www.wikidata.uk-ua.nina.az

Оператор кутового моменту Опера тор моме нту кі лькості ру ху або кутового моменту це квантово механічний аналог класичн

Оператор кутового моменту

Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху.

"Векторні конуси" загального кутового моменту J (фіолетовий), орбіти L (синій) та спіна S(зелений). Конуси виникають через квантову невизначеність між вимірюванням компонентів кутового моменту (see below).
У цій стоячій хвилі на круговій струні коло розбивається рівно на 8 довжин хвилі. Така стояча хвиля може мати 0, 1, 2 або будь-яке ціле число довжин хвиль по колу, але вона не може мати неціле число довжин хвиль, таких як 8.3. У квантовій механіці кутовий момент квантується з подібної причини.
Ілюстрація векторної моделі орбітального кутового моменту.
Різні типи оператори обертання. У верхній рамці зображено дві частинки, зі спіновими станами, схематично позначеними стрілками.
  1. Оператор R, пов'язаний з J, обертає всю систему.
  2. Оператор Rпросторовий, пов'язаний з L, обертає положення частинок, не змінюючи їх внутрішніх спінових станів.
  3. Оператор Rвнутрішній, пов'язаний з S, обертає внутрішні спінові стани частинок, не змінюючи їх положення.

Побудова і означення Редагувати

Для побудови квантово-механічного оператора кутового моменту частки виходять із класичного виразу

де — радіус вектор частки, а — її імпульс. При переході до квантової механіки проводять заміну імпульсу на квантовомеханічий оператор імпульсу . Тоді компоненти оператора кількості руху мають наступну форму

Визначені таким чином оператори є ермітовими.

Комутаційні співвідношення Редагувати

Компоненти оператора кутового моменту задовільняють наступним комутаційним співвідношенням

Оскільки вони не комутують між собою, то згідно із принципом невизначеності не можуть бути виміряні одночасно. Якщо відоме точне значення одного з них, то невизначеність двох інших буде абсолютною.

Власні функції та власні значення Редагувати

З огляду на некомутативність компонент, вони не мають спільних власних функцій. В сферичній системі координат найпростіший вигляд має компонента , тож здебільшого шукають її власні функції.

Власними функціями компоненти є комплексні експоненти виду , де m — ціле число, яке пробігає значення від до .

Власні значення оператора дорівнюють . Число m називається магнітним квантовим числом. Така назва зумовлена тим, що вперше магнітне квантове число ввели для інтерпретації розщеплення спектральних ліній у магнітному полі (Зееманівське розщеплення).

Оператор квадрата кутового моменту Редагувати

Важливе значення у квантовій механіці посідає оператор квадрата кутового моменту

В сферичні системі координат він має вигляд

Цей оператор комутує з будь-якою з компонент оператора кутового моменту.

Власні функції та власні значення оператора квадрата кутового моменту Редагувати

Завдяки комутативності оператора квадрата кутового моменту із , ці два оператори мають спільну систему власних функцій. Квадрат кутового моменту може бути визначеними одночасно із z-вою компонентою.

Власними функціями оператора квадрата кутового моменту є сферичні гармоніки .

Власні значення оператора квадрата кутового моменту дорівнюють , де l — ціле число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Це квантове число називається орбітальним квантовим числом.

Із теорії сферичних гармонік відомо, що магнітне квантове число m за абсолютною величиною не може бути більшим за l. Тому кожному орбітальному квантовому числу l відповідає 2l+1 різних магнітних квантових числа: m = -l, -l+1…l-1, l.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
  • Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
  • Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Opera tor mome ntu ki lkosti ru hu abo kutovogo momentu ce kvantovo mehanichnij analog klasichnogo ponyattya momentu kilkosti ruhu Vektorni konusi zagalnogo kutovogo momentu J fioletovij orbiti L sinij ta spina S zelenij Konusi vinikayut cherez kvantovu neviznachenist mizh vimiryuvannyam komponentiv kutovogo momentu see below U cij stoyachij hvili na krugovij struni kolo rozbivayetsya rivno na 8 dovzhin hvili Taka stoyacha hvilya mozhe mati 0 1 2 abo bud yake cile chislo dovzhin hvil po kolu ale vona ne mozhe mati necile chislo dovzhin hvil takih yak 8 3 U kvantovij mehanici kutovij moment kvantuyetsya z podibnoyi prichini Ilyustraciya vektornoyi modeli orbitalnogo kutovogo momentu Rizni tipi operatori obertannya U verhnij ramci zobrazheno dvi chastinki zi spinovimi stanami shematichno poznachenimi strilkami Operator R pov yazanij z J obertaye vsyu sistemu Operator Rprostorovij pov yazanij z L obertaye polozhennya chastinok ne zminyuyuchi yih vnutrishnih spinovih staniv Operator Rvnutrishnij pov yazanij z S obertaye vnutrishni spinovi stani chastinok ne zminyuyuchi yih polozhennya Zmist 1 Pobudova i oznachennya 2 Komutacijni spivvidnoshennya 3 Vlasni funkciyi ta vlasni znachennya 4 Operator kvadrata kutovogo momentu 5 Vlasni funkciyi ta vlasni znachennya operatora kvadrata kutovogo momentu 6 Div takozh 7 DzherelaPobudova i oznachennya RedaguvatiDlya pobudovi kvantovo mehanichnogo operatora kutovogo momentu chastki vihodyat iz klasichnogo virazu L r p displaystyle mathbf L mathbf r times mathbf p nbsp de r displaystyle mathbf r nbsp radius vektor chastki a p displaystyle mathbf p nbsp yiyi impuls Pri perehodi do kvantovoyi mehaniki provodyat zaminu impulsu na kvantovomehanichij operator impulsu i ℏ displaystyle i hbar nabla nbsp Todi komponenti operatora kilkosti ruhu mayut nastupnu formu L x i ℏ y z z y displaystyle hat L x i hbar left y frac partial partial z z frac partial partial y right nbsp L y i ℏ z x x z displaystyle hat L y i hbar left z frac partial partial x x frac partial partial z right nbsp L z i ℏ x y y x displaystyle hat L z i hbar left x frac partial partial y y frac partial partial x right nbsp Viznacheni takim chinom operatori ye ermitovimi Komutacijni spivvidnoshennya RedaguvatiKomponenti operatora kutovogo momentu zadovilnyayut nastupnim komutacijnim spivvidnoshennyam L x L y i ℏ L z displaystyle left hat L x hat L y right i hbar hat L z nbsp L y L z i ℏ L x displaystyle left hat L y hat L z right i hbar hat L x nbsp L z L x i ℏ L y displaystyle left hat L z hat L x right i hbar hat L y nbsp Oskilki voni ne komutuyut mizh soboyu to zgidno iz principom neviznachenosti ne mozhut buti vimiryani odnochasno Yaksho vidome tochne znachennya odnogo z nih to neviznachenist dvoh inshih bude absolyutnoyu Vlasni funkciyi ta vlasni znachennya RedaguvatiZ oglyadu na nekomutativnist komponent voni ne mayut spilnih vlasnih funkcij V sferichnij sistemi koordinat najprostishij viglyad maye komponenta L z displaystyle L z nbsp tozh zdebilshogo shukayut yiyi vlasni funkciyi Vlasnimi funkciyami komponenti L z displaystyle L z nbsp ye kompleksni eksponenti vidu e i m f displaystyle e im varphi nbsp de m cile chislo yake probigaye znachennya vid displaystyle infty nbsp do displaystyle infty nbsp L z e i m f i ℏ f e i m f ℏ m e i m f displaystyle hat L z e im varphi i hbar frac partial partial varphi e im varphi hbar me im varphi nbsp Vlasni znachennya operatora L z displaystyle hat L z nbsp dorivnyuyut ℏ m displaystyle hbar m nbsp Chislo m nazivayetsya magnitnim kvantovim chislom Taka nazva zumovlena tim sho vpershe magnitne kvantove chislo vveli dlya interpretaciyi rozsheplennya spektralnih linij u magnitnomu poli Zeemanivske rozsheplennya Operator kvadrata kutovogo momentu RedaguvatiVazhlive znachennya u kvantovij mehanici posidaye operator kvadrata kutovogo momentu L 2 L x 2 L y 2 L z 2 displaystyle hat mathbf L 2 hat L x 2 hat L y 2 hat L z 2 nbsp V sferichni sistemi koordinat vin maye viglyad L 2 ℏ 2 1 sin 8 8 sin 8 8 1 sin 2 8 2 f 2 displaystyle hat mathbf L 2 hbar 2 left frac 1 sin theta frac partial partial theta sin theta frac partial partial theta frac 1 sin 2 theta frac partial 2 partial varphi 2 right nbsp Cej operator komutuye z bud yakoyu z komponent operatora kutovogo momentu Vlasni funkciyi ta vlasni znachennya operatora kvadrata kutovogo momentu RedaguvatiZavdyaki komutativnosti operatora kvadrata kutovogo momentu L 2 displaystyle hat mathbf L 2 nbsp iz L z displaystyle hat L z nbsp ci dva operatori mayut spilnu sistemu vlasnih funkcij Kvadrat kutovogo momentu mozhe buti viznachenimi odnochasno iz z voyu komponentoyu Vlasnimi funkciyami operatora kvadrata kutovogo momentu ye sferichni garmoniki Y l m 8 f displaystyle Y l m theta varphi nbsp Vlasni znachennya operatora kvadrata kutovogo momentu dorivnyuyut ℏ 2 l l 1 displaystyle hbar 2 l l 1 nbsp de l cile chislo yake probigaye znachennya vid nulya do neskinchenosti Ce kvantove chislo nazivayetsya orbitalnim kvantovim chislom L 2 Y 8 f ℏ 2 l l 1 Y 8 f displaystyle hat mathbf L 2 Y theta varphi hbar 2 l l 1 Y theta varphi nbsp Iz teoriyi sferichnih garmonik vidomo sho magnitne kvantove chislo m za absolyutnoyu velichinoyu ne mozhe buti bilshim za l Tomu kozhnomu orbitalnomu kvantovomu chislu l vidpovidaye 2l 1 riznih magnitnih kvantovih chisla m l l 1 l 1 l Div takozh RedaguvatiSpin Matrici Pauli Sferichni garmoniki Operator povnogo momentuDzherela RedaguvatiVakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Bidenharn L Lauk Dzh Uglovoj moment v kvantovoj fizike Teoriya i prilozheniya M Mir 1984 T 1 302 s Blohincev D I Osnovy kvantovoj mehaniki M Nauka 1976 664 s Boum A Kvantovaya mehanika osnovy i prilozheniya M Mir 1990 720 s Varshalovich D A Moskalev A N Hersonskij V K Kvantovaya teoriya uglovogo momenta L Nauka 1975 441 s Zar R Teoriya uglovogo momenta O prostranstvennyh effektah v fizike i himii M Mir 1993 352 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Operator kutovogo momentu amp oldid 39623854