в системі SI кг м скалярна фізична величина яка характеризує розподі

Момент інерції

Моме́нт іне́рції (одиниця вимірювання в системі SI [кг м²]) — скалярна фізична величина, яка характеризує розподіл мас у тілі та є мірою інертності для обертального руху аналогічно до маси для поступального руху. Позначається латинською літерою I.

Момент інерції
Махове колесо має великий момент інерції для згладжування змін швидкості обертального руху
Символи:
Одиниці вимірювання
SI кг·м2
СГС г·см2
Розмірність: M·L2
 Момент інерції у Вікісховищі

В загальному випадку значення моменту інерції об'єкта залежить від його форми та розподілу маси в об'ємі: чим більше маси сконцентровано далі від центра мас тіла, тим більшим є його момент інерції. Також його значення залежить від обраної осі обертання.

Момент інерції існує незалежно від того, обертається тіло чи ні, так само як і маса існує незалежно від того, рухається тіло чи ні.

Визначення Редагувати

Якщо розглядати тверде тіло як систему з нескінченної кількості матеріальних точок, кожна з масою , то момент інерції тіла до вибраної осі визначається як:

де — відстань точки до осі.

За умов безперервного розподілення маси в тілі, потрібний перехід до інтегральної форми закону:

де ρ — густина.

Середній квадрат відстані (не плутати з квадратом середньої відстані) точок тіла до осі називають квадратом плеча, або радіусом інерції тіла.

Властивості Редагувати

  • Момент інерції завжди додатній
  • Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частин (цю ж властивість можна використовувати для обчислення моменту інерції тіла з вирізом).
  • Сума моментів інерції відносно двох перпендикулярних осей завжди більша за момент інерції відносно третьої перпендикулярної їм осі.
  • Сума моментів інерції відносно трьох перпендикулярних осей не змінюється при повороті осей навколо точки їх перетину. Ця величина (поділена на 2) називається полярним моментом інерції відносно точки.
  • Згідно з теоремою Гюйгенса — Штейнера, момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані a між осями: .

Тензор інерції Редагувати

Запишемо формулу для кінетичної енергії тіла, що обертається навколо осі, що проходить через центр мас (тут і далі ми будемо опускати індекси, що нумерують точки):

Розклавши квадрат векторного добутку, отримаємо

Перепишемо вираз у тензорному вигляді, через компоненти векторів :

Використовуючи тотожність , де  — одиничний тензор, перепишемо останнє рівняння як:

Ми можемо винести компоненти кутової швидкості за символ суми, оскільки вони є однаковими для всіх точок.

Величина називається тензором інерції тіла (для випадку неперервного розподілу маси сума заміняється аналогічним інтегралом).

Запишемо його компоненти у явному вигляді:

Діагональні компоненти тензора називають осьовими моментами інерції (відносно відповідних осей), а діагональні — відцентрові моменти інерції. В той час як осьові моменти завжди додатні, відцентрові можуть бути і від'ємні.

Тензор інерції симетричний

Як і для будь-якого іншого симетричного тензору другого рангу, його можна спростити, перейшовши до системи координат, у якій він має діагональну форму (головної системи координат). Осі головної системи координат називають головними осями інерції. Діагональні елементи тензору тоді називають головними моментами інерції.

Вираз для кінетичної енергії тоді спрощується до

Тіло, всі три головних моменти якого є різними називають асиметричним ротатором, той, у якого збігаються два моменти з трьох — симетричним ротатором, а такий, у якого всі три головних моменти рівні — сферичним ротатором.

Головні осі інерції тіла, що має деяку симетрію, також зберігають її — наприклад, якщо тіло має вісь симетрії, то одна з головних осей інерції напрямлена вздовж осі симетрії.

Рівняння динаміки твердого тіла Редагувати

Момент кількості руху Редагувати

Момент імпульсу тіла при обертанні залежить від вектора кутової швидкості й тензора інерції

У головній системі координат

Якщо вісь обертання тіла не збігається з жодною з головних осей, напрям моменту імпульсу може не збігатися з напрямом вектора кутової швидкості.

Кінетична енергія Редагувати

Кінетична енергія обертання тіла задається формулою

У головній системі координат

Основне рівняння динаміки обертального руху Редагувати

За аналогією з другим законом Ньютона для поступального руху, можна сформулювати рівняння обертального руху, де зовнішнім силам, які діють на тіло, відповідають моменти сил, масі — момент інерції, а прискоренню — кутове прискорення.

При одновісному обертанні

Тут Mi — моменти зовнішніх сил,  — кутова швидкість,  — кутове прискорення.

Функція Лагранжа Редагувати

Для твердого тіла функція Лагранжа дорівнює

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Момент інерції // Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
  2. ↑ Мултановский, 1988, с. 147.
  3. Мултановский, 1988, с. 148.
  4. Ландау,Лифшиц, 1965, с. 126.
  5. Ландау,Лифшиц, 1965, с. 127.
  6. Ландау,Лифшиц, 1965, с. 128.
  7. Ландау,Лифшиц, 1965, с. 135.

Джерела Редагувати

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
  • В. В. Мултановский. Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика // Курс теоретической физики. — М. : Просвещение, 1988. — Т. 1. — 304 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Mome nt ine rciyi odinicya vimiryuvannya v sistemi SI kg m skalyarna fizichna velichina yaka harakterizuye rozpodil mas u tili ta ye miroyu inertnosti dlya obertalnogo ruhu analogichno do masi dlya postupalnogo ruhu 1 Poznachayetsya latinskoyu literoyu I Moment inerciyiMahove koleso maye velikij moment inerciyi dlya zgladzhuvannya zmin shvidkosti obertalnogo ruhuSimvoli I J displaystyle I J Odinici vimiryuvannyaSI kg m2SGS g sm2Rozmirnist M L2 Moment inerciyi u Vikishovishi source source source source source source source source source source source source source source V zagalnomu vipadku znachennya momentu inerciyi ob yekta zalezhit vid jogo formi ta rozpodilu masi v ob yemi chim bilshe masi skoncentrovano dali vid centra mas tila tim bilshim ye jogo moment inerciyi Takozh jogo znachennya zalezhit vid obranoyi osi obertannya Moment inerciyi isnuye nezalezhno vid togo obertayetsya tilo chi ni tak samo yak i masa isnuye nezalezhno vid togo ruhayetsya tilo chi ni Zmist 1 Viznachennya 2 Vlastivosti 3 Tenzor inerciyi 4 Rivnyannya dinamiki tverdogo tila 4 1 Moment kilkosti ruhu 4 2 Kinetichna energiya 4 3 Osnovne rivnyannya dinamiki obertalnogo ruhu 4 4 Funkciya Lagranzha 5 Div takozh 6 Primitki 7 DzherelaViznachennya RedaguvatiYaksho rozglyadati tverde tilo yak sistemu z neskinchennoyi kilkosti materialnih tochok kozhna z masoyu m i displaystyle m i nbsp to moment inerciyi tila do vibranoyi osi viznachayetsya yak I i m i r i 2 displaystyle I sum i m i r i 2 nbsp de r i displaystyle r i nbsp vidstan tochki do osi Za umov bezperervnogo rozpodilennya masi v tili potribnij perehid do integralnoyi formi zakonu I r r 2 d V displaystyle I int rho r 2 dV nbsp de r gustina Serednij kvadrat vidstani ne plutati z kvadratom serednoyi vidstani tochok tila do osi nazivayut kvadratom plecha abo radiusom inerciyi tila 2 Vlastivosti RedaguvatiMoment inerciyi zavzhdi dodatnij Moment inerciyi tila dorivnyuye sumi momentiv inerciyi jogo chastin cyu zh vlastivist mozhna vikoristovuvati dlya obchislennya momentu inerciyi tila z virizom Suma momentiv inerciyi vidnosno dvoh perpendikulyarnih osej zavzhdi bilsha za moment inerciyi vidnosno tretoyi perpendikulyarnoyi yim osi 2 Suma momentiv inerciyi vidnosno troh perpendikulyarnih osej ne zminyuyetsya pri povoroti osej navkolo tochki yih peretinu Cya velichina podilena na 2 nazivayetsya polyarnim momentom inerciyi vidnosno tochki 3 Zgidno z teoremoyu Gyujgensa Shtejnera moment inerciyi tila I displaystyle I nbsp vidnosno dovilnoyi osi dorivnyuye sumi momentu inerciyi cogo tila I 0 displaystyle I 0 nbsp vidnosno osi sho prohodit cherez centr masi tila paralelno do osi sho rozglyadayetsya i dobutku masi tila m na kvadrat vidstani a mizh osyami I I 0 m a 2 displaystyle I I 0 ma 2 nbsp Tenzor inerciyi RedaguvatiZapishemo formulu dlya kinetichnoyi energiyi tila sho obertayetsya navkolo osi sho prohodit cherez centr mas tut i dali mi budemo opuskati indeksi sho numeruyut tochki 4 T m v 2 2 m 2 W r 2 displaystyle T sum frac mv 2 2 sum frac m 2 mathbf Omega times r 2 nbsp Rozklavshi kvadrat vektornogo dobutku otrimayemo T 1 2 m W 2 r 2 W r 2 displaystyle T frac 1 2 sum m Omega 2 r 2 mathbf Omega r 2 nbsp Perepishemo viraz u tenzornomu viglyadi cherez komponenti W i r i displaystyle Omega i r i nbsp vektoriv W r displaystyle mathbf Omega r nbsp T 1 2 m W i 2 r 2 W i r i W k r k displaystyle T frac 1 2 sum m Omega i 2 r 2 Omega i r i Omega k r k nbsp Vikoristovuyuchi totozhnist W i d i k W k displaystyle Omega i delta ik Omega k nbsp de d i k displaystyle delta ik nbsp odinichnij tenzor perepishemo ostannye rivnyannya yak T 1 2 m W i W k d i k r 2 W i r i W k r k 1 2 W i W k m d i k r 2 r i r k displaystyle T frac 1 2 sum m Omega i Omega k delta ik r 2 Omega i r i Omega k r k frac 1 2 Omega i Omega k sum m delta ik r 2 r i r k nbsp Mi mozhemo vinesti komponenti kutovoyi shvidkosti za simvol sumi oskilki voni ye odnakovimi dlya vsih tochok Velichina I i k m d i k r 2 r i r k displaystyle I ik sum m delta ik r 2 r i r k nbsp nazivayetsya tenzorom inerciyi tila dlya vipadku neperervnogo rozpodilu masi suma zaminyayetsya analogichnim integralom Zapishemo jogo komponenti u yavnomu viglyadi 5 I i k m y 2 z 2 m x y m x z m y x m x 2 z 2 m y z m z x m z y m x 2 y 2 displaystyle I ik begin pmatrix sum m y 2 z 2 amp sum mxy amp sum mxz sum myx amp sum m x 2 z 2 amp sum myz sum mzx amp sum mzy amp sum m x 2 y 2 end pmatrix nbsp Diagonalni komponenti tenzora nazivayut osovimi momentami inerciyi vidnosno vidpovidnih osej a diagonalni vidcentrovi momenti inerciyi V toj chas yak osovi momenti zavzhdi dodatni vidcentrovi mozhut buti i vid yemni Tenzor inerciyi simetrichnij I a b I b a displaystyle I alpha beta I beta alpha nbsp Yak i dlya bud yakogo inshogo simetrichnogo tenzoru drugogo rangu jogo mozhna sprostiti perejshovshi do sistemi koordinat u yakij vin maye diagonalnu formu golovnoyi sistemi koordinat Osi golovnoyi sistemi koordinat nazivayut golovnimi osyami inerciyi Diagonalni elementi tenzoru todi nazivayut golovnimi momentami inerciyi Viraz dlya kinetichnoyi energiyi todi sproshuyetsya do T 1 2 I 1 W 1 2 I 2 W 2 2 I 3 W 3 2 displaystyle T frac 1 2 I 1 Omega 1 2 I 2 Omega 2 2 I 3 Omega 3 2 nbsp Tilo vsi tri golovnih momenti yakogo ye riznimi nazivayut asimetrichnim rotatorom toj u yakogo zbigayutsya dva momenti z troh simetrichnim rotatorom a takij u yakogo vsi tri golovnih momenti rivni sferichnim rotatorom 6 Golovni osi inerciyi tila sho maye deyaku simetriyu takozh zberigayut yiyi napriklad yaksho tilo maye vis simetriyi to odna z golovnih osej inerciyi napryamlena vzdovzh osi simetriyi Rivnyannya dinamiki tverdogo tila RedaguvatiMoment kilkosti ruhu Redaguvati Moment impulsu tila pri obertanni zalezhit vid vektora kutovoyi shvidkosti j tenzora inerciyi L a b I b a W a displaystyle L alpha sum beta I beta alpha Omega alpha nbsp U golovnij sistemi koordinat L x I x W x L y I y W y L z I z W z displaystyle begin matrix L x I x Omega x amp L y I y Omega y amp L z I z Omega z end matrix nbsp Yaksho vis obertannya tila ne zbigayetsya z zhodnoyu z golovnih osej napryam momentu impulsu mozhe ne zbigatisya z napryamom vektora kutovoyi shvidkosti 7 Kinetichna energiya Redaguvati Kinetichna energiya obertannya tila zadayetsya formuloyu T 1 2 a b I a b W a W b displaystyle T frac 1 2 sum alpha beta I alpha beta Omega alpha Omega beta nbsp U golovnij sistemi koordinat T 1 2 I x W x 2 I y W y 2 I z W z 2 displaystyle T frac 1 2 I x Omega x 2 I y Omega y 2 I z Omega z 2 nbsp Osnovne rivnyannya dinamiki obertalnogo ruhu Redaguvati Za analogiyeyu z drugim zakonom Nyutona dlya postupalnogo ruhu mozhna sformulyuvati rivnyannya obertalnogo ruhu de zovnishnim silam yaki diyut na tilo vidpovidayut momenti sil masi moment inerciyi a priskorennyu kutove priskorennya Pri odnovisnomu obertanni i M i I d W d t I ϵ displaystyle sum i mathbf M i I frac d vec Omega dt I vec epsilon nbsp Tut Mi momenti zovnishnih sil W displaystyle mathbf Omega nbsp kutova shvidkist ϵ displaystyle mathbf epsilon nbsp kutove priskorennya Funkciya Lagranzha Redaguvati Dlya tverdogo tila funkciya Lagranzha dorivnyuye T m V 2 2 1 2 I a b W a W b U displaystyle T frac mV 2 2 frac 1 2 I alpha beta Omega alpha Omega beta U nbsp Div takozh RedaguvatiSpisok momentiv inerciyi Momenti inerciyi ploskih pereriziv Teorema pro zminu momentu impulsu sistemiPrimitki Redaguvati Moment inerciyi Ukrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 a b Multanovskij 1988 s 147 Multanovskij 1988 s 148 Landau Lifshic 1965 s 126 Landau Lifshic 1965 s 127 Landau Lifshic 1965 s 128 Landau Lifshic 1965 s 135 Dzherela RedaguvatiYezhov S M Makarec M V Romanenko O V Klasichna mehanika K VPC Kiyivskij universitet 2008 480 s Fedorchenko A M Teoretichna mehanika K Visha shkola 1975 516 s V V Multanovskij Klassicheskaya mehanika Osnovy specialnoj teorii otnositelnosti Relyativistskaya mehanika Kurs teoreticheskoj fiziki M Prosveshenie 1988 T 1 304 s Landau L D Lifshic E M Mehanika Teoreticheskaya fizika M Nauka 1965 T 1 204 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Moment inerciyi amp oldid 40244126