www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дія фізика Ця стаття містить правописні лексичні граматичні стилістичні або інші мовні помилки які треба виправити Ви мо

Дія (фізика)

Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. Ви можете допомогти вдосконалити цю статтю, погодивши її з чинними мовними стандартами.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Дія (значення).

Дія — фундаментальне фізичне поняття, функціонал із розмірністю [ енергія ]×[ час ] (Дж·с), що відповідає розмірності моменту кількості руху. Розмірність дії має фундаментальна фізична константа — стала Планка.

У фізиці принцип дії визначає природу руху, з якої може бути визначена траєкторія фізичної системи. Реальна траєкторія об'єкта, та, що приводить до постійних значень фізичної величини, яку називають дією. Таким чином, замість того, щоб думати про об'єкт, що прискорюється під дією прикладеної сили, можна думати про сили, що виділяють траєкторії зі стаціонарною дією. Цей принцип також називають принципом стаціонарної дії або принципом Гамільтона — Остроградського. Інше формулювання принципу як принципу найменшої дії є менш узагальненим і не завжди правильним.

Цей принцип — простий, загальний та потужний засіб для того, щоб передбачити рух у класичній механіці. Розширення принципу дії описують релятивістську механіку, квантову механіку, електрику та магнетизм.

Деякі використання принципу дії

Звичайно даний принцип еквівалентний законам Ньютона в класичній механіці, проте принцип дії краще підходить для узагальнень і відіграє важливу роль в сучасній фізиці. Дійсно, за допомогою даного принципу можна здійснити формулювання квантової механіки, що і було зроблено Річардом Фейнманом за допомогою інтегралів по траєкторіям. Останні базуються на принципі стаціонарної дії як класичної (тобто неквантової) межі. Використовуючи інтеграли по траєкторіям, рівняння Максвела можуть бути отриманими як умови стаціонарної дії.

Багато проблем в фізиці можуть бути представлені та розв'язані в формі принципу дії. Наприклад, світло знаходить найшвидший шлях через оптичну систему (принцип Ферма). Траєкторія руху тіла в полі тяжіння (тобто вільне падіння в просторі та часі, так звана геодезична) може бути знайдена шляхом використання принципу дії.

Симетрії в фізиці можна краще зрозуміти використовуючи принцип дії, разом з рівняннями Ейлера-Лагранжа, які отримані із принципу дії. Наприклад, теорема Нетер, яка стверджує, що кожній неперервній симетрії в фізичній ситуації відповідає певний закон збереження (вірне і обернене твердження). Цей глибокий зв'язок, проте вимагає визнання фундаментальності принципу дії.

В класичній механіці правильний вибір дії може бути виведений із законів руху Ньютона. І, навпаки, із принципу дії можна вивести рівняння руху у формі Ньютона, при правильному виборі дії. Таким чином, в класичній механіці принцип дії є еквівалентний рівнянням руху Ньютона. Використання принципу дії частіше швидше приводить до розв'язку задачі, ніж безпосереднє використання рівнянь Ньютона. Принцип дії — скалярна теорія, котра використовує елементарні обчислення з похідними.

Історія

Принцип найменшої дії був спершу сформульований Мопертюї в 1746 році і в подальшому розвивався Ейлером, Лагранжем та Гамільтоном.

Мопертюї прийшов до цього принципу із відчуття, що досконалість Всесвіту вимагає певної економії в Природі і суперечить будь-яким безкорисним витратам енергії. Природний рух повинен бути таким, щоб зробити деяку величину мінімальною. Необхідно тільки знайти цю величину, що він і продовжував робити протягом всього життя. Він вибрав як величину — добуток кінетичної енергії системи на тривалість (час).

Ейлер (в «Reflexions sur quelques loix generales de la nature», 1748) приймає принцип найменшої кількості руху, назвавши його «зусиллям». Його вираз відповідає тому, що ми сьогодні назвали б потенціальною енергією. Так що його твердження про найменшу кількість дії в статиці еквівалентне принципу, що система тіл в спокої приймає конфігурацію, котра мінімізує повну потенціальну енергію.

Принцип дії в класичній механіці

Рівняння руху Ньютона можна отримати багатьма способами, і тому механіка Н'ютона може бути аксіоматично сформульована по-різному. Один із способів — т.з. лагранжів формалізм, який також називають лагранжевою механікою. Якщо визначити траєкторію руху частки, як функцію часу t у вигляді x(t), зі швидкістю x′ (t), тоді функція Лагранжа — функція від цих величин і можливо, часу в явному вигляді:

Дія S — інтеграл від лагранжіану по часу між заданою точкою x(t1) в момент часу t1 та заданою кінцевою точкою x(t2) в момент часу t2

У лагранжевій механіці траєкторія об'єкта знаходиться за допомогою шляху, для якого інтеграл дії «S» є стаціонарним (мінімум або сідлова точка). Інтеграл дії — функціонал (функція, яка приймає значення на просторі функцій, в цьому разі «x» («t»)). Для системи з консервативними силами (сили, які можуть бути описані в термінах потенціалу, як гравітаційна сила, на відміну від сил тертя) вибір функції Лагранжа у вигляді: кінетична енергія мінус потенціальна енергія, приводить до правильних законів руху Ньютона (слід відзначити, що сума кінетичної та потенціальної енергій є повна енергія системи).

Рівняння Ейлера-Лагранжа для інтегралу дії

Стаціонарна точка інтегралу вздовж шляху еквівалентна диференційних рівнянь, названих рівняннями Ейлера-Лагранжа. Це можна показати наступним чином (розгляд одновимірного випадку). Узагальнення на баготовимірний випадок є тривіальним. Припустимо, що є інтеграл дії S з підінтегральною функцією L, який залежить від координат x(t) та їхніх похідних dx(t)/dt, по часу t:

Розглянемо другу криву x1(t), яка починається і закінчується в тих же точках, що і перша. Можна також припустити, що відстань між цими кривими є мала:

(t) = x1(t) — x(t). В початковій та кінцевій точках ми маємо (t1) = (t2) = 0.

Різниця між інтегралами по шляху «1» та «2» буде рівна:

де ми використовували розклад функції L до першого порядку включно по та . Тепер використовуючи інтегрування частинами для останнього виразу, а також використовуючи умову (t1) = (t2) = 0 знаходимо:

S досягає стаціонарної точки, тобто S = 0 для кожного . Слід відзначити, що точка може бути як мінімумом, так і сідловою, навіть максимумом, якщо підходити чисто формально.

S = 0 для кожного тільки тоді, коли

Тут була використана заміна xa, a = 0,1,2,3 на x, оскільки це виконується для всіх координат.

Ця система рівнянь називається рівняннями Ейлера-Лагранжа для варіаційної задачі. Простий наслідок цих рівнянь тоді, L явно не залежить від x, тобто

Тоді координата x называється циклічною координатою, а называється спряженим імпульсом, який зберігається.

Наприклад, якщо L не залежить явно від часу, то відповідний інтеграл руху (спряжений імпульс) називається енергією. При використанні сферичних координат t, r, , якщо L не залежить від , спряжений імпульс, що зберігається- кутовий момент.

Для тих, хто знайомий з функціональним аналізом, рівняння спрощується до виду

Редукована дія

Терміном редукована дія, котрий має позначення , визначають дію, що в явній формі не залежить від часу:

де  — узагальнений імпульс. Редукована дія використовується в природі тоді, коли траєкторія руху не залежить від часу.

Редукована дія використовується при формулюванні принципу Моперт'юї.

Приклад: вільна частка в полярних координатах

Тривіальні приклади допомагають зробити оцінку принципу дії через рівняння Ейлера-Лагранжа. Вільна частка (маса m і швидкість v) в Евклідовому просторі переміщується вздовж прямої лінії. Використовуючи рівняння Ейлера-Лагранжа, це можна показати в полярних координатах наступним чином. У відсутності потенціалу функція Лагранжа просто рівна кінетичній енергії

в ортогональній системі координат (x, y).

В полярних координатах (r, ) кінетична енергія, і тому функція Лагранжа приймає вигляд:

Радіальна компонента r та рівнянь стають відповідно:

Розв'язок цих двох рівнянь

ряд математичних констант «a, b, c, d» задається початковими умовами. Таким чином, дійсно, «розв'язок — пряма лінія», задана в полярних координатах.

Приведений вище формалізм, дійсний у класичній механіці в обмеженому сенсі. Ширше, дія — функціонал, який задає відображення із конфігураційного простору на множину дійсних чисел і, в загальному випадку вона не обов'язково повинна бути інтегралом, оскільки можливі й нелокальні дії.

Див. також

Література

Для бібліографії з аннотацією дивись Edwin F. Taylor [2] [ 24 вересня 2020 у Wayback Machine.] Серед бібліографічного списку є такі книги:

  1. Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN 0-486-65067-7. Найцитованіше джерело в цій галузі.
  2. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics (Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0. Починається з принципу найменшої дії.
  3. Thomas A. Moore «Least-Action Principle» in Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volume 2, ISBN 0-0286457-1, pages 840—842.
  4. David Morin знакомит с уравнениями Лагранжа в главе 5 его книги. Включает 27 задач с решениями. Черновой вариант доступен [3][недоступне посилання]
  5. Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics (MIT Press, 2001). Начинается с принципа наименьшего действия, использует современные обозначения.
  6. Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0.
  7. Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2. Старая добротная книга, где формализм определяется до использования.
  8. Stephen Wolfram, A New Kind of Science. May 2002. ISBN 1-57955-008-8.
  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.


Посилання

  1. Edwin F. Taylor's страница [4] [ 10 грудня 2008 у Wayback Machine.]
  2. Історичні записи:
    1. Статті Гамільтона в форматах TeX, DVI, PDF, та PostScript доступні [5] [ 27 вересня 2011 у Wayback Machine.]
    2. Статті Гамільтона, присвячені принципу дії, доступні за адресою [6] [ 27 вересня 2011 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi z chinnimi movnimi standartami U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Diya znachennya Diya fundamentalne fizichne ponyattya funkcional iz rozmirnistyu energiya chas Dzh s sho vidpovidaye rozmirnosti momentu kilkosti ruhu Rozmirnist diyi maye fundamentalna fizichna konstanta stala Planka U fizici princip diyi viznachaye prirodu ruhu z yakoyi mozhe buti viznachena trayektoriya fizichnoyi sistemi Realna trayektoriya ob yekta ta sho privodit do postijnih znachen fizichnoyi velichini yaku nazivayut diyeyu Takim chinom zamist togo shob dumati pro ob yekt sho priskoryuyetsya pid diyeyu prikladenoyi sili mozhna dumati pro sili sho vidilyayut trayektoriyi zi stacionarnoyu diyeyu Cej princip takozh nazivayut principom stacionarnoyi diyi abo principom Gamiltona Ostrogradskogo Inshe formulyuvannya principu yak principu najmenshoyi diyi ye mensh uzagalnenim i ne zavzhdi pravilnim Cej princip prostij zagalnij ta potuzhnij zasib dlya togo shob peredbachiti ruh u klasichnij mehanici Rozshirennya principu diyi opisuyut relyativistsku mehaniku kvantovu mehaniku elektriku ta magnetizm Zmist 1 Deyaki vikoristannya principu diyi 2 Istoriya 3 Princip diyi v klasichnij mehanici 4 Rivnyannya Ejlera Lagranzha dlya integralu diyi 5 Redukovana diya 6 Priklad vilna chastka v polyarnih koordinatah 7 Div takozh 8 Literatura 9 PosilannyaDeyaki vikoristannya principu diyi RedaguvatiZvichajno danij princip ekvivalentnij zakonam Nyutona v klasichnij mehanici prote princip diyi krashe pidhodit dlya uzagalnen i vidigraye vazhlivu rol v suchasnij fizici Dijsno za dopomogoyu danogo principu mozhna zdijsniti formulyuvannya kvantovoyi mehaniki sho i bulo zrobleno Richardom Fejnmanom za dopomogoyu integraliv po trayektoriyam Ostanni bazuyutsya na principi stacionarnoyi diyi yak klasichnoyi tobto nekvantovoyi mezhi Vikoristovuyuchi integrali po trayektoriyam rivnyannya Maksvela mozhut buti otrimanimi yak umovi stacionarnoyi diyi Bagato problem v fizici mozhut buti predstavleni ta rozv yazani v formi principu diyi Napriklad svitlo znahodit najshvidshij shlyah cherez optichnu sistemu princip Ferma Trayektoriya ruhu tila v poli tyazhinnya tobto vilne padinnya v prostori ta chasi tak zvana geodezichna mozhe buti znajdena shlyahom vikoristannya principu diyi Simetriyi v fizici mozhna krashe zrozumiti vikoristovuyuchi princip diyi razom z rivnyannyami Ejlera Lagranzha yaki otrimani iz principu diyi Napriklad teorema Neter yaka stverdzhuye sho kozhnij neperervnij simetriyi v fizichnij situaciyi vidpovidaye pevnij zakon zberezhennya virne i obernene tverdzhennya Cej glibokij zv yazok prote vimagaye viznannya fundamentalnosti principu diyi V klasichnij mehanici pravilnij vibir diyi mozhe buti vivedenij iz zakoniv ruhu Nyutona I navpaki iz principu diyi mozhna vivesti rivnyannya ruhu u formi Nyutona pri pravilnomu vibori diyi Takim chinom v klasichnij mehanici princip diyi ye ekvivalentnij rivnyannyam ruhu Nyutona Vikoristannya principu diyi chastishe shvidshe privodit do rozv yazku zadachi nizh bezposerednye vikoristannya rivnyan Nyutona Princip diyi skalyarna teoriya kotra vikoristovuye elementarni obchislennya z pohidnimi Istoriya RedaguvatiPrincip najmenshoyi diyi buv spershu sformulovanij Mopertyuyi 1 v 1746 roci i v podalshomu rozvivavsya Ejlerom Lagranzhem ta Gamiltonom Mopertyuyi prijshov do cogo principu iz vidchuttya sho doskonalist Vsesvitu vimagaye pevnoyi ekonomiyi v Prirodi i superechit bud yakim bezkorisnim vitratam energiyi Prirodnij ruh povinen buti takim shob zrobiti deyaku velichinu minimalnoyu Neobhidno tilki znajti cyu velichinu sho vin i prodovzhuvav robiti protyagom vsogo zhittya Vin vibrav yak velichinu dobutok kinetichnoyi energiyi sistemi na trivalist chas Ejler v Reflexions sur quelques loix generales de la nature 1748 prijmaye princip najmenshoyi kilkosti ruhu nazvavshi jogo zusillyam Jogo viraz vidpovidaye tomu sho mi sogodni nazvali b potencialnoyu energiyeyu Tak sho jogo tverdzhennya pro najmenshu kilkist diyi v statici ekvivalentne principu sho sistema til v spokoyi prijmaye konfiguraciyu kotra minimizuye povnu potencialnu energiyu Princip diyi v klasichnij mehanici RedaguvatiRivnyannya ruhu Nyutona mozhna otrimati bagatma sposobami i tomu mehanika N yutona mozhe buti aksiomatichno sformulovana po riznomu Odin iz sposobiv t z lagranzhiv formalizm yakij takozh nazivayut lagranzhevoyu mehanikoyu Yaksho viznachiti trayektoriyu ruhu chastki yak funkciyu chasu t u viglyadi x t zi shvidkistyu x t todi funkciya Lagranzha funkciya vid cih velichin i mozhlivo chasu v yavnomu viglyadi L x t x t t displaystyle L x t dot x t t Diya S integral vid lagranzhianu po chasu mizh zadanoyu tochkoyu x t1 v moment chasu t1 ta zadanoyu kincevoyu tochkoyu x t2 v moment chasu t2 S t 1 t 2 L x t x t t d t displaystyle S int t 1 t 2 L x t dot x t t dt U lagranzhevij mehanici trayektoriya ob yekta znahoditsya za dopomogoyu shlyahu dlya yakogo integral diyi S ye stacionarnim minimum abo sidlova tochka Integral diyi funkcional funkciya yaka prijmaye znachennya na prostori funkcij v comu razi x t Dlya sistemi z konservativnimi silami sili yaki mozhut buti opisani v terminah potencialu yak gravitacijna sila na vidminu vid sil tertya vibir funkciyi Lagranzha u viglyadi kinetichna energiya minus potencialna energiya privodit do pravilnih zakoniv ruhu Nyutona slid vidznachiti sho suma kinetichnoyi ta potencialnoyi energij ye povna energiya sistemi Rivnyannya Ejlera Lagranzha dlya integralu diyi RedaguvatiStacionarna tochka integralu vzdovzh shlyahu ekvivalentna diferencijnih rivnyan nazvanih rivnyannyami Ejlera Lagranzha Ce mozhna pokazati nastupnim chinom rozglyad odnovimirnogo vipadku Uzagalnennya na bagotovimirnij vipadok ye trivialnim Pripustimo sho ye integral diyi S z pidintegralnoyu funkciyeyu L yakij zalezhit vid koordinat x t ta yihnih pohidnih dx t dt po chasu t S t 1 t 2 L x x d t displaystyle S int t 1 t 2 L x dot x dt Rozglyanemo drugu krivu x1 t yaka pochinayetsya i zakinchuyetsya v tih zhe tochkah sho i persha Mozhna takozh pripustiti sho vidstan mizh cimi krivimi ye mala ϵ displaystyle epsilon t x1 t x t V pochatkovij ta kincevij tochkah mi mayemo ϵ displaystyle epsilon t1 ϵ displaystyle epsilon t2 0 Riznicya mizh integralami po shlyahu 1 ta 2 bude rivna d S t 1 t 2 L x e x e L x x d t t 1 t 2 e L x e L x d t displaystyle delta S int t 1 t 2 left L x varepsilon dot x dot varepsilon L x dot x right dt int t 1 t 2 left varepsilon partial L over partial x dot varepsilon partial L over partial dot x right dt de mi vikoristovuvali rozklad funkciyi L do pershogo poryadku vklyuchno po ϵ displaystyle epsilon ta ϵ displaystyle epsilon Teper vikoristovuyuchi integruvannya chastinami dlya ostannogo virazu a takozh vikoristovuyuchi umovu ϵ 1 displaystyle epsilon 1 t1 ϵ 2 displaystyle epsilon 2 t2 0 znahodimo d S t 1 t 2 e L x e d d t L x d t displaystyle delta S int t 1 t 2 left varepsilon partial L over partial x varepsilon d over dt partial L over partial dot x right dt S dosyagaye stacionarnoyi tochki tobto d displaystyle delta S 0 dlya kozhnogo ϵ displaystyle epsilon Slid vidznachiti sho tochka mozhe buti yak minimumom tak i sidlovoyu navit maksimumom yaksho pidhoditi chisto formalno d displaystyle delta S 0 dlya kozhnogo ϵ displaystyle epsilon tilki todi koli L x a d d t L x a 0 displaystyle partial L over partial x a d over dt partial L over partial dot x a 0 Rivnyannya Lagranzha Ejlera Tut bula vikoristana zamina xa a 0 1 2 3 na x oskilki ce vikonuyetsya dlya vsih koordinat Cya sistema rivnyan nazivayetsya rivnyannyami Ejlera Lagranzha dlya variacijnoyi zadachi Prostij naslidok cih rivnyan todi L yavno ne zalezhit vid x tobto yaksho L x 0 displaystyle frac partial L partial x 0 to L x displaystyle frac partial L partial dot x konstanta Todi koordinata x nazyvayetsya ciklichnoyu koordinatoyu a L x displaystyle frac partial L partial dot x nazyvayetsya spryazhenim impulsom yakij zberigayetsya Napriklad yaksho L ne zalezhit yavno vid chasu to vidpovidnij integral ruhu spryazhenij impuls nazivayetsya energiyeyu Pri vikoristanni sferichnih koordinat t r 8 displaystyle theta ϕ displaystyle phi yaksho L ne zalezhit vid ϕ displaystyle phi spryazhenij impuls sho zberigayetsya kutovij moment Dlya tih hto znajomij z funkcionalnim analizom rivnyannya sproshuyetsya do vidu d S d x i t 0 displaystyle frac delta S delta x i t 0 Redukovana diya RedaguvatiTerminom redukovana diya kotrij maye poznachennya S 0 displaystyle mathcal S 0 viznachayut diyu sho v yavnij formi ne zalezhit vid chasu S 0 p d q displaystyle mathcal S 0 int mathbf p cdot mathrm d mathbf q de p displaystyle mathbf p uzagalnenij impuls Redukovana diya vikoristovuyetsya v prirodi todi koli trayektoriya ruhu ne zalezhit vid chasu Redukovana diya vikoristovuyetsya pri formulyuvanni principu Mopert yuyi Priklad vilna chastka v polyarnih koordinatah RedaguvatiTrivialni prikladi dopomagayut zrobiti ocinku principu diyi cherez rivnyannya Ejlera Lagranzha Vilna chastka masa m i shvidkist v v Evklidovomu prostori peremishuyetsya vzdovzh pryamoyi liniyi Vikoristovuyuchi rivnyannya Ejlera Lagranzha ce mozhna pokazati v polyarnih koordinatah nastupnim chinom U vidsutnosti potencialu funkciya Lagranzha prosto rivna kinetichnij energiyi 1 2 m v 2 1 2 m x 2 y 2 displaystyle frac 1 2 mv 2 frac 1 2 m left dot x 2 dot y 2 right v ortogonalnij sistemi koordinat x y V polyarnih koordinatah r ϕ displaystyle phi kinetichna energiya i tomu funkciya Lagranzha prijmaye viglyad L 1 2 m r 2 r 2 f 2 displaystyle L frac 1 2 m left dot r 2 r 2 dot varphi 2 right Radialna komponenta r ta ϕ displaystyle phi rivnyan stayut vidpovidno d d t L r L r 0 r r f 2 0 displaystyle frac d dt left frac partial L partial dot r right frac partial L partial r 0 qquad Rightarrow qquad ddot r r dot varphi 2 0 d d t L f L f 0 f 2 r r f 0 displaystyle frac d dt left frac partial L partial dot varphi right frac partial L partial varphi 0 qquad Rightarrow qquad ddot varphi frac 2 r dot r dot varphi 0 Rozv yazok cih dvoh rivnyan r cos f a t b displaystyle r cos varphi at b r sin f c t d displaystyle r sin varphi ct d ryad matematichnih konstant a b c d zadayetsya pochatkovimi umovami Takim chinom dijsno rozv yazok pryama liniya zadana v polyarnih koordinatah Privedenij vishe formalizm dijsnij u klasichnij mehanici v obmezhenomu sensi Shirshe diya funkcional yakij zadaye vidobrazhennya iz konfiguracijnogo prostoru na mnozhinu dijsnih chisel i v zagalnomu vipadku vona ne obov yazkovo povinna buti integralom oskilki mozhlivi j nelokalni diyi Div takozh RedaguvatiLagranzhian Princip najmenshoyi diyiLiteratura RedaguvatiDlya bibliografiyi z annotaciyeyu divis Edwin F Taylor 2 Arhivovano 24 veresnya 2020 u Wayback Machine Sered bibliografichnogo spisku ye taki knigi Cornelius Lanczos The Variational Principles of Mechanics Dover Publications New York 1986 ISBN 0 486 65067 7 Najcitovanishe dzherelo v cij galuzi L D Landau and E M Lifshitz Mechanics Course of Theoretical Physics Butterworth Heinenann 1976 3rd ed Vol 1 ISBN 0 7506 2896 0 Pochinayetsya z principu najmenshoyi diyi Thomas A Moore Least Action Principle in Macmillan Encyclopedia of Physics Simon amp Schuster Macmillan 1996 Volume 2 ISBN 0 0286457 1 pages 840 842 David Morin znakomit s uravneniyami Lagranzha v glave 5 ego knigi Vklyuchaet 27 zadach s resheniyami Chernovoj variant dostupen 3 nedostupne posilannya Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom Structure and Interpretation of Classical Mechanics MIT Press 2001 Nachinaetsya s principa naimenshego dejstviya ispolzuet sovremennye oboznacheniya Dare A Wells Lagrangian Dynamics Schaum s Outline Series McGraw Hill 1967 ISBN 0 07 069258 0 Robert Weinstock Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering Dover Publications 1974 ISBN 0 486 63069 2 Staraya dobrotnaya kniga gde formalizm opredelyaetsya do ispolzovaniya Stephen Wolfram A New Kind of Science May 2002 ISBN 1 57955 008 8 Fedorchenko A M 1975 Teoretichna mehanika Kiyiv Visha shkola 516 s Posilannya RedaguvatiEdwin F Taylor s stranica 4 Arhivovano 10 grudnya 2008 u Wayback Machine Istorichni zapisi Statti Gamiltona v formatah TeX DVI PDF ta PostScript dostupni 5 Arhivovano 27 veresnya 2011 u Wayback Machine Statti Gamiltona prisvyacheni principu diyi dostupni za adresoyu 6 Arhivovano 27 veresnya 2011 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diya fizika amp oldid 38801911