www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівняння Ейнштейна Ця стаття містить перелік посилань але походження тверджень у ній залишається незрозумілим через прак

Рівняння Ейнштейна

Ця стаття містить перелік посилань, але походження тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність внутрішньотекстових джерел-виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, перетворивши джерела з переліку посилань на джерела-виноски у самому тексті статті.

Рівня́ння Ейнште́йна — основні рівняння загальної теорії відносності. Невідомою величиною в рівняннях Ейнштейна є метричний тензор

де  — тензор Річчі,  — скалярна кривина,  — метричний тензор,  — космологічна константа,  — тензор енергії-імпульсу, який визначає негравітуючу матерію, енергію та сили в довільній точці простору-часу,  — число пі,  — швидкість світла,  — гравітаційна стала, яка аналогічно фігурує у відповідному законі всесвітнього тяжіння Ньютона. Тензор Річчі, скалярне викривлення та тензор енергії-імпульсу теж залежать від метричного тензора.

У загальному випадку рівняння Ейнштейна містить космологічну константу, хоча пізніше Ейнштейн відмовився від її використання. Космологічна константа була запроваджена для того, щоб досягти стаціонарності Всесвіту, але відкриття червоного зсуву заклало сумніви в стаціонарності. Космологічна константа, можливо, відповідає темній енергії.

Інформація про розподіл мас і полів міститься в тензорі енергії-імпульсу. Для повного розгляду фізичної системи рівняння Ейнштейна повинні бути доповненими рівнянням стану матерії.

Виведення рівняння Ейнштейна

Спробуємо вивести рівняння гравітації, яке б узгоджувалося з принципами загальної теорії відносності і в граничному випадку малих мас і малих швидкостей переходило в класичний закон Всесвітнього тяжіння Ньютона. Для виводу достатньо розглянути тільки статичну задачу, коли маси не рухаються і гравітаційне поле не змінюється з часом[джерело?]. В класичному випадку прискорення вільного падіння до тяжіючого центру дається формулою обернених квадратів:

Ця сила виявляється консервативною, і аналогічно до електростатики ми можемо розглядати гравітаційний потенціал :

Прискорення вільного падіння дорівнює взятому зі знаком мінус градієнту потенціалу:

а із формули (3), повністю аналогічно до електростатики, одержуємо наступне рівняння Лапласа:

де - густина маси. Це рівняння класичної механіки ми візьмемо за основу і спробуємо знайти його релятивістський аналог.

При переході до загальної теорії відносності ми повинні замінити густину маси релятивістськи-інваріантною величиною. Такою величиною, до того ж приблизно пропорційною густині , є тензор енергії-імпульсу . Оскільки маси нерухомі, то потоку енергії немає, і недіагональні елементи тезора дорівнюють нулю. Також ми можемо знехтувати напруженнями всередині фізичного тіла у порівнянні з дуже великою щільністю енергії спокою . Таким чином, в нашому випадку в тензорі енергії-імпульса відмінна від нуля лише одна часова компонента:

Цей тензор стоятиме (з деяким коефіцієнтом пропорційності) в правій частині шуканого рівняння - він породжує гравітацію. А що ми повинні написати в лівій частині, тобто що таке гравітація? Відповідь дав Ейнштейн, сформулювавши принцип еквівалентності - це викривлення чотиривимірного простору-часу. Сила тяжіння обчислюється за тією ж формулою, що й сили інерції в неінерційних системах координат:

Відповідно коваріантна координата сили тяжіння в тривимірному просторі (знак мінус враховує псевдоевклідовість):

У цій формулі похідна координат береться по власному часу матеріальної точки:

Ми візьмемо для вимірювання сили тяжіння нерухоме пробне тіло масою . Вздовж світової лінії цього тіла змінюється лише нульова координата , тому:

Прирівнюючи формули (4) і (9) знаходимо, що нульова компонента метричного тензора пов'язана з гравітаційним потенціалом:

Константу інтегрування ми можемо знайти, знаючи що на нескінченності (великій відстані від тяжіючих тіл) нульова компонента метричного тензора дорівнює одиниці, а потенціал перетворюється в нуль згідно з формулою (3). Отже:

Тепер ми готові підібрати релятивістський аналог для лівої частини формули (5). Ясно, що цей аналог повинен містити другі похідні метричного тензора і одночасно бути тензором, щоб задовольнити основну вимогу загальної теорії відносності - бути інваріантним щодо довільної заміни системи координат. Ми не можемо використати частинні похідні самі по собі, оскільки вони не є тензором (при заміні системи координат перетворюються не за тензорними правилами). Також ми не можемо скористатися коваріантною похідною, оскільки відомо, що коваріантна похідна метричного тензора тотожно дорівнює нулю. Але нам підходить тензор внутрішньої кривини (тензор Рімана):

Ясно, що при малому викривленні простору-часу ми можемо вибрати близьку до декартової систему координат. В ній символи Крістофеля будуть близькими до нуля, тому відкинувши (два останні) квадратичні доданки в формулі (13) ми в правій частині матимемо суму других похідних від метричного тензора. В цій сумі також будуть присутні другі похідні від , тобто від гравітаційного потенціалу (формула 11).

Тензор Рімана має чотири індекси, тому ми не можемо його безпосередньо прирівнювати до тензора енергії-імпульсу з двома індексами. Зменшити кількість індексів можна, розглядаючи лінійні комбінації компонент тензора Рімана (12). Очевидно, ці лінійні комбінації теж містять суму інших похідних від гравітаційного потенціалу (так що залишається надія одержати аналог лівої частини формули (5)). Ми не будемо вводити нових фізичних величин, а скористаємося для коефіцієнтів цих лінійних комбінацій самим метричним тензором - тобто розглянемо згортки тензора Рімана. Однократна згортка тензора за індексами дає тензор Річчі R_{ik}:

Цей тензор симетричний і має два індекси, як і в тензора енергії-імпульсу . Але окрім (14) ми можемо утворити ще один симетричний тензор, помноживши метричний тензор на скалярну кривину , яка є згорткою тензора Річчі:

Отже природними кандидатами на релятивістське узагальнення рівняння (5) є такі лінійні комбінації:

де коефіцієнти є константами. Ці коефіцієнти можна уточнити, скориставшись локальним законом збереження енергії-імпульсу:

Отже дивергенція від лівої частини формули (16) повинна дорівнювати нулю. Якби тензор Рімана був зовсім довільним, то добитися нульової дивергенції ми не змогли б ні при яких ненульових константах . Але на щастя, як чисто математична властивість, коваріантні похідні тензора Рімана пов'язані диференціальною тотожністю Біанкі:

Згорнемо цю тотожність спочатку за індексами , а потім за :

Із останньої рівності, перейменувавши індекс, за яким проходить згортка, ми можемо виразити дивергенцію тензора Річчі через градієнт скалярної кривини :

Тепер ми готові, щоб застосувати дивергенцію до рівняння (16):

Ця рівність (закон збереження енергії-імпульсу) буде тотожно задовольнятися, якщо коефіцієнт дорівнює:

Ясно, що тепер коефіцієнт не може дорівнювати нулю (інакше з врахуванням (23) і (16) тензор був би тотожним нулем). Поділимо рівність (16) на і перепозначимо поки що невідому константу . В результаті приходимо до такого рівняння гравітації:

Нам залишилось знайти константу . Для цього треба показати, що в наближенні слабкого поля, ліва частина рівняння (24) дорівнює з деяким коефіцієнтом лапласіану гравітаційного потенціалу і обчислити цей коефіцієнт. Це не зовсім тривіально, оскільки окрім часової компоненти метричного тензора (формула 11), решта компонент може також змінюватися. Деталі обчислення дивіться в статті Слабке гравітаційне поле.

Варіаційний принцип і лагранжіан гравітаційного поля

Вираз в лівій частині рівняння (24) є тензором Ейнштейна другого степеня:

який можна одержати варіацією інтеграла Ґаусса:

при зміні метричного тензора на малу величину . Кривина Ґаусса другого степеня дорівнює половині скалярної кривини:

Оскільки для матерії (зокрема для електромагнітного поля) тензор енергії-імпульсу теж утворюється з лагранжіана подібним чином як коефіцієнт при варіації метрики[джерело?], наприклад:

то віднімаючи від (28) попередньо помножене рівняння (26) (з належним множником, оберненим до коефіцієнта в правій частині рівняння (1)) одержимо сукупний лагранжіан матерії та гравітаційного поля:

при варіації якого одержується все: як рівняння Ейнштейна для гравітації, так і рівняння руху матерії:

Другий доданок в правій частині (29) є лагранжіаном гравітаційного поля:

Філософія щодо єдності законів фізики

Варіаційний принцип зустрічається не тільки тут, але в усіх основних розділах фізики: класичній механіці, квантовій механіці, електродинаміці, теорії відносності. Така поширеність наводить на думку, що всі закони фізики пов'язані якимось (ще невідомим науці) одним універсальним рівнянням[джерело?]. Це рівняння може утворюватись варіацією "всезагальної дії" від деякого загального лагранжіана. Сам Альберт Ейнштейн займався пошуками цього рівняння, хоча без значних успіхів. Одним із результатів Ейнштейна є поправка із космологічною сталою.

Поправки до рівняння Ейнштейна

Розглянемо замість виразу (31) будь-яку функцію від тензора Рімана та його коваріантних похідних, яка утворює скаляр за тензорними правилами. Наприклад:

Тоді при варіації цього узагальненого лагранжіана ми одержимо Узагальнений тензор Ейнштейна. Він наслідує основні властивості тензора Ейнштейна (формула 25) другого степеня: симетричний, релятивістськи інваріантний, нульова дивергенція. Єдина умова на поправки в формулі (32): вони мають бути малими в масштабах ближнього космосу (тобто Сонячної системи), щоб виконувався закон тяжіння Ньютона. Але в інших масштабах вони можуть проявитися. Зокрема члени з при великих масштабах - вселенських і галактичних. Квадратичні члени з можуть проявитися в малих, зокрема мікроскопічних масштабах. Докладніше це описано в статті Поправки до рівняння Ейнштейна.

Розв'язки

Рівняння Ейнштейна нелінійні й розв'язки можна знайти в дуже обмеженій кількості випадків. Найвідоміший розв'язок — метрика Шварцшильда для сферично-симетричного розподілу маси.

Див. також

Посилання

  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат. , 460 с.
Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya tverdzhen u nij zalishayetsya nezrozumilim cherez praktichno povnu vidsutnist vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti Rivnya nnya Ejnshte jna osnovni rivnyannya zagalnoyi teoriyi vidnosnosti Nevidomoyu velichinoyu v rivnyannyah Ejnshtejna ye metrichnij tenzor g i k displaystyle g ik 1 R i k 1 2 R g i k L g i k 8 p G c 4 T i k displaystyle 1 qquad R ik 1 over 2 Rg ik Lambda g ik 8 pi G over c 4 T ik de R i k displaystyle R ik tenzor Richchi R displaystyle R skalyarna krivina g i k displaystyle g ik metrichnij tenzor L displaystyle Lambda kosmologichna konstanta T i k displaystyle T ik tenzor energiyi impulsu yakij viznachaye negravituyuchu materiyu energiyu ta sili v dovilnij tochci prostoru chasu p displaystyle pi chislo pi c displaystyle c shvidkist svitla G displaystyle G gravitacijna stala yaka analogichno figuruye u vidpovidnomu zakoni vsesvitnogo tyazhinnya Nyutona Tenzor Richchi skalyarne vikrivlennya ta tenzor energiyi impulsu tezh zalezhat vid metrichnogo tenzora U zagalnomu vipadku rivnyannya Ejnshtejna mistit kosmologichnu konstantu hocha piznishe Ejnshtejn vidmovivsya vid yiyi vikoristannya Kosmologichna konstanta bula zaprovadzhena dlya togo shob dosyagti stacionarnosti Vsesvitu ale vidkrittya chervonogo zsuvu zaklalo sumnivi v stacionarnosti Kosmologichna konstanta mozhlivo vidpovidaye temnij energiyi Informaciya pro rozpodil mas i poliv mistitsya v tenzori energiyi impulsu Dlya povnogo rozglyadu fizichnoyi sistemi rivnyannya Ejnshtejna povinni buti dopovnenimi rivnyannyam stanu materiyi Zmist 1 Vivedennya rivnyannya Ejnshtejna 2 Variacijnij princip i lagranzhian gravitacijnogo polya 3 Filosofiya shodo yednosti zakoniv fiziki 4 Popravki do rivnyannya Ejnshtejna 5 Rozv yazki 6 Div takozh 7 PosilannyaVivedennya rivnyannya Ejnshtejna RedaguvatiSprobuyemo vivesti rivnyannya gravitaciyi yake b uzgodzhuvalosya z principami zagalnoyi teoriyi vidnosnosti i v granichnomu vipadku malih mas i malih shvidkostej perehodilo v klasichnij zakon Vsesvitnogo tyazhinnya Nyutona Dlya vivodu dostatno rozglyanuti tilki statichnu zadachu koli masi ne ruhayutsya i gravitacijne pole ne zminyuyetsya z chasom dzherelo V klasichnomu vipadku priskorennya vilnogo padinnya g displaystyle mathbf g do tyazhiyuchogo centru m displaystyle m dayetsya formuloyu obernenih kvadrativ 2 g G m r 2 r r displaystyle 2 qquad mathbf g Gm over r 2 mathbf r over r Cya sila viyavlyayetsya konservativnoyu i analogichno do elektrostatiki mi mozhemo rozglyadati gravitacijnij potencial ϕ displaystyle phi 3 ϕ G m r displaystyle 3 qquad phi Gm over r Priskorennya vilnogo padinnya dorivnyuye vzyatomu zi znakom minus gradiyentu potencialu 4 g ϕ displaystyle 4 qquad mathbf g nabla phi a iz formuli 3 povnistyu analogichno do elektrostatiki oderzhuyemo nastupne rivnyannya Laplasa 5 2 ϕ 4 p G r displaystyle 5 qquad nabla 2 phi 4 pi G rho de r displaystyle rho gustina masi Ce rivnyannya klasichnoyi mehaniki mi vizmemo za osnovu i sprobuyemo znajti jogo relyativistskij analog Pri perehodi do zagalnoyi teoriyi vidnosnosti mi povinni zaminiti gustinu masi r displaystyle rho relyativistski invariantnoyu velichinoyu Takoyu velichinoyu do togo zh priblizno proporcijnoyu gustini r displaystyle rho ye tenzor energiyi impulsu T i j displaystyle T ij Oskilki masi neruhomi to potoku energiyi nemaye i nediagonalni elementi tezora T i j displaystyle T ij dorivnyuyut nulyu Takozh mi mozhemo znehtuvati napruzhennyami vseredini fizichnogo tila u porivnyanni z duzhe velikoyu shilnistyu energiyi spokoyu W r c 2 displaystyle W rho c 2 Takim chinom v nashomu vipadku v tenzori energiyi impulsa vidminna vid nulya lishe odna chasova komponenta 6 T i j r c 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 displaystyle 6 qquad T ij begin bmatrix rho c 2 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 end bmatrix Cej tenzor stoyatime z deyakim koeficiyentom proporcijnosti v pravij chastini shukanogo rivnyannya vin porodzhuye gravitaciyu A sho mi povinni napisati v livij chastini tobto sho take gravitaciya Vidpovid dav Ejnshtejn sformulyuvavshi princip ekvivalentnosti ce vikrivlennya chotirivimirnogo prostoru chasu Sila tyazhinnya obchislyuyetsya za tiyeyu zh formuloyu sho j sili inerciyi v neinercijnih sistemah koordinat 7 F i m G j k i x j x k displaystyle 7 qquad F i m Gamma jk i dot x j dot x k Vidpovidno kovariantna koordinata sili tyazhinnya v trivimirnomu prostori znak minus vrahovuye psevdoevklidovist 8 F i m G j k i x j x k displaystyle 8 qquad F i m Gamma jk i dot x j dot x k U cij formuli pohidna koordinat beretsya po vlasnomu chasu t displaystyle tau materialnoyi tochki x j d x j d t displaystyle dot x j dx j over d tau Mi vizmemo dlya vimiryuvannya sili tyazhinnya neruhome probne tilo masoyu m displaystyle m Vzdovzh svitovoyi liniyi cogo tila zminyuyetsya lishe nulova koordinata x 0 c displaystyle dot x 0 c tomu 9 g i c 2 G 00 i c 2 2 0 g i 0 0 g 0 i i g 00 x i c 2 g 00 2 displaystyle 9 qquad g i c 2 Gamma 00 i c 2 over 2 left partial 0 g i0 partial 0 g 0i partial i g 00 right partial over partial x i left c 2 g 00 over 2 right Pririvnyuyuchi formuli 4 i 9 znahodimo sho nulova komponenta metrichnogo tenzora pov yazana z gravitacijnim potencialom 10 ϕ c 2 g 00 2 c o n s t displaystyle 10 qquad phi c 2 g 00 over 2 const Konstantu integruvannya mi mozhemo znajti znayuchi sho na neskinchennosti velikij vidstani vid tyazhiyuchih til nulova komponenta metrichnogo tenzora dorivnyuye odinici a potencial peretvoryuyetsya v nul zgidno z formuloyu 3 Otzhe 11 g 00 1 2 ϕ c 2 displaystyle 11 qquad g 00 1 2 phi over c 2 Teper mi gotovi pidibrati relyativistskij analog dlya livoyi chastini formuli 5 Yasno sho cej analog povinen mistiti drugi pohidni metrichnogo tenzora g i j displaystyle g ij i odnochasno buti tenzorom shob zadovolniti osnovnu vimogu zagalnoyi teoriyi vidnosnosti buti invariantnim shodo dovilnoyi zamini sistemi koordinat Mi ne mozhemo vikoristati chastinni pohidni 2 g i j x k x l displaystyle partial 2 g ij over partial x k partial x l sami po sobi oskilki voni ne ye tenzorom pri zamini sistemi koordinat peretvoryuyutsya ne za tenzornimi pravilami Takozh mi ne mozhemo skoristatisya kovariantnoyu pohidnoyu oskilki vidomo sho kovariantna pohidna metrichnogo tenzora k g i j displaystyle nabla k g ij totozhno dorivnyuye nulyu Ale nam pidhodit tenzor vnutrishnoyi krivini tenzor Rimana 12 R i j k s j G k i s k G j i s G j p s G k i p G k p s G j i p displaystyle 12 qquad R ijk s partial j Gamma ki s partial k Gamma ji s Gamma jp s Gamma ki p Gamma kp s Gamma ji p 13 R p i j k 1 2 2 g i j x k x p 2 g k p x i x j 2 g i k x j x p 2 g j p x i x k G i j s G k p s G i k s G j p s displaystyle 13 qquad R pijk 1 over 2 left partial 2 g ij over partial x k partial x p partial 2 g kp over partial x i partial x j partial 2 g ik over partial x j partial x p partial 2 g jp over partial x i partial x k right Gamma ij s Gamma kp s Gamma ik s Gamma jp s Yasno sho pri malomu vikrivlenni prostoru chasu mi mozhemo vibrati blizku do dekartovoyi sistemu koordinat V nij simvoli Kristofelya budut blizkimi do nulya tomu vidkinuvshi dva ostanni kvadratichni dodanki v formuli 13 mi v pravij chastini matimemo sumu drugih pohidnih vid metrichnogo tenzora V cij sumi takozh budut prisutni drugi pohidni vid g 00 displaystyle g 00 tobto vid gravitacijnogo potencialu formula 11 Tenzor Rimana R p i j k displaystyle R pijk maye chotiri indeksi tomu mi ne mozhemo jogo bezposeredno pririvnyuvati do tenzora energiyi impulsu T i j displaystyle T ij z dvoma indeksami Zmenshiti kilkist indeksiv mozhna rozglyadayuchi linijni kombinaciyi komponent tenzora Rimana 12 Ochevidno ci linijni kombinaciyi tezh mistyat sumu inshih pohidnih vid gravitacijnogo potencialu ϕ displaystyle phi tak sho zalishayetsya nadiya oderzhati analog livoyi chastini formuli 5 Mi ne budemo vvoditi novih fizichnih velichin a skoristayemosya dlya koeficiyentiv cih linijnih kombinacij samim metrichnim tenzorom tobto rozglyanemo zgortki tenzora Rimana Odnokratna zgortka tenzora R i j k s displaystyle R ijk s za indeksami s j displaystyle sj daye tenzor Richchi R ik 14 R i k R i s k s displaystyle 14 qquad R ik R isk s Cej tenzor simetrichnij i maye dva indeksi yak i v tenzora energiyi impulsu T i j displaystyle T ij Ale okrim 14 mi mozhemo utvoriti she odin simetrichnij tenzor pomnozhivshi metrichnij tenzor g i j displaystyle g ij na skalyarnu krivinu R displaystyle R yaka ye zgortkoyu tenzora Richchi 15 R g i j R i j displaystyle 15 qquad R g ij R ij Otzhe prirodnimi kandidatami na relyativistske uzagalnennya rivnyannya 5 ye taki linijni kombinaciyi 16 a R i j b R g i j k T i j displaystyle 16 qquad alpha R ij beta Rg ij kT ij de koeficiyenti a b k displaystyle alpha beta k ye konstantami Ci koeficiyenti mozhna utochniti skoristavshis lokalnim zakonom zberezhennya energiyi impulsu 17 j T i j 0 displaystyle 17 qquad nabla j T ij 0 Otzhe divergenciya vid livoyi chastini formuli 16 povinna dorivnyuvati nulyu Yakbi tenzor Rimana buv zovsim dovilnim to dobitisya nulovoyi divergenciyi mi ne zmogli b ni pri yakih nenulovih konstantah a b displaystyle alpha beta Ale na shastya yak chisto matematichna vlastivist kovariantni pohidni tenzora Rimana pov yazani diferencialnoyu totozhnistyu Bianki 18 i R j k p q j R k i p q k R i j p q 0 displaystyle 18 qquad nabla i R jkpq nabla j R kipq nabla k R ijpq 0 Zgornemo cyu totozhnist spochatku za indeksami k q displaystyle k q a potim za j p displaystyle j p 19 i R j p j R i p k R i j p k 0 displaystyle 19 qquad nabla i R jp nabla j R ip nabla k R ijpk 0 20 i R j R i j k R i k 0 displaystyle 20 qquad nabla i R nabla j R ij nabla k R ik 0 Iz ostannoyi rivnosti perejmenuvavshi indeks za yakim prohodit zgortka mi mozhemo viraziti divergenciyu tenzora Richchi j R i j displaystyle nabla j R ij cherez gradiyent skalyarnoyi krivini i R displaystyle nabla i R 21 j R i j 1 2 i R displaystyle 21 qquad nabla j R ij 1 over 2 nabla i R Teper mi gotovi shob zastosuvati divergenciyu do rivnyannya 16 22 j a R i j b R g i j a 2 i R b i R a 2 b i R 0 displaystyle 22 qquad nabla j left alpha R ij beta Rg ij right alpha over 2 nabla i R beta nabla i R left alpha over 2 beta right nabla i R 0 Cya rivnist zakon zberezhennya energiyi impulsu bude totozhno zadovolnyatisya yaksho koeficiyent b displaystyle beta dorivnyuye 23 b a 2 displaystyle 23 qquad beta alpha over 2 Yasno sho teper koeficiyent a displaystyle alpha ne mozhe dorivnyuvati nulyu inakshe z vrahuvannyam 23 i 16 tenzor T i j displaystyle T ij buv bi totozhnim nulem Podilimo rivnist 16 na a displaystyle alpha i perepoznachimo poki sho nevidomu konstantu k displaystyle k V rezultati prihodimo do takogo rivnyannya gravitaciyi 24 R i j 1 2 R g i j k T i j displaystyle 24 qquad R ij 1 over 2 Rg ij kT ij Nam zalishilos znajti konstantu k displaystyle k Dlya cogo treba pokazati sho v nablizhenni slabkogo polya liva chastina rivnyannya 24 dorivnyuye z deyakim koeficiyentom laplasianu gravitacijnogo potencialu 2 ϕ displaystyle nabla 2 phi i obchisliti cej koeficiyent Ce ne zovsim trivialno oskilki okrim chasovoyi komponenti g 00 displaystyle g 00 metrichnogo tenzora formula 11 reshta komponent mozhe takozh zminyuvatisya Detali obchislennya divitsya v statti Slabke gravitacijne pole Variacijnij princip i lagranzhian gravitacijnogo polya RedaguvatiViraz v livij chastini rivnyannya 24 ye tenzorom Ejnshtejna drugogo stepenya 25 G i j 2 R i j R 2 g i j displaystyle 25 qquad G ij 2 R ij R over 2 g ij yakij mozhna oderzhati variaciyeyu integrala Gaussa 26 d K 2 d t 1 2 G i j 2 d g i j d t displaystyle 26 qquad delta int K 2 d tau 1 over 2 int G ij 2 delta g ij d tau pri zmini metrichnogo tenzora g i j displaystyle g ij na malu velichinu d g i j displaystyle delta g ij Krivina Gaussa drugogo stepenya K 2 displaystyle K 2 dorivnyuye polovini skalyarnoyi krivini 27 K 2 R 2 displaystyle 27 qquad K 2 R 2 Oskilki dlya materiyi zokrema dlya elektromagnitnogo polya tenzor energiyi impulsu tezh utvoryuyetsya z lagranzhiana podibnim chinom yak koeficiyent pri variaciyi metriki dzherelo napriklad 28 d L d t 1 2 T i j d g i j L ϕ x i L ϕ x i d ϕ d t displaystyle 28 qquad delta int Ld tau int left 1 over 2 T ij delta g ij left partial L over partial phi partial over partial x i partial L over partial partial phi over partial x i right delta phi right d tau to vidnimayuchi vid 28 poperedno pomnozhene rivnyannya 26 z nalezhnim mnozhnikom obernenim do koeficiyenta v pravij chastini rivnyannya 1 oderzhimo sukupnij lagranzhian materiyi ta gravitacijnogo polya 29 L total L c 4 16 p G R displaystyle 29 qquad L text total L c 4 over 16 pi G R pri variaciyi yakogo oderzhuyetsya vse yak rivnyannya Ejnshtejna dlya gravitaciyi tak i rivnyannya ruhu materiyi 30 d L total d t 1 2 T i j c 4 8 p G G i j d g i j L ϕ x i L ϕ x i d ϕ d t displaystyle 30 qquad delta int L text total d tau int left 1 over 2 left T ij c 4 over 8 pi G G ij right delta g ij left partial L over partial phi partial over partial x i partial L over partial partial phi over partial x i right delta phi right d tau Drugij dodanok v pravij chastini 29 ye lagranzhianom gravitacijnogo polya 31 L g c 4 16 p G R c 4 8 p G K 2 displaystyle 31 qquad L g c 4 over 16 pi G R c 4 over 8 pi G left K 2 right Filosofiya shodo yednosti zakoniv fiziki RedaguvatiVariacijnij princip zustrichayetsya ne tilki tut ale v usih osnovnih rozdilah fiziki klasichnij mehanici kvantovij mehanici elektrodinamici teoriyi vidnosnosti Taka poshirenist navodit na dumku sho vsi zakoni fiziki pov yazani yakimos she nevidomim nauci odnim universalnim rivnyannyam dzherelo Ce rivnyannya mozhe utvoryuvatis variaciyeyu vsezagalnoyi diyi vid deyakogo zagalnogo lagranzhiana Sam Albert Ejnshtejn zajmavsya poshukami cogo rivnyannya hocha bez znachnih uspihiv Odnim iz rezultativ Ejnshtejna ye popravka iz kosmologichnoyu staloyu Popravki do rivnyannya Ejnshtejna RedaguvatiRozglyanemo zamist virazu 31 bud yaku funkciyu vid tenzora Rimana ta jogo kovariantnih pohidnih yaka utvoryuye skalyar za tenzornimi pravilami Napriklad 32 L g c 4 8 p G R 2 L a 1 R a 2 R 2 a 3 R j i R i j displaystyle 32 qquad L g c 4 over 8 pi G left R over 2 Lambda a 1 sqrt R a 2 R 2 a 3 R j i R i j dots right Todi pri variaciyi cogo uzagalnenogo lagranzhiana mi oderzhimo Uzagalnenij tenzor Ejnshtejna Vin nasliduye osnovni vlastivosti tenzora Ejnshtejna formula 25 drugogo stepenya simetrichnij relyativistski invariantnij nulova divergenciya Yedina umova na popravki v formuli 32 voni mayut buti malimi v masshtabah blizhnogo kosmosu tobto Sonyachnoyi sistemi shob vikonuvavsya zakon tyazhinnya Nyutona Ale v inshih masshtabah voni mozhut proyavitisya Zokrema chleni z L a 1 displaystyle Lambda a 1 pri velikih masshtabah vselenskih i galaktichnih Kvadratichni chleni z a 2 a 3 displaystyle a 2 a 3 mozhut proyavitisya v malih zokrema mikroskopichnih masshtabah Dokladnishe ce opisano v statti Popravki do rivnyannya Ejnshtejna Rozv yazki RedaguvatiRivnyannya Ejnshtejna nelinijni j rozv yazki mozhna znajti v duzhe obmezhenij kilkosti vipadkiv Najvidomishij rozv yazok metrika Shvarcshilda dlya sferichno simetrichnogo rozpodilu masi Div takozh RedaguvatiRozv yazok Kerra NyumenaPosilannya RedaguvatiLandau L D Lifshic E M 1967 Teoriya polya Teoreticheskaya fizika t 2 Moskva Gosizdat 460 s Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnyannya Ejnshtejna amp oldid 38972114