Механіка Лагранжа

Меха́ніка Лагра́нжа — одне з аналогічних до законів Ньютона формулювань класичної механіки, що використовує принцип стаціонарної дії Гамільтона — Остроградського. Лагранжева механіка застосовується до систем, в яких так чи інакше зберігається енергія або імпульс, і визначає умови зберігання енергії або імпульсу. Була запропонована французько-італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем у 1788 році.

У механіці Лагранжа траєкторія визначається розв'язком однієї з двох форм рівнянь Лагранжа: рівняння Лагранжа I роду, яке явно враховує зв'язки, використовуючи додаткові рівняння (зазвичай із використанням множників Лагранжа), або рівняння Лагранжа II роду, що враховує зв'язки за допомоги розумного вибору узагальнених координат. За основною лемою варіаційного числення розв'язок рівнянь Лагранжа еквівалентний до знаходження траєкторії, що залишає стаціонарним функціонал дії (інтеграл за часом від функції Лагранжа).

Використання узагальнених координат може значно спростити розв'язок рівнянь механіки, зокрема при розгляді систем із зв'язками. Розглянемо як приклад рух кульки у жолобі без тертя. Якщо розглядати кульку як матеріальну точку, то для визначення її руху необхідно розв'язати рівняння ньютонівської механіки для змінної у часі сили реакції зв'язків, яка утримує кульку в жолобі. В механіці Лагранжа розглядається безпосередньо траєкторія жолоба й обирається набір незалежних узагальнених координат, який повністю визначає можливий рух кульки. Такий вибір координат усуває потребу у використанні сили реакції зв'язків у остаточній системі механічних рівнянь. Таким чином, завдяки виключенню з рівнянь явного врахування реакції жолоба на кульку остаточна кількість рівнянь зменшується.

Фундаментальні поняття

Узагальнені координати

Термінологія й концепція

Для окремої частинки, що знаходиться під дією зовнішніх сил, можна отримати за другим законом Ньютона систему трьох диференціальних рівнянь другого порядку, по одному для кожного виміру. Отже, рух такої частинки повністю визначатиметься шістьма незалежними змінними: трьома початковими координатами й трьома початковими швидкостями. Враховуючи це, зрозуміло, що загальні розв'язки рівнянь Ньютона перетворюються на частинні розв'язки, що визначають часову еволюцію частинки з початкового стану (t = 0).

Стандартним набором змінних, що визначають положення і швидкість , є декартові координати та їхні часові похідні і відповідно). Визначення сил у термінах стандартних координат, взагалі кажучи, доволі тяжке.

Інший, більш ефективний підхід — використання лише такої кількості координат, яка потрібна для визначення положення частинки в просторі, враховуючи накладені на неї зв'язки і записуючи потенціальну й кінетичну енергії (іншими словами, визначається кількість ступенів вільності частинки). Енергії легше записувати і розраховувати, ніж сили, оскільки енергія є скалярною величиною, на відміну від сили, яка є величиною векторною.

Подібні координати мають назву узагальнених координат і позначаються , кожна узагальнена координата відповідає одній ступені вільності. Відповідні часові похідні є узагальненими швидкостями . Кількість ступенів вільності не завжди відповідає розмірності простору: наприклад, системи багатьох тіл у тривимірному просторі (наприклад, маятник Бартона, планети у Сонячній системі, атоми в молекулах) можуть мати окрім поступальних ще й обертальні ступені вільності. Така кількість ступенів вільності різко контрастує з кількістю просторових координат у ньютонівських рівняннях.

Математичне формулювання

Радіус-вектор у деякій стандартній системі координат (декартовій, сферичній і т. д.) зв'язаний із узагальненими координатами трансформаційним рівнянням:

де N — кількість ступенів вільності системи. Аналогічне рівняння зв'язує швидкість у стандартній системі координат і узагальнені швидкості.

Візьмемо як ілюстрацію маятник довжиною l. Легко бачити, що на таку систему накладається зв'язок у вигляді нитки або стрижня, що закріплюють висок маятника. Положення виска залежить від координат x і y в момент часу t, тобто, , але окрім того координати x і y зв'язані між собою рівнянням в'язі (тому при зміні x змінюється y і навпаки). Отже, розумним вибором узагальненої координати буде кут відхилення маятника від рівноваги θ, тож , причому , що відповідає одній ступені вільності маятника. Тоді трансформаційне рівняння для радіус-вектора матиме вигляд:

а для швидкості:

У загальному випадку N узагальнених координат зв'язуються із системою n частинок за допомоги системи трансформаційних рівнянь:

Вираз для віртуального переміщення для системи з незалежними від часу зв'язками є повним диференціалом:

Отже, узагальнені координати формують дискретний набір змінних, що визначають конфігурацію системи. Поширюючи подібний набір на континуум, можна отримати польові змінні, наприклад, , що являє собою залежну від положення й часу функцію густини поля.

Принцип д'Аламбера — Лагранжа й узагальнені сили

Принцип д'Аламбера — Лагранжа вводить поняття віртуальної роботи зовнішніх сил та сил інерції у тривимірній системі n частинок, рух яких узгоджений із накладеними зв'язками. Віртуальна робота з віртуального переміщення (узгодженого із зв'язками) частинки масою дорівнює:

Принцип д'Аламбера — Лагранжа

де  — прискорення j-ї частинки. У термінах узагальнених координат:

Можна показати, що прикладені сили можна виразити через узагальнені сили , продиференціювавши віртуальну роботу за :

Якщо сили консервативні, то можна ввести скалярний потенціал , градієнт якого дорівнює тій самій силі:

Тобто, узагальнені сили можна звести до скалярного потенціалу в термінах узагальнених координат. Цього слід було очікувати, оскільки потенціал є функцією координат , які в свою чергу залежать від узагальнених координат. Тому, використовуючи правило диференціювання складної функції, легко отримати попередній результат.

Співвідношення для кінетичної енергії

Кінетична енергія для системи n частинок визначається таким чином:

Запишемо частинні похідні від за узагальненими координатами й узагальненими швидкостями :

Оскільки і є незалежними, то виконується таке співвідношення:

тоді:

Візьмемо від цього виразу повну похідну за часом:

Остаточно маємо таке рівняння:

Узагальнене рівняння руху

Це важливе рівняння, оскільки воно вже містить закони Ньютона, але вже немає потреби знаходити сили реакції зв'язків, оскільки в рівнянні використовуються віртуальна робота й узагальнені координати, які залежать від зв'язків. На практиці це рівняння використовується нечасто, але воно грає важливу роль при виведенні рівнянь Лагранжа.

Функція Лагранжа і функціонал дії

Основою лагранжевої механіки є функція Лагранжа (лагранжіан), яка зберігає всю інформацію про динаміку системи у вигляді дуже простого виразу. Так, для дослідження динаміки системи обирається набір відповідних узагальнених координат, визначаються кінетична й потенціальна енергії складових елементів системи, далі записується функція Лагранжа, що визначається таким чином:

де  — повна кінетична енергія системи,  — повна потенціальна енергія системи.

Іншим важливим поняттям лагранжевої механіки є дія , що визначається як інтеграл за часом від функції Лагранжа:

Дія також зберігає інформацію про динаміку системи й має велике значення в теоретичній фізиці. З математичної точки зору дія — це функціонал: її значення залежить від повної функції Лагранжа для будь-якого моменту часу між t₁ і t₂. Розмірність дії збігається з розмірністю кутового моменту.

У теорії поля функція Лагранжа записується через густину лагранжіану:

тоді дія матиме такий вигляд:

Принцип стаціонарної дії Гамільтона — Остроградського

Нехай q₀ і q₁ — координати у початковий та кінцевий моменти часу t₀ і t₁. За допомоги варіаційного числення можна показати, що рівняння Лагранжа є прямим наслідком принципу Гамільтона — Остроградського:

Під стаціонарністю мається на увазі незмінність першої варіації функціонала дії при малих змінах траєкторії, кінці якої (q₀, t₀) й (q₁, t₁) фіксовані. В математичній формі принцип Гамільтона — Остроградського записується так:

Таким чином, замість розглядання частинок, що прискорюються внаслідок прикладання до них деяких сил, можна розглядати частинки, що рухаються за деякою траєкторією, що залишає стаціонарним функціонал дії. Принцип Гамільтона — Остроградського часто пов'язують із принципом найменшої дії, хоча функціонал дії має залишатися лише стаціонарним, необов'язково мінімальним чи максимальним. Наприклад, якщо розглядати гармонічний осцилятор для більшого за період проміжку часу, можна помітити, що для малих ділянок траєкторії значення дії може бути мінімальним, тоді як для великих — максимальним.

Принцип стаціонарної дії може використовуватися замість законів Ньютона як фундаментальний принцип механіки, що дозволяє будувати механіку на основі інтегрального принципа замість диференціального (який складають закони Ньютона, що базуються на диференціальних рівняннях). Але слід зазначити, що принцип Гамільтона — Остроградського працює як варіаційний принцип лише для голономних зв'язків (тобто, таких зв'язків, що можна виразити у вигляді рівності типу ). Для неголономних зв'язків прнинцип Гамільтона — Остроградського необхідно замінити варіаційними принципом, що ґрунтується на принципі д'Аламбера — Лагранжа для віртуальної роботи. Розгляд лише голономних зв'язків — ціна, яку ми платимо за використання елегантного варіаційного формулювання механіки.

Рівняння Лагранжа першого роду

Лагранж запропонував і використав у механіці наступний аналітичний метод пошуку стаціонарних точок за допомогою методу невизначених множників. Отже, нехай на систему накладений зв'язок, що визначаються таким рівнянням:

де A — константа. Тоді можна ввести рівняння Лагранжа першого роду, що виглядає таким чином:

де λ — невизначений множник Лагранжа. Використовуючи варіаційну похідну від функції Лагранжа, можна переписати рівняння так:

Для m рівнянь зв'язків f_α існують множники Лагранжа для кожного з цих рівнянь, тож рівняння Лагранжа першого роду можна узагальнити таким чином:

Рівняння Лагранжа (першого роду)

Подібна процедура збільшує кількість рівнянь, але їх достатньо для знаходження усіх множників Лагранжа. Повна кількість рівнянь складається з кількості рівнянь зв'язків та кількості координат, тобто m + n. Перевага такого методу полягає у можливості оминути іноді доволі складну заміну змінних, що зв'язані рівняннями в'язів.

Існує зв'язок між рівняннями в'язів f_α та силами їх реакції N_α, що діють у консервативній системі (тобто, сили є консервативними):

тоді, використовуючи узагальнене рівняння руху в термінах кінетичної енергії:

Для консервативних систем:

тому:

Тоді:

звідки легко бачити, що:

Використовуючи рівняння Лагранжа першого роду, остаточно маємо:

Отже, кожне рівняння зв'язку відповідає силі зв'язку (в консервативній системі).