www.wikidata.uk-ua.nina.az

Інтеграл вздовж траєкторій математичний оператор який використовується у Фейнмановому формулюванні квантової механіки Іл

Інтеграл вздовж траєкторій

Інтеграл вздовж траєкторій — математичний оператор, який використовується у Фейнмановому формулюванні квантової механіки.

Ілюстрація дерева шляхів, які ведуть з точки A в точку B

Формальне визначення інтегралу вздовж траєкторій дається формулою

де , — множина всіх траєкторій, які сполучають початкову точку та кінцеву точку , m — маса квантової частинки, — зведена стала Планка.

Постулатом Фейманового формулювання квантової механіки є те, що пропагатор задається інтегралом вздовж траєкторій:

де — класична дія.

Якісна інтерпретація Редагувати

На відміну від звичайного інтеграла, в якому підсумовуються значення функції на відрізку, в інтегралі вздовж траєкторій підсумовуються значення функції вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову й кінцеву точку. В рамках Фейнманового формулювання квантової механіки такий інтеграл визначає амплітуду ймовірності того, що квантова частинка переміститься з початкової точки в кінцеву.

Якщо в класичній механіці реалізується та з траєкторій, якій відповідає найменше значення дії, то в квантовій механіці свій вклад в ймовірність переходу частинки з однієї точки в іншу вносять усі можливі криві, які сполучають ці точки. Оскільки в квантовій механіці визначається не ймовірність переходу, а амплітуда ймовірності, то внески різних траєкторій інтерферують.

Інтеграл вздовж траєкторій у фазовому просторі Редагувати

Квантову механіку можна сформулювати через інтеграли вздовж траєкторій, використовуючи також канонічні змінні — координату та імпульс. Пропагатор частинки задається при такому підході через співвідношення:

де — функція Гамільтона.

Інтегрування проводиться вздовж усіх траєкторій у фазовому просторі із фіксованим значенням координати в початковій та кінцевій точках.

Статистична механіка Редагувати

В квантовій статистичній механіці зележна від температури матриця густини задовольняє рівнянню

де , — стала Больцмана.

Формальний розв'язок цього рівняння

Статистична сума дорівнює сліду від матриці густини

Вводячи умовний «час» , де — зведена стала Планка, і розбиваючи інтервал [0, U] на дрібні інтервали, можна записати

розглядаючи всі можливі траєкторії, якими система може переміститися з початкового стану при нескінченно високій температурі в кінцевий стан при температурі, що визначається значенням U.

Історія Редагувати

Формулювання квантової механіки через інтеграли вздовж траєкторій розробив у 1948 році Річард Фейнман.


Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

Література Редагувати

  • Вакарчук І.О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І.Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
  • Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике. — М. : Физматлит, 2010. — 360 с.
  • Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М. : Мир, 1968. — 384 с.
  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Integral vzdovzh trayektorij matematichnij operator yakij vikoristovuyetsya u Fejnmanovomu formulyuvanni kvantovoyi mehaniki Ilyustraciya dereva shlyahiv yaki vedut z tochki A v tochku BFormalne viznachennya integralu vzdovzh trayektorij dayetsya formuloyu W t 0 t D q t lim n e 0 m 2 p i ℏ e n 1 2 d q 1 d q n displaystyle int limits W t 0 t ldots D q t lim limits n rightarrow infty varepsilon rightarrow 0 left frac m 2 pi i hbar varepsilon right n 1 2 int limits infty infty dots int limits infty infty ldots dq 1 ldots dq n de e n 1 t t 0 displaystyle varepsilon n 1 t t 0 W t 0 t displaystyle W t 0 t mnozhina vsih trayektorij yaki spoluchayut pochatkovu tochku q 0 t 0 displaystyle q 0 t 0 ta kincevu tochku q t displaystyle q t m masa kvantovoyi chastinki ℏ displaystyle hbar zvedena stala Planka Postulatom Fejmanovogo formulyuvannya kvantovoyi mehaniki ye te sho propagator zadayetsya integralom vzdovzh trayektorij K q t q 0 t 0 W t 0 t exp i ℏ S q t 0 t D q t displaystyle K qt q 0 t 0 int limits W t 0 t exp left frac i hbar S q cdot t 0 t right D q t de S q t 0 t displaystyle S q cdot t 0 t klasichna diya Zmist 1 Yakisna interpretaciya 2 Integral vzdovzh trayektorij u fazovomu prostori 3 Statistichna mehanika 4 Istoriya 5 LiteraturaYakisna interpretaciya RedaguvatiNa vidminu vid zvichajnogo integrala v yakomu pidsumovuyutsya znachennya funkciyi na vidrizku v integrali vzdovzh trayektorij pidsumovuyutsya znachennya funkciyi vzdovzh usih mozhlivih krivih yaki spoluchayut pochatkovu j kincevu tochku V ramkah Fejnmanovogo formulyuvannya kvantovoyi mehaniki takij integral viznachaye amplitudu jmovirnosti togo sho kvantova chastinka peremistitsya z pochatkovoyi tochki v kincevu Yaksho v klasichnij mehanici realizuyetsya ta z trayektorij yakij vidpovidaye najmenshe znachennya diyi to v kvantovij mehanici svij vklad v jmovirnist perehodu chastinki z odniyeyi tochki v inshu vnosyat usi mozhlivi krivi yaki spoluchayut ci tochki Oskilki v kvantovij mehanici viznachayetsya ne jmovirnist perehodu a amplituda jmovirnosti to vneski riznih trayektorij interferuyut Integral vzdovzh trayektorij u fazovomu prostori RedaguvatiKvantovu mehaniku mozhna sformulyuvati cherez integrali vzdovzh trayektorij vikoristovuyuchi takozh kanonichni zminni koordinatu ta impuls Propagator chastinki zadayetsya pri takomu pidhodi cherez spivvidnoshennya K q t q 0 t 0 W t 0 t exp i ℏ t 0 t p q H q p d t D q t D p t displaystyle K qt q 0 t 0 int limits W t 0 t exp left frac i hbar int t 0 t p dot q mathcal H q p dt right D q t D p t nbsp de H displaystyle mathcal H nbsp funkciya Gamiltona Integruvannya provoditsya vzdovzh usih trayektorij u fazovomu prostori iz fiksovanim znachennyam koordinati v pochatkovij ta kincevij tochkah Statistichna mehanika RedaguvatiV kvantovij statistichnij mehanici zelezhna vid temperaturi matricya gustini zadovolnyaye rivnyannyu r b H r displaystyle frac partial hat rho partial beta hat H hat rho nbsp de b 1 k B T displaystyle beta frac 1 k B T nbsp k B displaystyle k B nbsp stala Bolcmana Formalnij rozv yazok cogo rivnyannya r b e b H r 0 displaystyle hat rho beta e beta hat H hat rho 0 nbsp Statistichna suma dorivnyuye slidu vid matrici gustini Z Sp r displaystyle Z text Sp hat rho nbsp Vvodyachi umovnij chas u b ℏ displaystyle u beta hbar nbsp de ℏ displaystyle hbar nbsp zvedena stala Planka i rozbivayuchi interval 0 U na dribni intervali mozhna zapisati r U W 0 U F u D u displaystyle hat rho U int limits W 0 U Phi u D u nbsp rozglyadayuchi vsi mozhlivi trayektoriyi yakimi sistema mozhe peremistitisya z pochatkovogo stanu pri neskinchenno visokij temperaturi v kincevij stan pri temperaturi sho viznachayetsya znachennyam U Istoriya RedaguvatiFormulyuvannya kvantovoyi mehaniki cherez integrali vzdovzh trayektorij rozrobiv u 1948 roci Richard Fejnman nbsp Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Literatura RedaguvatiVakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Zi E Kvantovaya teoriya polya v dvuh slovah Izhevsk RHD 2009 632 s Zinn Zhyusten Zh Kontinualnyj integral v kvantovoj mehanike M Fizmatlit 2010 360 s Fejnman R Hibs A Kvantovaya mehanika i integraly po traektoriyam M Mir 1968 384 s Simon B Functional Integration and Quantum Physics Academic Press 1979 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Integral vzdovzh trayektorij amp oldid 17627612