www.wikidata.uk-ua.nina.az

Гармонічний осцилятор Гармоні чний осциля тор система у класичній механіці яка при зміщенні із положення рівноваги під д

Гармонічний осцилятор

Гармоні́чний осциля́тор — система (у класичній механіці), яка при зміщенні із положення рівноваги під дією певної сили (чи суперпозиції сил), повертається у попереднє положення під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку механічних коливань):

Коливання помаранчевого квадрата

де  — додатня константа, що описує жорсткість системи.

Якщо  — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим або консервативним гармонійним осцилятором. Вільні коливання такої системи є періодичний рух біля положення рівноваги (гармонійні коливання). Частота і амплітуда при цьому постійні, причому частота не залежить від амплітуди.

Якщо є ще й сила тертя (відбувається згасання коливань), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), то таку систему називають згасаючим або дисипативним осцилятором. Якщо тертя не дуже велике, то система робить майже періодичний рух — синусоїдальні коливання з постійною частотою і експоненціально спадною амплітудою. Частота вільних коливань згасаючого осцилятора виявляється дещо нижче, ніж у аналогічного осцилятора без тертя.

Якщо осцилятор існує сам по собі, то кажуть, що він робить вільні коливання. Якщо ж є зовнішня сила (що залежить від часу), то говорять, що осцилятор виконує вимушені коливання.

Також, можна дати еквівалентне означення гармонічному осцилятору — це фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням

де  — узагальнена координата гармонічного осцилятора,  — час,  — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор відіграє центральну роль як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Велика кількість фізичних систем ведуть себе як гармонічні осцилятори при малому відхиленні від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах. Серед прикладів, варто виділити електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад ліфти, електронні системи у автомобілях, комп'ютери, акустичні системи, кавоварки).

Гармонічний осцилятор у класичній фізиці Редагувати

Малі коливання маятника є гармонічними

Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона Редагувати

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

Відповідно, вважаючи величину узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцлятора записується

Узагальнений імпульс

Функція Гамільтона

Вимушені коливання Редагувати

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою під дією сили з частотою описуються рівнянням

де  — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою . При амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.


Гармонічний осцилятор із згасанням коливань Редагувати

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини . Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із згасанням Редагувати

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів Редагувати

Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою

де g — прискорення вільного падіння, l — дожина маятника.

Тіло масою m на пружині із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою

Коливальний контур є гармонічним осцилятором, із частотою

де L — індуктивність, C — ємність.

Гармонічний осцилятор у квантовій механіці Редагувати

Детальніше див. Квантовий осцилятор.

Спектр власних значень і власні функції Редагувати

Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу на

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

Тут  — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу задаються формулами

де , а  — поліноми Ерміта.

При парному власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни на (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.

Оператори народження та знищення Редагувати

Якщо визначити оператор народження

та оператор знищення

то

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

Оператор

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

Правила відбору Редагувати

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою .

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т. д.

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.
  • Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа. , 415 с.
  • Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Garmoni chnij oscilya tor sistema u klasichnij mehanici yaka pri zmishenni iz polozhennya rivnovagi pid diyeyu pevnoyi sili chi superpoziciyi sil povertayetsya u poperednye polozhennya pid diyeyu zvorotnoyi sili proporcijnoyi zmishennyu napriklad za zakonom Guka u vipadku mehanichnih kolivan Kolivannya pomaranchevogo kvadrata F k x displaystyle F kx de k displaystyle k dodatnya konstanta sho opisuye zhorstkist sistemi Yaksho F displaystyle F yedina sila sho diye na sistemu to sistemu nazivayut prostim abo konservativnim garmonijnim oscilyatorom Vilni kolivannya takoyi sistemi ye periodichnij ruh bilya polozhennya rivnovagi garmonijni kolivannya Chastota i amplituda pri comu postijni prichomu chastota ne zalezhit vid amplitudi Yaksho ye she j sila tertya vidbuvayetsya zgasannya kolivan proporcijna shvidkosti ruhu v yazke tertya to taku sistemu nazivayut zgasayuchim abo disipativnim oscilyatorom Yaksho tertya ne duzhe velike to sistema robit majzhe periodichnij ruh sinusoyidalni kolivannya z postijnoyu chastotoyu i eksponencialno spadnoyu amplitudoyu Chastota vilnih kolivan zgasayuchogo oscilyatora viyavlyayetsya desho nizhche nizh u analogichnogo oscilyatora bez tertya Yaksho oscilyator isnuye sam po sobi to kazhut sho vin robit vilni kolivannya Yaksho zh ye zovnishnya sila sho zalezhit vid chasu to govoryat sho oscilyator vikonuye vimusheni kolivannya Takozh mozhna dati ekvivalentne oznachennya garmonichnomu oscilyatoru ce fizichnij ob yekt evolyuciya yakogo z chasom opisuyetsya diferencialnim rivnyannyam q t w 2 q t 0 displaystyle ddot q t omega 2 q t 0 de q displaystyle q uzagalnena koordinata garmonichnogo oscilyatora t displaystyle t chas w displaystyle omega harakterna chastota garmonichnogo oscilyatora Dvi krapki nad zminnoyu oznachayut drugu pohidnu za chasom Velichina q displaystyle q zdijsnyuye garmonichni kolivannya Zadacha pro garmonichnij oscilyator vidigraye centralnu rol yak u klasichnij tak i u kvantovij fizici Velika kilkist fizichnih sistem vedut sebe yak garmonichni oscilyatori pri malomu vidhilenni vid rivnovagi Do nih nalezhat matematichnij mayatnik z malimi kutami vidhilennya fizichnij ta torsionnij mayatniki vantazh na pruzhini kolivannya atomiv u molekulah i tverdih tilah Sered prikladiv varto vidiliti elektrichni kolivalni konturi oskilki z nimi mi stikayemosya u suchasnomu zhitti povsyakchas ce majzhe vsi elektrotehnichni priladi z yakimi mi znajomi led ne vid narodzhennya napriklad lifti elektronni sistemi u avtomobilyah komp yuteri akustichni sistemi kavovarki Zmist 1 Garmonichnij oscilyator u klasichnij fizici 1 1 Energiya funkciya Lagranzha ta Gamiltona 1 2 Vimusheni kolivannya 1 3 Garmonichnij oscilyator iz zgasannyam kolivan 1 4 Vimusheni kolivannya garmonichnogo oscilyatora iz zgasannyam 2 Formuli dlya rozrahunku chastot garmonichnih oscilyatoriv 3 Garmonichnij oscilyator u kvantovij mehanici 3 1 Spektr vlasnih znachen i vlasni funkciyi 3 2 Operatori narodzhennya ta znishennya 3 3 Pravila vidboru 4 Div takozh 5 DzherelaGarmonichnij oscilyator u klasichnij fizici Redaguvati nbsp Mali kolivannya mayatnika ye garmonichnimiEnergiya funkciya Lagranzha ta Gamiltona Redaguvati Kinetichna energiya garmonichnogo oscilyatora zadayetsya virazom K m 2 q 2 displaystyle K frac m 2 dot q 2 nbsp Potencialna energiya garmonichnogo oscilyatora zadayetsya virazom U m w 2 q 2 2 displaystyle U frac m omega 2 q 2 2 nbsp Vidpovidno vvazhayuchi velichinu q displaystyle q nbsp uzagalnenoyu koordinatoyu funkciya Lagranzha garmonichnogo osclyatora zapisuyetsya L m q 2 2 m w 2 q 2 2 displaystyle mathcal L frac m dot q 2 2 frac m omega 2 q 2 2 nbsp Uzagalnenij impuls p L q q displaystyle p frac partial mathcal L partial dot q dot q nbsp Funkciya Gamiltona H p 2 2 m m w 2 q 2 2 displaystyle mathcal H frac p 2 2m frac m omega 2 q 2 2 nbsp Vimusheni kolivannya Redaguvati Pid diyeyu zovnishnoyi periodichnoyi sili iz chastotoyu yaka ne obov yazkovo zbigayetsya iz vlasnoyu chastotoyu garmonichnogo oscilyatora oscilyator zdijsnyuye garmonichni kolivannya aplituda yakih viznachayetsya velichinoyu zovnishnoyi sili i spivvidnoshennyam zovnishnoyi chastoti j vlasnoyi chastoti oscilyatora Vimusheni kolivannya garmonichnogo oscilyatora iz chastotoyu w 0 displaystyle omega 0 nbsp pid diyeyu sili z chastotoyu w displaystyle omega nbsp opisuyutsya rivnyannyam q w 0 2 q f 0 cos w t f displaystyle ddot q omega 0 2 q f 0 cos omega t varphi nbsp de f 0 displaystyle f 0 nbsp amplituda zovnishnoyi sili Chastinnij rozv yazok cogo rivnyannya yakij opisuye vimusheni kolivannya maye viglyad q f 0 w 0 2 w 2 cos w t f displaystyle q frac f 0 omega 0 2 omega 2 cos omega t varphi nbsp Garmonichnij oscitor pid diyeyu zovnishnoyi sili zdijsnyuye garmonichni kolivannya z amplitudoyu f 0 w 0 2 w 2 displaystyle f 0 omega 0 2 omega 2 nbsp Pri w w 0 displaystyle omega rightarrow omega 0 nbsp amplituda vimushenih kolivan pryamuye do neskinchenosti Ce yavishe nazivayetsya rezonansom Garmonichnij oscilyator iz zgasannyam kolivan Redaguvati Pri vrahuvanni sil tertya chi suprotivu inshogo rodu yakij prizvodit do disipaciyi energiyi oscilyatora j peretvorenni yiyi v teplo rivnyannya garmonichnogo oscilyatora zminyuyutsya Zokrema duzhe poshirenij vipadok koli sili suprotivu proporcijni shvidkosti zmini velichini q displaystyle q nbsp Todi rivnyannya garmonichnogo oscilyatora nabiraye viglyadu q g q w 2 q 0 displaystyle ddot q gamma dot q omega 2 q 0 nbsp Taki kolivannya zatuhayut iz chasom zgidno iz zakonom q q 0 e g t cos w t f displaystyle q q 0 e gamma t cos omega t varphi nbsp Vimusheni kolivannya garmonichnogo oscilyatora iz zgasannyam Redaguvati Pri diyi periodichnoyi zovnishnoyi sili navit pri zatuhanni dlya oscilyatora vstanovlyuyutsya garmonichni kolivannya iz amplitudoyu yaka zalezhit vid prikladenoyi sili spivvidnoshennya chastot a takozh vid velichini zatuhannya Amplituda vimushenih kolivan iz vrahuvannyam zatuhannya viznachayetsya formuloyu q 0 f 0 w 0 2 w 2 w 0 2 w 2 2 g 2 w 2 displaystyle q 0 frac f 0 omega 0 2 omega 2 omega 0 2 omega 2 2 gamma 2 omega 2 nbsp Ce skinchenna velichina pri vsih chastotah zovnishnoyi sili Formuli dlya rozrahunku chastot garmonichnih oscilyatoriv RedaguvatiMatematichnij mayatnik pri nevelikomu pochatkovomu vidhilenni vid vertikali zdijsnyuye garmonichni kolivannya z chastotoyu w g l displaystyle omega sqrt frac g l nbsp de g priskorennya vilnogo padinnya l dozhina mayatnika Tilo masoyu m na pruzhini iz zhorstkistyu k ye garmonichnim oscilyatorom z chastotoyu w k m displaystyle omega sqrt frac k m nbsp Kolivalnij kontur ye garmonichnim oscilyatorom iz chastotoyu w 1 L C displaystyle omega frac 1 sqrt LC nbsp de L induktivnist C yemnist Garmonichnij oscilyator u kvantovij mehanici RedaguvatiDetalnishe div Kvantovij oscilyator Spektr vlasnih znachen i vlasni funkciyi Redaguvati nbsp Hvilovi funkciyi pershih shesti staniv iz kvantovimi chislami vid n 0 do 5 Na osi ordinat vidkladena uzagalnena koordinataGamiltonian garmonichnogo oscilyatora otrimuyetsya zaminoyu u funkciyi Gamiltona impulsu p displaystyle p nbsp na i ℏ d d q displaystyle i hbar frac d dq nbsp H ℏ 2 2 d 2 d q 2 1 2 w 2 q 2 displaystyle hat H frac hbar 2 2 frac d 2 dq 2 frac 1 2 omega 2 q 2 nbsp Spektr garmonichnogo oscilyatora znahoditsya iz stacionarnogo rivnyannya Shredingera j zadayetsya formuloyu E n ℏ w n 1 2 displaystyle E n hbar omega left n frac 1 2 right nbsp Tut n displaystyle n nbsp kvantove chislo yake probigaye znachennya vid nulya do neskinchenosti Energetichni rivni garmonichnogo oscilyatora ekvidistantni Harakternoyu osoblivistyu garmonichnogo oscilyatora ye te sho navit u osnovnomu stani garmonichnij oscilyator maye vidminnu vid nulya energiyu E 0 1 2 ℏ w displaystyle E 0 frac 1 2 hbar omega nbsp Cya najnizhcha energiya nazivayetsya energiyeyu nulovih kolivan Vlasni funkciyi garmonichnogo oscilyatora yaki vidpovidayut kvantovomu chislu n displaystyle n nbsp zadayutsya formulami ps n e x 2 2 H n x displaystyle psi n e x 2 2 H n x nbsp de x q w ℏ displaystyle x q sqrt omega hbar nbsp a H n x displaystyle H n x nbsp polinomi Ermita Pri parnomu n displaystyle n nbsp vlasni funkciyi garmonichnogo oscilyatora parni pri nepranomu neparni Gamiltonian garmonichnogo oscilyatora komutuye iz operatorom zamini x displaystyle x nbsp na x displaystyle x nbsp operatorom parnosti a tomu maye spilni vlasni funkciyi z cim operatorom Operatori narodzhennya ta znishennya Redaguvati Yaksho viznachiti operator narodzhennya a 1 2 ℏ w w q i p displaystyle hat a frac 1 sqrt 2 hbar omega omega q i hat p nbsp ta operator znishennya a 1 2 ℏ w w q i p displaystyle hat a frac 1 sqrt 2 hbar omega omega q i hat p nbsp to H ℏ w a a 1 2 displaystyle hat H hbar omega left hat a hat a frac 1 2 right nbsp Operatori narodzhennya ta znishennya zadovilnyayut komutacijnomu spivvidnoshennyu a a a a 1 displaystyle hat a hat a hat a hat a 1 nbsp Vlasni funkciyi garmonichnogo oscilyatora todi mayut viglyad ps n n a n ps 0 displaystyle psi n sqrt n hat a n psi 0 nbsp abo vikoristovuyuchi notaciyu ket i bra vektoriv n gt n a n 0 displaystyle n gt sqrt n hat a n 0 rangle nbsp Zagalom diya operatora narodzhennya na garmonijnij operator u stani n gt prizvodit do perehodu v stan n 1 gt a n gt n 1 n 1 displaystyle hat a n gt sqrt n 1 n 1 rangle nbsp Diya operatora znishennya na stan n gt prizvodit do perehodu v stan n 1 gt a n gt n n 1 displaystyle hat a n gt sqrt n n 1 rangle nbsp Operator N a a displaystyle hat N hat a hat a nbsp nazivayut operatorom chisla chastinok oskilki dlya nogo spravedlive spivvidnoshennya N n gt n n displaystyle hat N n gt n n rangle nbsp Pravila vidboru Redaguvati Pri viprominyuvanni chi poglinanni fotona dozvolenimi perehodami dlya garmonichnogo oscilyatora ye taki pri yakih kvantove chislo n zminyuyetsya na odinicyu Vrahovuyuchi ekvidistantnist rivniv ce pravilo vidboru prizvodit do togo sho nezvazhayuchi na neskinchenne chislo rivniv u spektri optichnogo poglinannya chi viprominyuvannya garmonichnogo oscilyatora ye lishe odna liniya z chastotoyu w displaystyle omega nbsp U realnih kolivnih spektrah molekul mozhlivi vidhilennya vid cogo pravila zumovleni angarmonichnistyu realnogo potencialu mizhatomnoyi vzayemodiyi kvadrupolnimi perehodami i t d Div takozh RedaguvatiGarmonichni kolivannya Normalni kolivannya Oscilyator LorencaDzherela RedaguvatiFedorchenko A M 1975 Teoretichna mehanika Kiyiv Visha shkola 516 s Fedorchenko A M 1993 Teoretichna fizika Kvantova mehanika termodinamika i statistichna fizika T 2 Kiyiv Visha shkola 415 s Yuhnovskij I R 2002 Osnovi kvantovoyi mehaniki Kiyiv Libid Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Garmonichnij oscilyator amp oldid 39852558