www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема про кінетичну енергію системи одна із загальних теорем динаміки наслідок законів Ньютона Пов язує кінетичну енер

Теорема про кінетичну енергію системи

Теорема про кінетичну енергію системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Пов'язує кінетичну енергію механічної системи з роботою сил, що діють на тіла, які становлять систему. Системою, про яку йдеться, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми Редагувати

Кінетичною енергією системи називають суму кінетичних енергій усіх тіл, що входять до системи. Для визначеної в такий спосіб величини справедливе твердження:

Зміна кінетичної енергії системи дорівнює роботі всіх внутрішніх та зовнішніх сил, що діють на тіла системи.

Теорема допускає узагальнення на випадок неінерційних систем відліку. У цьому випадку до роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил необхідно додати роботу переносних сил інерції (коріолісові сили інерції не можуть виконувати роботу).

Доведення теореми Редагувати

Розглянемо систему матеріальних точок із масами , швидкостями та кінетичними енергіями . Для малої зміни кінетичної енергії (диференціала), що відбувається протягом деякого малого проміжку часу буде виконуватися

Враховуючи що являє собою прискорення -ої точки , а  — переміщення тієї ж точки за час , отриманий вираз можна записати у вигляді:

Використовуючи другий закон Ньютона і позначаючи рівнодійну всіх сил, що діють на точку, як , отримуємо

а потім, відповідно до визначення роботи ,

Підсумовування всіх рівнянь такого вигляду, записаних для кожної з матеріальних точок, приводить до формули зміни повної кінетичної енергії системи:

Ця рівність виражає твердження теореми про зміну кінетичної енергії системи в диференціальному вигляді.

Проінтегрувавши обидві частини рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і , отримаємо вираз теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі:

де і  — Значення кінетичної енергії системи в моменти часу і відповідно.

Підкреслимо, що тут, на відміну від випадків теореми про зміну кількості руху системи та теореми про рух центра мас системи, враховується робота не лише зовнішніх, але й внутрішніх сил.

Закон збереження механічної енергії Редагувати

Окремий інтерес становлять системи, в яких на тіла діють потенціальні сили. Для таких сил уводиться поняття потенціальної енергії, зміна якої в разі однієї матеріальної точки за визначенням задовольняє співвідношенню:

де і  — значення потенціальної енергії точки в початковому і кінцевому станах відповідно, а  — робота потенціальної сили, що виконується при переміщенні точки з початкового стану в кінцевий.

Зміна потенційної енергії системи отримується як сума змін енергії всіх тіл системи:

Якщо всі внутрішні та зовнішні сили, що діють на тіла системи, потенціальні, то

Підставляючи отриманий вираз у рівняння теореми про кінетичну енергію, отримаємо:

або, що те саме

Інакше кажучи, виходить, що для повної механічної енергії системи виконується

Отже, можна зробити висновок:

Якщо на тіла системи діють лише потенціальні сили, то повна механічна енергія системи зберігається.

Це твердження й становить зміст закону збереження механічної енергії, який є наслідком теореми про кінетичну енергію і одночасно окремим випадком загального фізичного закону збереження енергії.

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками Редагувати

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яка виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:

Диференціал кінетичної енергії системи з ідеальними стаціонарними зв'язками дорівнює сумі елементарних робіт на дійсних переміщеннях зовнішніх і внутрішніх сил, що діють.

Теорема доводиться в такий спосіб. Замінюючи в загальному рівнянні динаміки на , отримуємо:

або

Оскільки , отримуємо остаточно:

Верхні значки в цих виразах означають:  — активна (тобто, така, що не є реакцією зв'язків) сила, (від англ. external) та (від англ. internal) — відповідно, зовнішня та внутрішня сила.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 301—323. — ISBN 5-06-003117-9.
  2. ↑ Журавлёв В. Ф.[ru]. Основы теоретической механики. — М. : Физматлит, 2001. — С. 70-71. — ISBN 5-95052-041-3.
  3. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 262
  4. Нагадаємо, що сили називають потенціальними, якщо робота, яку вони виконують під час переміщення матеріальної точки, визначається лише початковим і кінцевим положеннями точки і не залежить від вибору траєкторії.
  5. Тобто, дисипативні сили відсутні.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema pro kinetichnu energiyu sistemi odna iz zagalnih teorem dinamiki naslidok zakoniv Nyutona Pov yazuye kinetichnu energiyu mehanichnoyi sistemi z robotoyu sil sho diyut na tila yaki stanovlyat sistemu Sistemoyu pro yaku jdetsya mozhe vistupati bud yaka mehanichna sistema sho skladayetsya z bud yakih til 1 2 Zmist 1 Formulyuvannya teoremi 2 Dovedennya teoremi 3 Zakon zberezhennya mehanichnoyi energiyi 4 Vipadok sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami 5 Div takozh 6 PrimitkiFormulyuvannya teoremi RedaguvatiKinetichnoyu energiyeyu sistemi nazivayut sumu kinetichnih energij usih til sho vhodyat do sistemi Dlya viznachenoyi v takij sposib velichini spravedlive tverdzhennya 1 2 Zmina kinetichnoyi energiyi sistemi dorivnyuye roboti vsih vnutrishnih ta zovnishnih sil sho diyut na tila sistemi Teorema dopuskaye uzagalnennya na vipadok neinercijnih sistem vidliku U comu vipadku do roboti vsih zovnishnih i vnutrishnih sil neobhidno dodati robotu perenosnih sil inerciyi koriolisovi sili inerciyi ne mozhut vikonuvati robotu 3 Dovedennya teoremi RedaguvatiRozglyanemo sistemu materialnih tochok iz masami m i displaystyle m i nbsp shvidkostyami v i displaystyle vec v i nbsp ta kinetichnimi energiyami T i 1 2 m i v i 2 displaystyle T i frac 1 2 m i v i 2 nbsp Dlya maloyi zmini kinetichnoyi energiyi diferenciala sho vidbuvayetsya protyagom deyakogo malogo promizhku chasu d t displaystyle dt nbsp bude vikonuvatisya d T i m i v i d v i m i v i d v i d t d t displaystyle dT i m i vec v i d vec v i m i vec v i frac d vec v i dt dt nbsp Vrahovuyuchi sho d v i d t displaystyle frac d vec v i dt nbsp yavlyaye soboyu priskorennya i displaystyle i nbsp oyi tochki a i displaystyle vec a i nbsp a v i d t displaystyle vec v i dt nbsp peremishennya tiyeyi zh tochki d s i displaystyle d vec s i nbsp za chas d t displaystyle dt nbsp otrimanij viraz mozhna zapisati u viglyadi d T i m i a i d s i displaystyle dT i m i vec a i d vec s i nbsp Vikoristovuyuchi drugij zakon Nyutona i poznachayuchi rivnodijnu vsih sil sho diyut na tochku yak F i displaystyle F i nbsp otrimuyemo d T i F i d s i displaystyle dT i vec F i d vec s i nbsp a potim vidpovidno do viznachennya roboti d A i displaystyle dA i nbsp d T i d A i displaystyle dT i dA i nbsp Pidsumovuvannya vsih rivnyan takogo viglyadu zapisanih dlya kozhnoyi z materialnih tochok privodit do formuli zmini povnoyi kinetichnoyi energiyi sistemi d T i d A i displaystyle dT sum limits i dA i nbsp Cya rivnist virazhaye tverdzhennya teoremi pro zminu kinetichnoyi energiyi sistemi v diferencialnomu viglyadi Prointegruvavshi obidvi chastini rivnosti za dovilno vzyatim promizhkom chasu mizh deyakimi t 1 displaystyle t 1 nbsp i t 2 displaystyle t 2 nbsp otrimayemo viraz teoremi pro zminu kinetichnoyi energiyi v integralnij formi T 2 T 1 i A i displaystyle T 2 T 1 sum limits i A i nbsp de T 1 displaystyle T 1 nbsp i T 2 displaystyle T 2 nbsp Znachennya kinetichnoyi energiyi sistemi v momenti chasu t 1 displaystyle t 1 nbsp i t 2 displaystyle t 2 nbsp vidpovidno Pidkreslimo sho tut na vidminu vid vipadkiv teoremi pro zminu kilkosti ruhu sistemi ta teoremi pro ruh centra mas sistemi vrahovuyetsya robota ne lishe zovnishnih ale j vnutrishnih sil Zakon zberezhennya mehanichnoyi energiyi RedaguvatiOkremij interes stanovlyat sistemi v yakih na tila diyut potencialni sili 4 Dlya takih sil uvoditsya ponyattya potencialnoyi energiyi zmina yakoyi v razi odniyeyi materialnoyi tochki za viznachennyam zadovolnyaye spivvidnoshennyu W 2 i W 1 i A p i displaystyle W 2i W 1i A pi nbsp de W 1 i displaystyle W 1i nbsp i W 2 i displaystyle W 2i nbsp znachennya potencialnoyi energiyi tochki v pochatkovomu i kincevomu stanah vidpovidno a A p i displaystyle A pi nbsp robota potencialnoyi sili sho vikonuyetsya pri peremishenni tochki z pochatkovogo stanu v kincevij Zmina potencijnoyi energiyi sistemi otrimuyetsya yak suma zmin energiyi vsih til sistemi W 2 W 1 i A p i displaystyle W 2 W 1 sum limits i A pi nbsp Yaksho vsi vnutrishni ta zovnishni sili sho diyut na tila sistemi potencialni 5 to i A i i A p i W 2 W 1 displaystyle sum limits i A i sum limits i A pi W 2 W 1 nbsp Pidstavlyayuchi otrimanij viraz u rivnyannya teoremi pro kinetichnu energiyu otrimayemo T 2 T 1 W 2 W 1 displaystyle T 2 T 1 W 2 W 1 nbsp abo sho te same T 2 W 2 T 1 W 1 displaystyle T 2 W 2 T 1 W 1 nbsp Inakshe kazhuchi vihodit sho dlya povnoyi mehanichnoyi energiyi sistemi T W displaystyle T W nbsp vikonuyetsya T W c o n s t displaystyle T W const nbsp Otzhe mozhna zrobiti visnovok Yaksho na tila sistemi diyut lishe potencialni sili to povna mehanichna energiya sistemi zberigayetsya Ce tverdzhennya j stanovit zmist zakonu zberezhennya mehanichnoyi energiyi yakij ye naslidkom teoremi pro kinetichnu energiyu i odnochasno okremim vipadkom zagalnogo fizichnogo zakonu zberezhennya energiyi 1 2 Vipadok sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami RedaguvatiU tih vipadkah koli predmetom vivchennya ye lishe ruh sistemi a reakciyi zv yazkiv ne cikavi koristuyutsya formulyuvannyam teoremi dlya sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami yaka vivoditsya z urahuvannyam principu d Alambera Lagranzha Teorema pro zminu kinetichnoyi energiyi sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami stverdzhuye Diferencial kinetichnoyi energiyi sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami dorivnyuye sumi elementarnih robit na dijsnih peremishennyah zovnishnih i vnutrishnih sil sho diyut Teorema dovoditsya v takij sposib Zaminyuyuchi v zagalnomu rivnyanni dinamiki d r k displaystyle delta vec r k nbsp na v k d t displaystyle vec v k dt nbsp otrimuyemo m k w k v k d t F k v k d t displaystyle sum m k vec w k vec v k dt sum vec F k vec v k dt nbsp abo d m k v k v k F k a e v k d t F k a i v k d t displaystyle d sum m k vec v k vec v k sum vec F k ae vec v k dt sum vec F k ai vec v k dt nbsp Oskilki d v k v k d v k 2 2 displaystyle d vec v k vec v k d frac v k 2 2 nbsp otrimuyemo ostatochno d T i m i a i d s i displaystyle dT i m i vec a i d vec s i nbsp Verhni znachki v cih virazah oznachayut a displaystyle a nbsp aktivna tobto taka sho ne ye reakciyeyu zv yazkiv sila e displaystyle e nbsp vid angl external ta i displaystyle i nbsp vid angl internal vidpovidno zovnishnya ta vnutrishnya sila Div takozh RedaguvatiTeorema pro ruh centra mas sistemi Teorema pro zminu kilkosti ruhu sistemi Teorema pro zminu momentu impulsu sistemiPrimitki Redaguvati a b v Targ S M Kratkij kurs teoreticheskoj mehaniki M Vysshaya shkola 1995 S 301 323 ISBN 5 06 003117 9 a b v Zhuravlyov V F ru Osnovy teoreticheskoj mehaniki M Fizmatlit 2001 S 70 71 ISBN 5 95052 041 3 Zhirnov N I Klassicheskaya mehanika Seriya uchebnoe posobie dlya studentov fiziko matematicheskih fakultetov pedagogicheskih institutov M Prosveshenie 1980 Tirazh 28 000 ekz s 262 Nagadayemo sho sili nazivayut potencialnimi yaksho robota yaku voni vikonuyut pid chas peremishennya materialnoyi tochki viznachayetsya lishe pochatkovim i kincevim polozhennyami tochki i ne zalezhit vid viboru trayektoriyi Tobto disipativni sili vidsutni Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema pro kinetichnu energiyu sistemi amp oldid 40244107