www.wikidata.uk-ua.nina.az

Фермі газ Фермі газ або ідеа льний газ Фермі Дірака газ що складається з ферміонів частинок які підпорядковуються статис

Фермі-газ

Фермі́-газ, або ідеа́льний газ Фермі́ — Дірака — газ, що складається з ферміонів, частинок, які підпорядковуються статистиці Фермі—Дірака. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Газ Фермі—Дірака при нульовій температурі Редагувати

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе — Ейнштейна) при дорівнює . Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу із частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія такого газу при буде відмінною від нуля.

Величину не важко обчислити. Позначивши через енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при . При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище будуть вільними. Тому повинно існувати точно станів з енергією нижче або рівній . Цієї умови достатньо для знаходження . Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на :

де число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число , для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від до значення , визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при стану з енергією , та прирівнюючи результат до , отримуємо із врахуванням того, що :

або для електронів з :

Величину , найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Газ Фермі—Дірака при скінченній температурі Редагувати

Для ненульових значень параметра густину числа електронів в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

на множник , який дає число електронів на один квантовий стан:

де величина є хімічний потенціал при , а - хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням , то ми можемо визначити як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до повного числа частинок . Звідси видно, що для величина є функція параметрів та .

Енергію можна знайти із співвідношення:

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

в якому функція є деяка проста та неперервна функція від , наприклад або , та

Слід відзначити, що для більшості металів величина має порядок від до К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

яке виражає хімічний потенціал через параметри та - хімічний потенціал при . Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає , що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Fermi gaz abo idea lnij gaz Fermi Diraka gaz sho skladayetsya z fermioniv chastinok yaki pidporyadkovuyutsya statistici Fermi Diraka Napriklad elektroni v metali U pershomu nablizhenni mozhna vvazhati sho potencial yakij diye na elektroni v metali ye postijnoyu velichinoyu i zavdyaki silnomu ekranuvannyu pozitivno zaryadzhenimi ionami mozhna znehtuvati elektrostatichnim vidshtovhuvannyam mizh elektronami Todi elektroni metalu mozhna rozglyadati yak idealnij gaz Fermi Diraka Zmist 1 Gaz Fermi Diraka pri nulovij temperaturi 2 Gaz Fermi Diraka pri skinchennij temperaturi 3 Div takozh 4 Literatura 5 PosilannyaGaz Fermi Diraka pri nulovij temperaturi RedaguvatiNajnizhcha energiya klasichnogo gazu abo gazu Boze Ejnshtejna pri T 0 displaystyle T 0 nbsp dorivnyuye W 0 0 displaystyle W 0 0 nbsp Tobto pri nulovij temperaturi vsi chastinki padayut u najnizhchij stan i vtrachayut kinetichnu energiyu Prote dlya gazu Fermi ce nemozhlivo Princip viklyuchennya Pauli dozvolyaye perebuvati v odnomu stani tilki dvom fermionam iz riznimi spinami Najnizhchu energiyu gazu W 0 displaystyle W 0 nbsp iz N displaystyle N nbsp chastinok mozhna otrimati shlyahom roztashuvannya po dvi chastinki v kozhen iz N displaystyle N nbsp kvantovih staniv iz najnizhchoyu mozhlivoyu energiyeyu Tomu energiya W 0 displaystyle W 0 nbsp takogo gazu pri T 0 displaystyle T 0 nbsp bude vidminnoyu vid nulya Velichinu W 0 displaystyle W 0 nbsp ne vazhko obchisliti Poznachivshi cherez m 0 displaystyle mu 0 nbsp energiyu elektrona v najvishomu kvantovomu stani kotrij she zapovneno pri T 0 displaystyle T 0 nbsp Pri nulovij temperaturi vsi kvantovi stani z energiyeyu nizhche m 0 displaystyle mu 0 nbsp bude zajnyato a vsi kvantovi stani z energiyeyu vishe m 0 displaystyle mu 0 nbsp budut vilnimi Tomu povinno isnuvati tochno N displaystyle N nbsp staniv z energiyeyu nizhche abo rivnij m 0 displaystyle mu 0 nbsp Ciyeyi umovi dostatno dlya znahodzhennya m 0 displaystyle mu 0 nbsp Oskilki ob yem ye mikroskopichnim tomu translyacijni stani lezhat blizko odin do odnogo v impulsnomu prostori i mi mozhemo zaminiti sumuvannya po translyacijnim kvantovim stanam k displaystyle mathbf k nbsp integruvannyam po klasichnomu fazovomu prostori podilivshi poperedno na h 3 displaystyle h 3 nbsp g h 3 4 p p 2 d r d p V g h 3 4 p p 2 d p displaystyle frac g h 3 iint 4 pi p 2 dr dp V frac g h 3 int 4 pi p 2 dp nbsp de g displaystyle g nbsp chislo vnutrishnih kvantovih staniv yaki vidpovidayut vnutrishnij energiyi Chislo g 2 displaystyle g 2 nbsp dlya elektroniv zi spinom 1 2 Integruyuchi ostannij viraz vid p 0 displaystyle p 0 nbsp do znachennya p 0 displaystyle p 0 nbsp viznachenogo yak velichina impulsu najvishogo zapovnenogo pri T 0 displaystyle T 0 nbsp stanu z energiyeyu m 0 2 m 1 p 0 2 displaystyle mu 0 2m 1 p 0 2 nbsp ta pririvnyuyuchi rezultat do N displaystyle N nbsp otrimuyemo iz vrahuvannyam togo sho r N V displaystyle rho N V nbsp N V g h 3 4 p 3 p 0 3 V g h 3 4 p 3 2 m m 0 2 3 displaystyle N V frac g h 3 frac 4 pi 3 p 0 3 V frac g h 3 frac 4 pi 3 2m mu 0 2 3 nbsp p 0 3 4 p g r 1 3 h displaystyle p 0 frac 3 4 pi g rho 1 3 h nbsp m 0 p 0 2 2 m h 2 2 m 3 4 p g r 2 3 displaystyle mu 0 frac p 0 2 2m frac h 2 2m frac 3 4 pi g rho 2 3 nbsp abo dlya elektroniv z g 2 displaystyle g 2 nbsp m 0 h 2 8 m 3 r p 2 3 g 2 displaystyle mu 0 frac h 2 8m frac 3 rho pi 2 3 g 2 nbsp Velichinu m 0 displaystyle mu 0 nbsp najvishu energiyu zapovnenih rivniv nazivayut energiyeyu Fermi Gaz Fermi Diraka pri skinchennij temperaturi RedaguvatiDlya nenulovih znachen parametra b 1 k T displaystyle beta 1 kT nbsp gustinu chisla elektroniv N ϵ displaystyle N epsilon nbsp v energetichnomu prostori znahodimo shlyahom mnozhennya kvantovoyi gustini staniv 3 2 N m 0 3 2 ϵ 1 2 d ϵ displaystyle frac 3 2 N mu 0 3 2 int epsilon 1 2 d epsilon nbsp na mnozhnik 1 1 exp b ϵ m displaystyle frac 1 1 exp beta epsilon mu nbsp yakij daye chislo elektroniv na odin kvantovij stan N ϵ 3 2 N m 0 3 2 1 1 exp b ϵ m displaystyle N epsilon frac 3 2 N mu 0 3 2 frac 1 1 exp beta epsilon mu nbsp de velichina m 0 displaystyle mu 0 nbsp ye himichnij potencial pri T 0 displaystyle T 0 nbsp a m displaystyle mu nbsp himichnij potencial pri danij temperaturi Yaksho prointegruvati cyu funkciyu po vsim znachennyam ϵ displaystyle epsilon nbsp to mi mozhemo viznachiti m displaystyle mu nbsp yak funkciyu vid temperaturi Pririvnyuyuchi rezultat sho vhodit do 0 N ϵ d ϵ displaystyle int 0 infty N epsilon d epsilon nbsp povnogo chisla chastinok N displaystyle N nbsp Zvidsi vidno sho dlya N ϵ displaystyle N epsilon nbsp velichina m u displaystyle mu nbsp ye funkciya parametriv m u 0 displaystyle mu 0 nbsp ta b displaystyle beta nbsp Energiyu mozhna znajti iz spivvidnoshennya W 0 ϵ N ϵ d ϵ displaystyle W int 0 infty epsilon N epsilon d epsilon nbsp zvidki vidno sho tut mi zustrichayemosya iz zadacheyu znahodzhennya integralu tipu I 0 f ϵ g ϵ d ϵ displaystyle I int 0 infty f epsilon g epsilon d epsilon nbsp v yakomu funkciya f ϵ displaystyle f epsilon nbsp ye deyaka prosta ta neperervna funkciya vid ϵ displaystyle epsilon nbsp napriklad ϵ 1 2 displaystyle epsilon 1 2 nbsp abo ϵ 3 2 displaystyle epsilon 3 2 nbsp ta g ϵ 1 1 exp b ϵ m displaystyle g epsilon frac 1 1 exp beta epsilon mu nbsp Slid vidznachiti sho dlya bilshosti metaliv velichina m 0 k displaystyle mu 0 k nbsp maye poryadok vid 5 10 4 displaystyle 5 cdot 10 4 nbsp do 10 5 displaystyle 10 5 nbsp K Propuskayuchi dosit gromizdki matematichni vikladki v rezultati budemo mati nablizhene znachennya himichnogo potencialu m m 0 1 p 2 12 b m 0 2 p 4 80 b m 0 4 displaystyle mu mu 0 1 frac pi 2 12 beta mu 0 2 frac pi 4 80 beta mu 0 4 nbsp yake virazhaye himichnij potencial m displaystyle mu nbsp cherez parametri b displaystyle beta nbsp ta m 0 displaystyle mu 0 nbsp himichnij potencial pri T 0 displaystyle T 0 nbsp Tut slid vidznachiti sho cya zalezhnist ne ye duzhe silna napriklad dlya kimnatnih temperatur persha dobavka skladaye b m 0 2 10 4 displaystyle beta mu 0 2 approx 10 4 nbsp sho ye dosit mala velichina Tomu na praktici pri kimnatnih temperaturah himichnij potencial praktichno zbigayetsya z potencialom Fermi Div takozh RedaguvatiEnergiya Fermi Riven Fermi Model Fermi gazuLiteratura RedaguvatiMajer Dzh Geppert Majer M Statisticheskaya mehanika 2 e izd pererab M Mir 1980 544s Posilannya RedaguvatiA Fermi gas of atoms physicsworld com Apr 4 2002 Arhivovano 19 veresnya 2008 u Wayback Machine Seiringer Robert The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas Commun Math Phys 261 729 758 2006 Arhivovano 15 lipnya 2008 u Wayback Machine Fermi gas goes superfluid physicsworld com Jul 22 2004 Arhivovano 27 serpnya 2008 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Fermi gaz amp oldid 35116239