Signum функція У математиці sign функція signum функція си гнум фу нкція зна кова фу нкція або функція знаку з латинсько

У математиці, sign функція, signum функція, си́гнум-фу́нкція, зна́кова фу́нкція або функція знаку (з латинської signum «знак») — це непарна математична функція, яка «витягує» знак дійсного числа. У математичних виразах функція $sign$ часто зустрічається як $sgn$ .

Означення Редагувати

Функція знаку y = sgn(x)

Функція знаку дійсного числа $x$ визначається наступним чином:

Або як:

Властивості Редагувати

Будь-яке дійсне число може бути представлене у вигляді добутку його абсолютного значення і його функції знаку:

Звідси випливає, що при

Так само і для будь-якого дійсного числа $x$

Ми також можемо переконатися, що

Функція є похідною функції з точністю до невизначеності при $x = 0$ :

Більш формально, в теорії інтегрування функцій — це слабка похідна, а в теорії опуклих функцій субдиференціалом абсолютного значення при є інтервал , «заповнення» функції знаку (субдиференціал абсолютного значення не є однозначним при ).

Функція знаку не є неперервною у точці x = 0

Похідна функції дорівнює 0 для всіх $x$ крім 0. Вона не є диференційовною при у звичайному сенсі, але диференційовною в узагальненому сенсі в теорії розподілу, похідною від функції є дельта-функція Дірака, що можна показати за допомогою тотожності

де $H (x)$ — Функція Гевісайда, $H (0) = 12$ . Використовуючи цю тотожність, легко знайти похідну:

Перетворення Фур'є функції має вигляд

де p.v. — головне значення інтеграла за Коші.

Функцію також можна виразити за допомогою дужки Айверсона

Функцію можна записати з використанням функцій підлоги та абсолютного значення:

Для $k ≫ 1$ неперервне наближення функції знаку має вигляд:

Інше наближення має вигляд:

яке стає «гострішим» при $ε \to 0$ ; зауважимо, що це похідна від функції $\sqrt x 2 + ε 2$ . Це ґрунтується на тому факті, що для всіх $x \neq 0$ якщо $ε = 0$ , і дає переваги для простого узагальнення на багатовимірні аналоги функції знаку (наприклад, частинні похідні функції $\sqrt x 2 + y 2$ ).

Комплексний випадок Редагувати

Функцію можна узагальнити на комплексні числа:

для будь-якого комплексного числа $z$ , крім $z = 0$ . Таким чином, значення функції буде точкою на одиничному колі комплексної площини, що найближча до точки $z$ . Тоді для $z \neq 0:$

де — аргумент комплексного числа.

Комплексний варіант

З міркувань симетрії та для належного узагальнення функції на множині дійсних чисел, зазвичай дану функцію на комплексній площині визначають і для $z = 0$ :

Іншим узагальненням функції для дійсних і комплексних виразів є функція $csgn$ , що визначається як

де $Re(z)$ — дійсна частина числа $z$ , а $Im(z)$ — комплексна частина $z$ . Тоді для $z \neq 0$ маємо

Узагальнена функція знаку Редагувати

Для дійсних значень $x$ можна визначити узагальнену функцію (аналог функції знаку) $ε (x)$ , таку, що $(ε (x)) 2 = 1$ для всіх $x$ , у тому числі і в точці $x = 0$ (на відміну від функції , для якої $(sgn(0)) 2 = 0$ ). Ця узагальнена функція дозволяє побудувати алгебру узагальнених функцій, але ціною такого узагальнення є втрата комутативності. Зокрема, узагальнена функція знаку антикомутує з дельта-функцією Дірака

крім цього, $ε (x)$ не можливо визначити при $x = 0$ ; і спеціальне позначення $ε$ необхідне, щоб відрізнити її від функції знаку ( $ε (0)$ не визначено, але $sgn(0) = 0$ ).

Див. також Редагувати

Джерела Редагувати

Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.