www.wikidata.uk-ua.nina.az

Тензор енергії імпульсу симетричний 4 тензор визначений у просторі часі який водночас задає густину енергії та її потокі

Тензор енергії-імпульсу

Тензор енергії-імпульсу — симетричний 4-тензор, визначений у просторі-часі, який водночас задає густину енергії та її потоків і визначає закон зміни цих величин при переході від однієї системи відліку до іншої.

Тензор енергії-імпульсу в загальному випадку має вигляд:

де W — густина енергії,  — потік енергії в напрямку, який задається координатою i, , де  — тензор у звичайному просторі, який називають тензором напружень.

Для тензора енергії-імпульсу справедливе співвідношення

яке є локальним виразом законів збереження енергії та імпульсу.

Очевидна також симетрія тензора енергії-імпульсу щодо перестановок індексів. Ця властивість виражає локальний закон збереження моменту імпульсу.

Значення тензора енергії-імпульсу в тому, що він входить до основного рівняння загальної теорії відносності — рівняння Ейнштейна, і, таким чином дозволяє доповнити ці рівняння рівняннями стану речовини.

Класичний розгляд неперервної речовини Редагувати

В класичній механіці рух неперервної речовини описує гідродинаміка і теорія пружності твердих тіл. Кожна частинка речовини в точці 3-вимірного простору (x, y, z) і в деякий момент часу t описується густиною:

а також швидкістю в цій точці:

і тензором напружень , який описує силову взаємодію частинки речовини з сусідніми частинками.

У випадку рідини чи газу, тензор напружень діагональний і виражається через тиск формулою:

тобто тиск діє в усіх напрямках однаково (закон Паскаля).

Релятивістський розгляд неперервної речовини Редагувати

Як відомо, енергія та імпульс повинні розглядатися в поєднанні зі швидкістю, що описується чотири-вектором енергії-імпульсу:

Оскільки речовина «розмазана» в просторі, виділимо в якийсь момент часу () елемент об'єму . Величина чотири-вектора енергії-імпульсу для частини речовини, що потрапила в цей об'єм, пропорційна самому об'єму з деякими коефіцієнтами пропорційності :

Ліва частина цього рівняння є чотири-вектором. Дослідимо, з точки зору тензорного аналізу, що собою являє добуток в правій частині рівняння.
Почнемо з тривимірного об'єму , представивши його у вигляді паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах . Ці вектори можна вважати чотири-векторами, з нульовою першою (часовою) координатою. Об'єм є величиною тензора третього рангу, що складений зовнішнім добутком цих векторів:

Користуючись одиничним антисиметричним тензором, ми можемо також скласти дуальний чотири-вектор:

де g — детермінант метричного тензора.

В цій формулі множник уявної одиниці введено для того, щоб компоненти вектора були дійсними числами. Величина цього вектора дорівнює об'єму , а напрям ортогональний до складових векторів . Тобто у вибраній системі координат він напрямлений вздовж осі часу:

Тепер ми можемо, змінюючи при потребі позначення коефіцієнтів переписати формулу (7) так:

У цій формулі ми спочатку вели ще один індекс «нуль» у позначенні коефіцієнтів, а потім чисто формально додали ще три нульові доданки (оскільки згідно з (10) просторові компоненти вектора дорівнюють нулю).

Права частина формули (11) має вигляд добутку швидкості світла на згортку тензора другого рангу з вектором. Позначимо тензор і назвемо його тензором енергії-імпульсу. Тоді чотири-вектор енергії-імпульсу речовини, яка потрапила в елемент об'єму , згідно з формулою (11) запишеться у вигляді згортки тензора енергії-імпульсу з чотиривектором об'єму:

Розписуючи покомпонентно формулу (12) і враховуючи (6) знаходимо, що коли

тобто верхній лівий елемент матриці має смисл густини енергії.

Тепер прирівняємо індекс одній з просторових координат, наприклад . Тоді

Звідки ми можемо виразити двома способами, беручи до уваги зв'язок імпульсу з масою та формулу Ейнштейна :

Відповідно маємо два трактування компоненти : або густина проєкції імпульсу, помножена на швидкість світла, або потік енергії в напрямку осі абсцис, поділений на швидкість світла.

Закон збереження енергії та імпульсу Редагувати

В класичній механіці сукупний імпульс системи фізичних тіл і електромагнітного поля зберігається, тобто не змінюється з часом. Те саме стосується енергії, якщо розглядати дію тільки консервативних сил. Спробуємо з'ясувати, як ці закони збереження відображаються в теорії відносності на властивостях тензора енергії-імпульсу.

Почнемо з того, що енергія і імпульс утворюють чотири-вектор (6). Операцію додавання двох просторово-рознесених векторів можна здійснити, здійснивши паралельне перенесення одного вектора в точку знаходження іншого. Така операція буде однозначною лише для плоского простору, з нульовим тензором Рімана. Отже почнемо з розгляду невеликої, обмеженої в просторі механічної системи, гравітаційним полем якої (а отже і викривленням простору) можна знехтувати. Для цього треба, щоб усі маси тіл були досить малими. Систему координат будемо вважати прямокутною декартовою.

Виберемо фіксований момент часу i знайдемо сукупний чотири-вектор енергії-імпульсу системи, проінтегрувавши формулу (12) по всьому тривимірному простору (який є гіперплощиною в чотиривимірному просторі-часі):

В інший момент часу чотири-вектор енергії-імпульсу залишиться незмінним, і нульову різницю ми можемо записати у вигляді інтеграла по чотиривимірному прошарку між двома гіперплощинами:

В останньому інтегралі диференціал є інваріантним елементом чотиривимірного об'єму (див. Інтегрування по об'єму многовида):

Оскільки всі фізичні закони мають носити тензорний характер (а отже не залежати від вибору системи координат), то і підінтегральну функцію в правій частині (17) ми повинні замінити на істинний скаляр:

диференціальний оператор (називається «набла» або коваріантна похідна, див. статтю Диференціальна геометрія) визначений навіть для кривого простору формулою:

У випадку метрики Мінковського:

метричний тензор виражається діагональною матрицею з постійними коефіцієнтами, тому символи Крістофеля в формулі (20) дорівнюють нулю, чим ми і скористалися в перетвореннях формули (19).

Перевіримо, що «зайві» три доданки в (19) не псують рівності (17). Оскільки наша механічна система обмежена в тривимірному просторі, то ми можемо взяти достатньо великий тривимірний прямокутний паралелепіпед:

в якому повністю міститься система в розлядуваному інтервалі часу (). Це зокрема означає, що за межами паралелепіпеда (а також на його стінках), тензор енергії-імпульсу разом зі своїми похідними перетворюється в нуль. Тому замість формули (17) ми можемо обмежити область інтегрування паралелепіпедом і перейти від кратного до повторного інтеграла:

Якщо ми в самий внутрішній інтеграл (23) підставимо останній доданок формули (19), то одержимо нуль:

оскільки на гранях паралелепіпеда тензор енергії-імпульсу перетворюється в нуль. Аналогічно і інтеграл від середніх двох доданків в формулі (19) дорівнює нулю. Таким чином, закон збереження енергії та імпульсу виражається формулою:

де інтегрування проводиться в чотиривимірному просторі між двома тривимірними гіперплощинами.

Локальний закон збереження енергії та імпульсу Редагувати

Формулу (25) не можна застосовувати в кривому просторі: по-перше вектори у віддалених точках не можна додавати внаслідок неоднозначності паралельного переносу векторів, а по-друге, неясно чим можна замінити паралельні гіперплощини в кривому просторі.

Окрім того, інтегральний закон збереження не накладає інтуїтивно-зрозумілого обмеження на рух матерії: вона, а також енергія і імпульс, не може перескакувати з одної точки простору у віддалену точку, вони можуть лише плавно «перетікати» через сусідні точки простору. Наприклад енергія не може потрапити з електростанції в лампочку через обірвані провода. Цим ми словесно описали локальність законів збереження енергії-імпульсу.

Звернемось до формул. В деякій точці (можна викривленого) простору-часу виберемо систему координат , що є декартовою в даній точці, і в ній задамо маленький (порівняно з радіусами кривини простору та координатних ліній) чотиривимірний прямокутний паралелепіпед:

і запишемо формулу Остроградського-Ґаусса для дивергенції тензора енергії-імпульсу в цьому паралелепіпеді:

в цій формулі через позначена тривимірна «поверхня» паралелепіпеда , яка складається із восьми «граней», а інтегрування по цій поверхні враховує напрям вектора нормалі, який напрямлений назовні паралелепіпеда .

Дві грані, які ми для наочності назвемо «дном» і «кришкою», є паралелепіпедами в тривимірному просторі , взятими відповідно в момент часу і . Тензор енергії-імпульсу якби втікає всередину паралелепіпеда через «дно» і витікає через «кришку». Різниця інтегралів по цих двох «гранях» має смисл зміни чотири-вектора енергії-імпульсу в об'ємі за час

Очевидно, ця зміна повинна потрапити в тривимірний об'єм через поверхню цього об'єму.

Розглянемо притік енергії через грань площею за інтервал часу :

де  — щільність потоку енергії в напрямку осі абсцис. Порівняємо цей вираз з поверхневим інтегралом в правій частині формули (27) по відповідній тривимірній «бічній» грані паралелепіпеда :

Ми можемо визначити компоненту тензора енергії-імпульсу

так, щоб формули (29) і (30) відповідали одна одній. З формул (15) і (30) слідує симетрія частини компонент тензора енергії-імпульсу:

Тепер розглянемо притік імпульсу через цю саму грань площею . Він складається з двох доданків: по-перше, через цю грань протікає матерія масою:

яка переносить із собою імпульс:

і по-друге, через цю грань діє момент сили від сусідньої комірки простору через внутрішні напруження речовини (тиск):

Сумарний потік імпульсу прирівняємо до потоку відповідної компоненти тензора енергії-імпульсу:

Таким чином, ми уже визначили всі компоненти тензора енергії-імпульсу через величини класичної механіки, просторова частина цього тензора дорівнює:

Із цієї прив'язки і локального закону збереження енергії-імпульсу слідує, що «поверхневий» інтеграл в лівій частині (27) дорівнює нулю. Оскільки паралелепіпед може бути розміщений в будь-якій точці простору-часу і може бути нескінченно малим, з рівності нулю правої частини (27) слідує, що скрізь дивергенція тензора енергії-імпульсу дорівнює нулю:

Локальний закон збереження моменту імпульсу Редагувати

Із виразу для компонент тензора енергії-імпульсу ми бачимо, що цей тензор вийшов симетричним. І це не випадково. Розглянемо наступний антисиметричний тензор другого рангу в плоскому просторі Мінковського (або в настільки малій області викривленого простору, щоб кривину можна було не враховувати):

Просторові компоненти цього тензора, очевидно, дорівнюють проєкціям класичного вектора моменту імпульсу:

Покажемо, що якщо інтеграл в праві частині (39) поширити на всю «поверхню» чотиривимірного паралелепіпеда, то в результаті одержимо нуль. Дійсно, поверхневий інтеграл перетворюється в інтеграл від дивергенції:

а дивергенція перетворюється в нуль внаслідок (38) і симетрії тензора енергії-імпульсу:

Рівність нулю «поверхневого» інтеграла в лівій частині (41) можна, аналогічно до того, як це було з локальним законом збереження енергії-імпульсу, трактувати так: зміна моменту імпульсу в якійсь області простору можлива лише внаслідок протікання моменту імпульсу через межу цієї області.

Джерела Редагувати

  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат. , 460 с.

Примітки Редагувати

  1. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в Міжнародну систему величин (ISQ) дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему ISQ.


Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Tenzor energiyi impulsu simetrichnij 4 tenzor viznachenij u prostori chasi yakij vodnochas zadaye gustinu energiyi ta yiyi potokiv i viznachaye zakon zmini cih velichin pri perehodi vid odniyeyi sistemi vidliku do inshoyi Tenzor energiyi impulsu v zagalnomu vipadku maye viglyad 1 T W S x c S y c S z c S x c s x x s x y s x z S y c s y x s y y s y z S z c s z x s z y s z z displaystyle T left begin matrix W amp S x c amp S y c amp S z c S x c amp hat sigma xx amp hat sigma xy amp hat sigma xz S y c amp hat sigma yx amp hat sigma yy amp hat sigma yz S z c amp hat sigma zx amp hat sigma zy amp hat sigma zz end matrix right de W gustina energiyi S i displaystyle S i potik energiyi v napryamku yakij zadayetsya koordinatoyu i s i j r v i v j s i j displaystyle hat sigma ij rho v i v j sigma ij de s i j displaystyle sigma ij tenzor u zvichajnomu prostori yakij nazivayut tenzorom napruzhen Dlya tenzora energiyi impulsu spravedlive spivvidnoshennya T i k x k 0 displaystyle frac partial T i k partial x k 0 yake ye lokalnim virazom zakoniv zberezhennya energiyi ta impulsu Ochevidna takozh simetriya tenzora energiyi impulsu T i j displaystyle T ij shodo perestanovok indeksiv Cya vlastivist virazhaye lokalnij zakon zberezhennya momentu impulsu Znachennya tenzora energiyi impulsu v tomu sho vin vhodit do osnovnogo rivnyannya zagalnoyi teoriyi vidnosnosti rivnyannya Ejnshtejna i takim chinom dozvolyaye dopovniti ci rivnyannya rivnyannyami stanu rechovini Zmist 1 Klasichnij rozglyad neperervnoyi rechovini 2 Relyativistskij rozglyad neperervnoyi rechovini 3 Zakon zberezhennya energiyi ta impulsu 4 Lokalnij zakon zberezhennya energiyi ta impulsu 5 Lokalnij zakon zberezhennya momentu impulsu 6 Dzherela 7 PrimitkiKlasichnij rozglyad neperervnoyi rechovini RedaguvatiV klasichnij mehanici ruh neperervnoyi rechovini opisuye gidrodinamika i teoriya pruzhnosti tverdih til Kozhna chastinka rechovini v tochci 3 vimirnogo prostoru x y z i v deyakij moment chasu t opisuyetsya gustinoyu 1 r r x y z t d m d V displaystyle 1 qquad rho rho x y z t dm over dV nbsp a takozh shvidkistyu v cij tochci 2 v v x y z t displaystyle 2 qquad mathbf v mathbf v x y z t nbsp i tenzorom napruzhen s a b displaystyle sigma alpha beta nbsp yakij opisuye silovu vzayemodiyu chastinki rechovini z susidnimi chastinkami 3 s a b s a b x y z t displaystyle 3 qquad sigma alpha beta sigma alpha beta x y z t nbsp U vipadku ridini chi gazu tenzor napruzhen diagonalnij i virazhayetsya cherez tisk p displaystyle p nbsp formuloyu 4 s a b p d a b displaystyle 4 qquad sigma alpha beta p delta alpha beta nbsp tobto tisk diye v usih napryamkah odnakovo zakon Paskalya Relyativistskij rozglyad neperervnoyi rechovini RedaguvatiYak vidomo energiya ta impuls povinni rozglyadatisya v poyednanni zi shvidkistyu sho opisuyetsya chotiri vektorom energiyi impulsu 6 p a E c p x p y p z displaystyle 6 qquad p alpha left E over c p x p y p z right nbsp Oskilki rechovina rozmazana v prostori vidilimo v yakijs moment chasu t t 0 displaystyle t t 0 nbsp element ob yemu D V displaystyle Delta V nbsp Velichina chotiri vektora energiyi impulsu D p a displaystyle Delta p alpha nbsp dlya chastini rechovini sho potrapila v cej ob yem proporcijna samomu ob yemu z deyakimi koeficiyentami proporcijnosti r a displaystyle tilde rho alpha nbsp 7 D p a r a D V displaystyle 7 qquad Delta p alpha tilde rho alpha Delta V nbsp Liva chastina cogo rivnyannya ye chotiri vektorom Doslidimo z tochki zoru tenzornogo analizu sho soboyu yavlyaye dobutok v pravij chastini rivnyannya Pochnemo z trivimirnogo ob yemu D V displaystyle Delta V nbsp predstavivshi jogo u viglyadi paralelepipeda pobudovanogo na troh vektorah a b c displaystyle mathbf a mathbf b mathbf c nbsp Ci vektori mozhna vvazhati chotiri vektorami z nulovoyu pershoyu chasovoyu koordinatoyu Ob yem ye velichinoyu tenzora tretogo rangu sho skladenij zovnishnim dobutkom cih vektoriv 8 D V a b g a b c a b g displaystyle 8 qquad Delta V alpha beta gamma left mathbf a wedge mathbf b wedge mathbf c right alpha beta gamma nbsp Koristuyuchis odinichnim antisimetrichnim tenzorom mi mozhemo takozh sklasti dualnij chotiri vektor 9 D V l i e l a b g a a b b c g g e l a b g a a b b c g displaystyle 9 qquad Delta V lambda i varepsilon lambda alpha beta gamma a alpha b beta c gamma sqrt g hat varepsilon lambda alpha beta gamma a alpha b beta c gamma nbsp de g determinant metrichnogo tenzora V cij formuli mnozhnik uyavnoyi odinici vvedeno dlya togo shob komponenti vektora D V l displaystyle Delta V lambda nbsp buli dijsnimi chislami Velichina cogo vektora dorivnyuye ob yemu D V displaystyle Delta V nbsp a napryam ortogonalnij do skladovih vektoriv a b c displaystyle mathbf a mathbf b mathbf c nbsp Tobto u vibranij sistemi koordinat vin napryamlenij vzdovzh osi chasu 10 D V l D V c 0 0 0 displaystyle 10 qquad Delta V lambda left Delta V over c 0 0 0 right nbsp Teper mi mozhemo zminyuyuchi pri potrebi poznachennya koeficiyentiv r a displaystyle tilde rho alpha nbsp perepisati formulu 7 tak 11 D p a r a 0 D V 0 c c r a 0 D V 0 c r a 1 D V 1 c r a 2 D V 2 c r a 3 D V 3 displaystyle 11 qquad Delta p alpha tilde rho alpha 0 Delta V 0 over c c tilde rho alpha 0 Delta V 0 c tilde rho alpha 1 Delta V 1 c tilde rho alpha 2 Delta V 2 c tilde rho alpha 3 Delta V 3 nbsp U cij formuli mi spochatku veli she odin indeks nul u poznachenni koeficiyentiv a potim chisto formalno dodali she tri nulovi dodanki oskilki zgidno z 10 prostorovi komponenti vektora D V displaystyle Delta V nbsp dorivnyuyut nulyu Prava chastina formuli 11 maye viglyad dobutku shvidkosti svitla na zgortku tenzora drugogo rangu z vektorom Poznachimo tenzor T a b c r a b displaystyle T alpha beta c tilde rho alpha beta nbsp i nazvemo jogo tenzorom energiyi impulsu Todi chotiri vektor energiyi impulsu rechovini yaka potrapila v element ob yemu D V displaystyle Delta V nbsp zgidno z formuloyu 11 zapishetsya u viglyadi zgortki tenzora energiyi impulsu z chotirivektorom ob yemu 12 D p a T a b D V b displaystyle 12 qquad Delta p alpha T alpha beta Delta V beta nbsp Rozpisuyuchi pokomponentno formulu 12 i vrahovuyuchi 6 znahodimo sho koli a 0 displaystyle alpha 0 nbsp 13 D E c T 00 D V 0 T 00 D V c displaystyle 13 qquad Delta E over c T 00 Delta V 0 T 00 Delta V over c nbsp 13 a T 00 D E D V displaystyle 13a qquad T 00 Delta E over Delta V nbsp tobto verhnij livij element matrici T displaystyle T nbsp maye smisl gustini energiyi Teper pririvnyayemo indeks a displaystyle alpha nbsp odnij z prostorovih koordinat napriklad a 1 displaystyle alpha 1 nbsp Todi 14 D p 1 T 10 D V 0 T 10 D V c displaystyle 14 qquad Delta p 1 T 10 Delta V 0 T 10 Delta V over c nbsp Zvidki mi mozhemo viraziti T 10 displaystyle T 10 nbsp dvoma sposobami beruchi do uvagi zv yazok impulsu z masoyu D p 1 D m v 1 displaystyle Delta p 1 Delta mv 1 nbsp ta formulu Ejnshtejna D E D m c 2 displaystyle Delta E Delta mc 2 nbsp 15 T 10 c D p 1 D V 1 c v 1 D E D V displaystyle 15 qquad T 10 c Delta p 1 over Delta V 1 over c v 1 Delta E over Delta V nbsp Vidpovidno mayemo dva traktuvannya komponenti T 10 displaystyle T 10 nbsp abo gustina proyekciyi impulsu pomnozhena na shvidkist svitla abo potik energiyi v napryamku osi abscis podilenij na shvidkist svitla Zakon zberezhennya energiyi ta impulsu RedaguvatiV klasichnij mehanici sukupnij impuls sistemi fizichnih til i elektromagnitnogo polya zberigayetsya tobto ne zminyuyetsya z chasom Te same stosuyetsya energiyi yaksho rozglyadati diyu tilki konservativnih sil Sprobuyemo z yasuvati yak ci zakoni zberezhennya vidobrazhayutsya v teoriyi vidnosnosti na vlastivostyah tenzora energiyi impulsu Pochnemo z togo sho energiya i impuls utvoryuyut chotiri vektor 6 Operaciyu dodavannya dvoh prostorovo roznesenih vektoriv mozhna zdijsniti zdijsnivshi paralelne perenesennya odnogo vektora v tochku znahodzhennya inshogo Taka operaciya bude odnoznachnoyu lishe dlya ploskogo prostoru z nulovim tenzorom Rimana Otzhe pochnemo z rozglyadu nevelikoyi obmezhenoyi v prostori mehanichnoyi sistemi gravitacijnim polem yakoyi a otzhe i vikrivlennyam prostoru mozhna znehtuvati Dlya cogo treba shob usi masi til buli dosit malimi Sistemu koordinat budemo vvazhati pryamokutnoyu dekartovoyu Viberemo fiksovanij moment chasu t t 1 displaystyle t t 1 nbsp i znajdemo sukupnij chotiri vektor energiyi impulsu sistemi prointegruvavshi formulu 12 po vsomu trivimirnomu prostoru yakij ye giperploshinoyu v chotirivimirnomu prostori chasi 16 P i 1 t t 1 T i 0 d V 0 displaystyle 16 qquad P i 1 int t t 1 T i0 dV 0 nbsp V inshij moment chasu t t 2 displaystyle t t 2 nbsp chotiri vektor energiyi impulsu zalishitsya nezminnim i nulovu riznicyu mi mozhemo zapisati u viglyadi integrala po chotirivimirnomu prosharku mizh dvoma giperploshinami 17 0 P i 2 P i 1 T i 0 t 2 T i 0 t 1 d V 0 T i 0 t d t d V 0 T i 0 x 0 d t displaystyle 17 qquad 0 P i 2 P i 1 int left T i0 big t 2 T i0 big t 1 right dV 0 int partial T i0 over partial t dtdV 0 int partial T i0 over partial x 0 d tau nbsp V ostannomu integrali diferencial d t displaystyle d tau nbsp ye invariantnim elementom chotirivimirnogo ob yemu div Integruvannya po ob yemu mnogovida 18 d t d c t d V 0 d x 0 d V 0 g d x 0 d x 1 d x 2 d x 3 displaystyle 18 qquad d tau d ct dV 0 dx 0 dV 0 sqrt g dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 nbsp Oskilki vsi fizichni zakoni mayut nositi tenzornij harakter a otzhe ne zalezhati vid viboru sistemi koordinat to i pidintegralnu funkciyu v pravij chastini 17 mi povinni zaminiti na istinnij skalyar 19 j T i j g j k T i j x k T i 0 x 0 T i 1 x 1 T i 2 x 2 T i 3 x 3 displaystyle 19 qquad nabla j T ij g jk partial T ij over partial x k partial T i0 over partial x 0 partial T i1 over partial x 1 partial T i2 over partial x 2 partial T i3 over partial x 3 nbsp diferencialnij operator j g j k k displaystyle nabla j g jk nabla k nbsp nazivayetsya nabla abo kovariantna pohidna div stattyu Diferencialna geometriya viznachenij navit dlya krivogo prostoru formuloyu 20 j T i j g j k k T i j g j k T i j x k G k i s T s j G k j s T i s displaystyle 20 qquad nabla j T ij g jk nabla k T ij g jk left partial T ij over partial x k Gamma ki s T sj Gamma kj s T is right nbsp U vipadku metriki Minkovskogo 21 g i j g i j 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle 21 qquad g ij g ij begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp metrichnij tenzor virazhayetsya diagonalnoyu matriceyu z postijnimi koeficiyentami tomu simvoli Kristofelya v formuli 20 dorivnyuyut nulyu chim mi i skoristalisya v peretvorennyah formuli 19 Perevirimo sho zajvi tri dodanki v 19 ne psuyut rivnosti 17 Oskilki nasha mehanichna sistema obmezhena v trivimirnomu prostori to mi mozhemo vzyati dostatno velikij trivimirnij pryamokutnij paralelepiped 22 P x 1 lt x lt x 2 y 1 lt y lt y 2 z 1 lt z lt z 2 displaystyle 22 qquad P left x 1 lt x lt x 2 y 1 lt y lt y 2 z 1 lt z lt z 2 right nbsp v yakomu povnistyu mistitsya sistema v rozlyaduvanomu intervali chasu t t 1 t 2 displaystyle t in left t 1 t 2 right nbsp Ce zokrema oznachaye sho za mezhami paralelepipeda P displaystyle P nbsp a takozh na jogo stinkah tenzor energiyi impulsu T i j displaystyle T ij nbsp razom zi svoyimi pohidnimi T i j x k displaystyle partial T ij over partial x k nbsp peretvoryuyetsya v nul Tomu zamist formuli 17 mi mozhemo obmezhiti oblast integruvannya paralelepipedom P displaystyle P nbsp i perejti vid kratnogo do povtornogo integrala 23 P j T i j d t t 1 t 2 d c t x 1 x 2 d x y 1 y 2 d y z 1 z 2 j T i j d z displaystyle 23 qquad int P nabla j T ij d tau int t 1 t 2 d ct int x 1 x 2 dx int y 1 y 2 dy int z 1 z 2 nabla j T ij dz nbsp Yaksho mi v samij vnutrishnij integral 23 pidstavimo ostannij dodanok formuli 19 to oderzhimo nul 24 z 1 z 2 T i 3 z d z T i 3 z 2 T i 3 z 1 0 displaystyle 24 qquad int z 1 z 2 partial T i3 over partial z dz T i3 big z 2 T i3 big z 1 0 nbsp oskilki na granyah paralelepipeda P displaystyle P nbsp tenzor energiyi impulsu peretvoryuyetsya v nul Analogichno i integral vid serednih dvoh dodankiv v formuli 19 dorivnyuye nulyu Takim chinom zakon zberezhennya energiyi ta impulsu virazhayetsya formuloyu 25 j T i j d t 0 displaystyle 25 qquad int nabla j T ij d tau 0 nbsp de integruvannya provoditsya v chotirivimirnomu prostori mizh dvoma trivimirnimi giperploshinami Lokalnij zakon zberezhennya energiyi ta impulsu RedaguvatiFormulu 25 ne mozhna zastosovuvati v krivomu prostori po pershe vektori u viddalenih tochkah ne mozhna dodavati vnaslidok neodnoznachnosti paralelnogo perenosu vektoriv a po druge neyasno chim mozhna zaminiti paralelni giperploshini v krivomu prostori Okrim togo integralnij zakon zberezhennya ne nakladaye intuyitivno zrozumilogo obmezhennya na ruh materiyi vona a takozh energiya i impuls ne mozhe pereskakuvati z odnoyi tochki prostoru u viddalenu tochku voni mozhut lishe plavno peretikati cherez susidni tochki prostoru Napriklad energiya ne mozhe potrapiti z elektrostanciyi v lampochku cherez obirvani provoda Cim mi slovesno opisali lokalnist zakoniv zberezhennya energiyi impulsu Zvernemos do formul V deyakij tochci mozhna vikrivlenogo prostoru chasu viberemo sistemu koordinat O t x y z displaystyle Otxyz nbsp sho ye dekartovoyu v danij tochci i v nij zadamo malenkij porivnyano z radiusami krivini prostoru ta koordinatnih linij chotirivimirnij pryamokutnij paralelepiped 26 P t t 1 t 2 x x 1 x 2 y y 1 y 2 z z 1 z 2 displaystyle 26 qquad P left t in t 1 t 2 x in x 1 x 2 y in y 1 y 2 z in z 1 z 2 right nbsp i zapishemo formulu Ostrogradskogo Gaussa dlya divergenciyi tenzora energiyi impulsu v comu paralelepipedi 27 P j T i j d t P T i j d V j displaystyle 27 qquad int P nabla j T ij d tau oint partial P T ij dV j nbsp v cij formuli cherez P displaystyle partial P nbsp poznachena trivimirna poverhnya paralelepipeda P displaystyle P nbsp yaka skladayetsya iz vosmi granej a integruvannya po cij poverhni vrahovuye napryam vektora normali yakij napryamlenij nazovni paralelepipeda P displaystyle P nbsp Dvi grani yaki mi dlya naochnosti nazvemo dnom i krishkoyu ye paralelepipedami v trivimirnomu prostori x y z displaystyle xyz nbsp vzyatimi vidpovidno v moment chasu t 1 displaystyle t 1 nbsp i t 2 displaystyle t 2 nbsp Tenzor energiyi impulsu yakbi vtikaye vseredinu paralelepipeda cherez dno i vitikaye cherez krishku Riznicya integraliv po cih dvoh granyah maye smisl zmini chotiri vektora energiyi impulsu v ob yemi D x D y D z displaystyle Delta x Delta y Delta z nbsp za chas D t displaystyle Delta t nbsp 28 D p i t 2 T i 0 d V 0 t 2 T i 0 d V 0 displaystyle 28 qquad Delta p i int t 2 T i0 dV 0 int t 2 T i0 dV 0 nbsp Ochevidno cya zmina povinna potrapiti v trivimirnij ob yem D x D y D z displaystyle Delta x Delta y Delta z nbsp cherez poverhnyu cogo ob yemu Rozglyanemo pritik energiyi cherez gran x x 1 displaystyle x x 1 nbsp plosheyu D y D z displaystyle Delta y Delta z nbsp za interval chasu D t displaystyle Delta t nbsp 29 D E S x D x D y D t displaystyle 29 qquad Delta E approx S x Delta x Delta y Delta t nbsp de S x displaystyle S x nbsp shilnist potoku energiyi v napryamku osi abscis Porivnyayemo cej viraz z poverhnevim integralom v pravij chastini formuli 27 po vidpovidnij trivimirnij bichnij grani paralelepipeda P displaystyle P nbsp 30 D p 0 D E c x x 1 T 0 j d V j T 01 D V 1 T 01 D y D z D t displaystyle 30 qquad Delta p 0 Delta E over c int x x 1 T 0j dV j approx T 01 Delta V 1 T 01 Delta y Delta z Delta t nbsp Mi mozhemo viznachiti komponentu tenzora energiyi impulsu 31 T 0 i S i c displaystyle 31 qquad T 0i S i over c nbsp tak shob formuli 29 i 30 vidpovidali odna odnij Z formul 15 i 30 sliduye simetriya chastini komponent tenzora energiyi impulsu 32 T 0 i T i 0 displaystyle 32 qquad T 0i T i0 nbsp Teper rozglyanemo pritik impulsu cherez cyu samu gran x x 1 displaystyle x x 1 nbsp plosheyu D y D z displaystyle Delta y Delta z nbsp Vin skladayetsya z dvoh dodankiv po pershe cherez cyu gran protikaye materiya masoyu 33 D m r v x D t D y D z displaystyle 33 qquad Delta m rho v x Delta t Delta y Delta z nbsp yaka perenosit iz soboyu impuls 34 D p i 1 D m v i r v x v i D y D z D t displaystyle 34 qquad Delta p i 1 Delta mv i rho v x v i Delta y Delta z Delta t nbsp i po druge cherez cyu gran diye moment sili vid susidnoyi komirki prostoru cherez vnutrishni napruzhennya rechovini tisk 35 D p i 2 F i D t s i 1 D y D z D t displaystyle 35 qquad Delta p i 2 F i Delta t sigma i1 Delta y Delta z Delta t nbsp Sumarnij potik impulsu pririvnyayemo do potoku vidpovidnoyi komponenti tenzora energiyi impulsu 36 D p i r v x v i s i 1 D y D z D t T i 1 d V 1 displaystyle 36 qquad Delta p i left rho v x v i sigma i1 right Delta y Delta z Delta t T i1 dV 1 nbsp Takim chinom mi uzhe viznachili vsi komponenti tenzora energiyi impulsu cherez velichini klasichnoyi mehaniki prostorova chastina cogo tenzora dorivnyuye 37 T i j r v i v j s i j displaystyle 37 qquad T ij rho v i v j sigma ij nbsp Iz ciyeyi priv yazki i lokalnogo zakonu zberezhennya energiyi impulsu sliduye sho poverhnevij integral v livij chastini 27 dorivnyuye nulyu Oskilki paralelepiped P displaystyle P nbsp mozhe buti rozmishenij v bud yakij tochci prostoru chasu i mozhe buti neskinchenno malim z rivnosti nulyu pravoyi chastini 27 sliduye sho skriz divergenciya tenzora energiyi impulsu dorivnyuye nulyu 38 j T i j 0 displaystyle 38 qquad nabla j T ij 0 nbsp Lokalnij zakon zberezhennya momentu impulsu RedaguvatiIz virazu dlya komponent tenzora energiyi impulsu mi bachimo sho cej tenzor vijshov simetrichnim I ce ne vipadkovo Rozglyanemo nastupnij antisimetrichnij tenzor drugogo rangu v ploskomu prostori Minkovskogo abo v nastilki malij oblasti vikrivlenogo prostoru shob krivinu mozhna bulo ne vrahovuvati 39 D M i j x i D p j x j D p i V x i T j 0 x j T i 0 d V 0 displaystyle 39 qquad Delta M ij x i Delta p j x j Delta p i int V x i T j0 x j T i0 dV 0 nbsp Prostorovi komponenti cogo tenzora ochevidno dorivnyuyut proyekciyam klasichnogo vektora momentu impulsu 40 M r p displaystyle 40 qquad mathbf M mathbf r times mathbf p nbsp Pokazhemo sho yaksho integral v pravi chastini 39 poshiriti na vsyu poverhnyu chotirivimirnogo paralelepipeda to v rezultati oderzhimo nul Dijsno poverhnevij integral peretvoryuyetsya v integral vid divergenciyi 41 P x i T j k x j T i k d V k P k x i T j k x j T i k d t displaystyle 41 qquad int partial P left x i T jk x j T ik right dV k int P nabla k left x i T jk x j T ik right d tau nbsp a divergenciya peretvoryuyetsya v nul vnaslidok 38 i simetriyi tenzora energiyi impulsu 42 k x i T j k x j T i k d i k T j k x i k T j k d j k T i k k T i k d i k T j k d j k T i k T j i T i j 0 displaystyle 42 qquad nabla k left x i T jk x j T ik right delta i k T jk x i nabla k T jk delta j k T ik nabla k T ik delta i k T jk delta j k T ik T ji T ij 0 nbsp Rivnist nulyu poverhnevogo integrala v livij chastini 41 mozhna analogichno do togo yak ce bulo z lokalnim zakonom zberezhennya energiyi impulsu traktuvati tak zmina momentu impulsu v yakijs oblasti prostoru mozhliva lishe vnaslidok protikannya momentu impulsu cherez mezhu ciyeyi oblasti Dzherela RedaguvatiLandau L D Lifshic E M 1967 Teoriya polya Teoreticheskaya fizika t 2 Moskva Gosizdat 460 s Primitki Redaguvati Formuli na cij storinci zapisani v sistemi SGS SGSG Dlya peretvorennya v Mizhnarodnu sistemu velichin ISQ divis Pravila perevodu formul iz sistemi SGS v sistemu ISQ nbsp Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Tenzor energiyi impulsu amp oldid 38497753