www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема про зміну моменту імпульсу системи теорема про зміну кінетичного моменту системи одна із загальних теорем динамі

Теорема про зміну моменту імпульсу системи

Теорема про зміну моменту імпульсу системи (теорема про зміну кінетичного моменту системи) — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Пов'язує зміну моменту імпульсу з моментом зовнішніх сил, що діють на тіла, які складають систему. Системою, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми Редагувати

Моментом імпульсу (кінетичним моментом) механічної системи називають величину, що дорівнює сумі моментів імпульсу (кінетичних моментів) усіх тіл, що входять до системи відносно центра зведення. Головний момент зовнішніх сил, що діють на тіла системи, — це векторна сума моментів усіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи відносно центра зведення. Теорема про зміну кінетичного моменту системи стверджує:

Похідна за часом від моменту імпульсу системи відносно нерухомого центра дорівнює головному моменту зовнішніх сил системи відносно цього центра :

Теорема допускає узагальнення на випадокнеінерційних систем відліку. У цьому випадку до головного моменту зовнішніх сил необхідно додати головні моменти переносних і коріолісових сил інерції.

Для твердого тіла рівняння виражає основний закон динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки.

У проєкціях на осі нерухомої прямокутної декартової системи координат із початком у полюсі O закон зміни моменту імпульсу має вигляд: . Тут  — моменти імпульсу системи та головні моменти зовнішніх сил відносно відповідних осей координат.

Рівняння динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки , в жорстко пов'язаній із тілом рухомий системі координат, початок якої в точці , має вигляд: . Тут  — момент імпульсу тіла,  — головний момент прикладених до тіла зовнішніх сил відносно точки ,  — кутова швидкість обертання тіла,  — відносна похідна за часом від вектора ,  — орти рухомої системи.

Якщо осі рухомої системи координат збігаються з головними осями інерції тіла в точці , то рівняння руху тіла в проєкціях на ці осі мають вигляд:

де  — головні моменти інерції тіла в точці ,  — проєкції вектора кутової швидкості тіла на головні осі інерції, ,  — моменти всіх зовнішніх сил відносно тих самих осей (динамічні рівняння Ейлера).

Доведення Редагувати

Нехай система складається з матеріальних точок із масами , швидкостями та радіус-векторами відносно початку координат . Момент інерції системи відносно початку координат обчислюється за такою формулою: . Знайдемо похідну за часом від цієї рівності: . Це випливає з , оскільки . Нехай до -ої точки системи прикладено зовнішні та внутрішні сили. Тоді з другого закону Ньютона випливає: . З третього закону Ньютона випливає, що в механічній системі сума моментів внутрішніх сил дорівнює нулю, оскільки для пари точок, що взаємодіють, ці сили напрямлені вздовж прямої, що їх з'єднує (це істотно), рівні за модулем і протилежні за напрямом. Приходимо до твердження теореми: .

Закон збереження моменту інерції системи Редагувати

З теореми про зміну кінетичного моменту системи випливає, що якщо головний момент зовнішніх сил відносно центра дорівнює нулю, то момент інерції системи відносно того ж центра є сталим за модулем та напрямком .

Закон збереження моменту імпульсу каже:

Якщо сума моментів усіх зовнішніх сил, що діють на систему, відносно якоїсь осі дорівнює нулю, то момент імпульсу (кінетичний момент) системи відносно цієї осі є сталою величиною.

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками Редагувати

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яка виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа.

Теорема про зміну кінетичного моменту системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:

Якщо ідеальні стаціонарні зв'язки допускають у кожний момент часу поворот системи як цілого навколо деякої нерухомої осі, то похідна за часом від моменту імпульсу системи відносно осі дорівнює сумі моментів відносно тієї ж осі зовнішніх активних сил, що діють на систему.

Цю теорему можна довести так. Замінюючи в загальному рівнянні динаміки приріст , отримуємо:

Внаслідок того, що скалярно-векторний добуток не змінюється за циклічної перестановки множників:

або

або

або

Підсумковий результат:

У формулах використано значки (активна, тобто така, що не є реакцією зв'язків, сила) і (зовнішня сила).

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Тарасов, 2012, с. 320.
  2. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 261
  3. ↑ Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. — М., Оникс, 2007. — ISBN 978-5-488-01248-6. — с. 83-84
  4. Тарасов, 2012, с. 321.

Література Редагувати

  • Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И. Теоретическая механика. — М. : ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8 страниц = 560.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema pro zminu momentu impulsu sistemi teorema pro zminu kinetichnogo momentu sistemi odna iz zagalnih teorem dinamiki naslidok zakoniv Nyutona Pov yazuye zminu momentu impulsu z momentom zovnishnih sil sho diyut na tila yaki skladayut sistemu Sistemoyu pro yaku jdetsya v teoremi mozhe vistupati bud yaka mehanichna sistema sho skladayetsya z bud yakih til Zmist 1 Formulyuvannya teoremi 2 Dovedennya 3 Zakon zberezhennya momentu inerciyi sistemi 4 Vipadok sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaFormulyuvannya teoremi RedaguvatiMomentom impulsu kinetichnim momentom mehanichnoyi sistemi nazivayut velichinu sho dorivnyuye sumi momentiv impulsu kinetichnih momentiv usih til sho vhodyat do sistemi vidnosno centra zvedennya Golovnij moment zovnishnih sil sho diyut na tila sistemi ce vektorna suma momentiv usih zovnishnih sil sho diyut na tila sistemi vidnosno centra zvedennya Teorema pro zminu kinetichnogo momentu sistemi stverdzhuye 1 Pohidna za chasom vid momentu impulsu sistemi L 0 displaystyle vec L 0 nbsp vidnosno neruhomogo centra dorivnyuye golovnomu momentu zovnishnih sil sistemi vidnosno cogo centra M e displaystyle vec M e nbsp d L 0 d t M e displaystyle frac d vec L 0 dt vec M e nbsp Teorema dopuskaye uzagalnennya na vipadokneinercijnih sistem vidliku U comu vipadku do golovnogo momentu zovnishnih sil neobhidno dodati golovni momenti perenosnih i koriolisovih sil inerciyi 2 Dlya tverdogo tila rivnyannya d L 0 d t M e displaystyle frac d vec L 0 dt vec M e nbsp virazhaye osnovnij zakon dinamiki tverdogo tila sho obertayetsya navkolo neruhomoyi tochki U proyekciyah na osi neruhomoyi pryamokutnoyi dekartovoyi sistemi koordinat iz pochatkom u polyusi O zakon zmini momentu impulsu maye viglyad d L x d t M x e d L y d t M y e d L z d t M z e displaystyle frac dL x dt M x e frac dL y dt M y e frac dL z dt M z e nbsp Tut L x L y L z M x e M y e M z e displaystyle L x L y L z M x e M y e M z e nbsp momenti impulsu sistemi ta golovni momenti zovnishnih sil vidnosno vidpovidnih osej koordinat 3 Rivnyannya dinamiki tverdogo tila sho obertayetsya navkolo neruhomoyi tochki O displaystyle O nbsp v zhorstko pov yazanij iz tilom ruhomij sistemi koordinat pochatok yakoyi v tochci O displaystyle O nbsp maye viglyad d L d t M w L displaystyle frac tilde d vec L dt vec M vec omega times vec L nbsp Tut L displaystyle L nbsp moment impulsu tila M displaystyle M nbsp golovnij moment prikladenih do tila zovnishnih sil vidnosno tochki O displaystyle O nbsp w displaystyle omega nbsp kutova shvidkist obertannya tila d L d t d L x d t i d L y d t j d L z d t k displaystyle frac tilde d vec L dt frac dL x dt i frac dL y dt j frac dL z dt k nbsp vidnosna pohidna za chasom vid vektora L displaystyle vec L nbsp i j k displaystyle i j k nbsp orti ruhomoyi sistemi 3 Yaksho osi ruhomoyi sistemi koordinat zbigayutsya z golovnimi osyami inerciyi tila v tochci O displaystyle O nbsp to rivnyannya ruhu tila v proyekciyah na ci osi mayut viglyad J 1 w 1 J 3 J 2 w 2 w 3 M 1 displaystyle J 1 dot omega 1 J 3 J 2 omega 2 omega 3 M 1 nbsp J 2 w 2 J 1 J 3 w 3 w 1 M 2 displaystyle J 2 dot omega 2 J 1 J 3 omega 3 omega 1 M 2 nbsp J 3 w 3 J 2 J 1 w 1 w 2 M 3 displaystyle J 3 dot omega 3 J 2 J 1 omega 1 omega 2 M 3 nbsp de J 1 J 2 J 3 displaystyle J 1 J 2 J 3 nbsp golovni momenti inerciyi tila v tochci O displaystyle O nbsp w 1 w 2 w 3 displaystyle omega 1 omega 2 omega 3 nbsp proyekciyi vektora kutovoyi shvidkosti tila na golovni osi inerciyi w i d w i d t i 1 2 3 displaystyle dot omega i frac d omega i dt i 1 2 3 nbsp M 1 M 2 M 3 displaystyle M 1 M 2 M 3 nbsp momenti vsih zovnishnih sil vidnosno tih samih osej dinamichni rivnyannya Ejlera 3 Dovedennya RedaguvatiNehaj sistema skladayetsya z n displaystyle n nbsp materialnih tochok iz masami m i displaystyle m i nbsp shvidkostyami v i displaystyle vec v i nbsp ta radius vektorami vidnosno pochatku koordinat r i displaystyle vec r i nbsp Moment inerciyi sistemi vidnosno pochatku koordinat obchislyuyetsya za takoyu formuloyu L 0 k 1 n r k m k v k displaystyle vec L 0 sum k 1 n vec r k times m k vec v k nbsp Znajdemo pohidnu za chasom vid ciyeyi rivnosti d L 0 d t d d t k 1 n r k m k v k k 1 n d d t r k m k v k k 1 n d r k d t m k v k k 1 n r k d d t m k v k k 1 n r k d d t m k v k displaystyle frac d vec L 0 dt frac d dt sum k 1 n vec r k times m k vec v k sum k 1 n frac d dt vec r k times m k vec v k sum k 1 n frac d vec r k dt times m k vec v k sum k 1 n vec r k times frac d dt m k vec v k sum k 1 n vec r k times frac d dt m k vec v k nbsp Ce viplivaye z d r k d t m k v k v k m k v k 0 displaystyle frac d vec r k dt times m k vec v k vec v k times m k vec v k 0 nbsp oskilki v k m k v k sin v k m k v k 0 displaystyle v k m k v k sin vec v k m k vec v k 0 nbsp Nehaj do k displaystyle k nbsp oyi tochki sistemi prikladeno zovnishni F k e displaystyle vec F k e nbsp ta vnutrishni F k i displaystyle vec F k i nbsp sili Todi z drugogo zakonu Nyutona viplivaye r k d d t m k v k r k F k e r k F k i displaystyle vec r k times frac d dt m k vec v k vec r k times vec F k e vec r k times vec F k i nbsp Z tretogo zakonu Nyutona viplivaye sho v mehanichnij sistemi suma momentiv vnutrishnih sil dorivnyuye nulyu oskilki dlya pari tochok sho vzayemodiyut ci sili napryamleni vzdovzh pryamoyi sho yih z yednuye ce istotno rivni za modulem i protilezhni za napryamom Prihodimo do tverdzhennya teoremi d L 0 d t M 0 F e displaystyle frac d vec L 0 dt vec M 0 vec F e nbsp Zakon zberezhennya momentu inerciyi sistemi RedaguvatiZ teoremi pro zminu kinetichnogo momentu sistemi viplivaye sho yaksho golovnij moment zovnishnih sil vidnosno centra dorivnyuye nulyu to moment inerciyi sistemi vidnosno togo zh centra ye stalim za modulem ta napryamkom L 0 c o n s t displaystyle vec L 0 const nbsp Zakon zberezhennya momentu impulsu kazhe 4 Yaksho suma momentiv usih zovnishnih sil sho diyut na sistemu vidnosno yakoyis osi dorivnyuye nulyu to moment impulsu kinetichnij moment sistemi vidnosno ciyeyi osi ye staloyu velichinoyu Vipadok sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami RedaguvatiU tih vipadkah koli predmetom vivchennya ye lishe ruh sistemi a reakciyi zv yazkiv ne cikavi koristuyutsya formulyuvannyam teoremi dlya sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami yaka vivoditsya z urahuvannyam principu d Alambera Lagranzha Teorema pro zminu kinetichnogo momentu sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami stverdzhuye Yaksho idealni stacionarni zv yazki dopuskayut u kozhnij moment chasu povorot sistemi yak cilogo navkolo deyakoyi neruhomoyi osi to pohidna za chasom vid momentu impulsu sistemi vidnosno osi dorivnyuye sumi momentiv vidnosno tiyeyi zh osi zovnishnih aktivnih sil sho diyut na sistemu Cyu teoremu mozhna dovesti tak Zaminyuyuchi v zagalnomu rivnyanni dinamiki k 1 N F k m k w k d r k 0 displaystyle sum k 1 N vec F k m k vec w k delta vec r k 0 nbsp pririst d r k i d f r k displaystyle delta vec r k vec i delta varphi times vec r k nbsp otrimuyemo k 1 N m k d v k d t i r k k 1 N F k i r k displaystyle sum k 1 N m k frac d vec v k dt vec i times vec r k sum k 1 N vec F k vec i times vec r k nbsp Vnaslidok togo sho skalyarno vektornij dobutok ne zminyuyetsya za ciklichnoyi perestanovki mnozhnikiv i k 1 N r k m k d v k d t i k 1 N r k F k displaystyle vec i sum k 1 N vec r k times m k frac d vec v k dt vec i sum k 1 N vec r k times vec F k nbsp abo i d d t k 1 N r k m k v k i k 1 N r k F k a e displaystyle vec i frac d dt sum k 1 N vec r k times m k vec v k vec i sum k 1 N vec r k times vec F k ae nbsp abo i d L 0 d t k 1 N m o m x F x a e displaystyle vec i frac d vec L 0 dt sum k 1 N mom x F x ae nbsp abo d d t i L 0 k 1 N m o m x F x a e displaystyle frac d dt vec i vec L 0 sum k 1 N mom x F x ae nbsp Pidsumkovij rezultat d L x d t k 1 N m o m x F x a e displaystyle frac dL x dt sum k 1 N mom x F x ae nbsp U formulah vikoristano znachki a displaystyle a nbsp aktivna tobto taka sho ne ye reakciyeyu zv yazkiv sila i e displaystyle e nbsp zovnishnya sila Div takozh RedaguvatiTeorema pro ruh centra mas sistemi Teorema pro kinetichnu energiyu sistemi Teorema pro zminu impulsu sistemiPrimitki Redaguvati Tarasov 2012 s 320 Zhirnov N I Klassicheskaya mehanika Seriya uchebnoe posobie dlya studentov fiziko matematicheskih fakultetov pedagogicheskih institutov M Prosveshenie 1980 Tirazh 28 000 ekz s 261 a b v Yavorskij B M Detlaf A A Lebedev A K Spravochnik po fizike dlya inzhenerov i studentov vuzov M Oniks 2007 ISBN 978 5 488 01248 6 s 83 84 Tarasov 2012 s 321 Literatura RedaguvatiTarasov V N Boyarkina I V Kovalenko M V Fedorchenko N P Fisenko N I Teoreticheskaya mehanika M TransLit 2012 ISBN 978 5 94976 455 8 stranic 560 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema pro zminu momentu impulsu sistemi amp oldid 40244229