Група перетворень

Ді́я (групи) ${\displaystyle G}$ на множині ${\displaystyle X}$ — це відображення

${\displaystyle G\times X\to X,\quad (g,x)\mapsto gx,}$

що має властивості:

• ${\displaystyle \ g(hx)=(gh)x}$
• ${\displaystyle \ ex=x}$

для всіх ${\displaystyle g,h\in G,x\in X,}$ де ${\displaystyle \ e}$ — це (нейтральний елемент) ${\displaystyle G.}$

З аксіом групи випливає, що для кожного ${\displaystyle g\in G,}$ відображення множини ${\displaystyle \ X}$ до себе за формулою ${\displaystyle x\mapsto gx}$ є бієкцією або (автоморфізмом) ${\displaystyle \ X.}$

Типи дій

• Вільна, якщо для будь-яких ${\displaystyle g,\;h\in G}$ не рівних між собою і довільного ${\displaystyle m\in M}$ виконується ${\displaystyle \ gm\neq hm}$.
• Транзитивна якщо для будь-яких ${\displaystyle m,\;n\in M}$ існує ${\displaystyle g\in G}$ такий, що ${\displaystyle gm=n}$, тобто якщо ${\displaystyle Gm=M}$ для довільного ${\displaystyle m\in M}$.
• Ефективна, якщо для довільних ${\displaystyle g,\;h\in G}$ існує ${\displaystyle m\in M}$ такий, що ${\displaystyle gm\neq hm}$.

Орбіти елементів

Підмножина

${\displaystyle Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M}$

називається орбітою елемента ${\displaystyle m\in M}$.

Дія групи ${\displaystyle G}$ на множині ${\displaystyle M}$ визначає на ній (відношення еквівалентності)

${\displaystyle \forall n,\;m\in M\;(n\sim _{G}m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).}$

Стабілізатор

Підмножина

${\displaystyle G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G}$

є (підгрупою) групи ${\displaystyle G}$ і називається стабілізатором елемента ${\displaystyle m\in M}$.

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо ${\displaystyle n\sim _{G}m}$, то існує такий елемент ${\displaystyle g\in G}$, що

${\displaystyle G_{m}=gG_{n}g^{-1}.}$

Кількість елементів в орбіті

Загальна кількість елементів в орбіті елемента ${\displaystyle m\in M}$ визначається за формулою:

${\displaystyle |Gm|=[G:G_{m}]}$, де ${\displaystyle G_{m}}$ — стабілізатор елемента ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle [G:G_{m}]}$ — (індекс підгрупи) ${\displaystyle G_{m}\subset G}$, що для (скінченних груп) рівний ${\displaystyle {\frac {|G|}{|G_{m}|}}}$.

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого ${\displaystyle g\in G.}$ Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=G_m  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих (класів суміжності) по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g₁x=g₂x то ${\displaystyle g^{-1}{2}g{1}\in H}$ і як наслідок g₁H=g₂H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g₁H=g₂H тоді ${\displaystyle g^{-1}{2}g{1}\in H}$ і згідно з означенням стабілізатора ${\displaystyle g^{-1}{2}g{1}x=x,}$ звідки випливає g₁x=g₂x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо ${\displaystyle M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}}$, то

${\displaystyle |M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]}$ — формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

1. ${\displaystyle \forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;}$
2. ${\displaystyle \sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;}$
3. (Лема Бернсайда)

Варіації та узагальнення

• (Псевдогрупа перетворень)

Див. також

• (Представлення групи)

Джерела

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• (Курош А. Г.) Теория групп. — 3-е изд. — Москва : (Наука), 1967. — 648 с. — .(рос.)
• (Ленг С.) Алгебра. — Москва : (Мир), 1968. — 564 с. — .(рос.)
• (Винберг Э. Б.) Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)

• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)